常用均值不等式及证明证明(完整资料).doc

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常用均值不等式及证明证明

这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤

≤n

+∈R n a a

a 21、、

、Λ，当且仅当n a a a 21===Λ时取“=”号

仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

(1)对实数a,b ，有ab 2b a

22

≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)， ab 20b ,a 2

2>>

(4)对实数a,b ，有

()()b a b b a --a ≥

(5)对非负实数a,b ，有

02a 22≥≥+ab b

(8)对实数a,b,c ，有

ac

bc ab c b a 222++≥++

(10)对实数a,b,c ，有

3

3

a abc c

b ≥++ 均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A ≥0，B ≥0，则()()B

n n nA A B A 1-n

+≥+

注：引理的正确性较明显，条件A ≥0

，B ≥0可以弱化为A ≥0，A+B ≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；

假设当n=k 时命题成立，即

那么当n=k+1时，不妨设1a +k 是

121a ,,a ,a +k Λ中最大者，

则 1211k ka +++++≥k a a a Λ

设

k a a a +++=Λ21s

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数()n x x x x f ,,,,21Λ是函数()x f 在区间(a,b)内的任意n 个点，

设()x x f ln =，()x f

为上凸增函数 所以，

在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）