[2013高三数学]第31课时-数列应用(二)
第一部分专题二微专题2数列求和及简单应用-高三数学二轮专题复习课件
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
数列S1n的前 n 项和为 1－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1＝ 1－n＋1 1，
故 Tn＝2n＋1－2＋1－n＋1 1＝2n＋1－n＋1 1－1. 选②，设公差为 d，由 a3＋a5＝16，S3＋S5＝42，得 2a1＋6d＝16， 8a1＋13d＝42， 解得ad1＝＝22，，所以 an＝2n，Sn＝n2＋n.
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
代入(a2＋2)2＝(a1＋2)(a3＋2)，易得 a1＝2，a2＝4， a3＝7，a4＝12.
于是数列{an＋2}的前 4 项为 4，6，9，14； 显然它不是等比数列，所以数列{an＋2}不可能是等 比数列．
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
大题考法 4 错位相减法求数列的和
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
当 n 为奇数时，Gn＝2×n－2 1－(2n＋1)＝－n－2， 所以 Tn＝8（4n3－1）－n－2， 所以 Tn＝88（（44nn33－－11））－＋nn－，2n，为n偶为数奇，数.
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
1．在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求 和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 的 奇偶进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
1．裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项 或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注 意消去了哪些项，保留了哪些项．
2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列的综合应用
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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落 在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程 成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）
2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(33)数列的综合应用A
课时作业(三十三)A [第33讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＝( ) A.32 B.94 C.259 D.2516 2．[2011·东北三校一模] ( )A ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前10项和 B ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和C ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前11项和D ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前11项和3．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图象上．则该数列{a n }的通项公式是a n ＝________.能力提升 5．[2011·济南二模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．5 6．[2011·天津卷] 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 7．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8．[2011·合肥一中月考] 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋12B.5－12C.3－52D.2＋529．[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪ 10．数列{a n }中，a 1＝2，点(log 3a n ，a n ＋1)在函数y ＝2×3x 的图象上，则{a n }的通项公式为a n ＝________.11．[2011·虹口区质检] 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n －3，则通项公式a n ＝________.12．[2011·广东六校联考] 已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a m ·a n .若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.13．[2011·菏泽二模] 已知a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，把数列{a n }的各项排成如图K33－2所示的三角数阵．记S (m ，n )表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应数阵中的数是________．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19… 图K33－214．(10分)[2012·惠州模拟] 当p 1，p 2，…，p n 均为正数时，称np 1＋p 2＋…＋p n为p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．已知数列{a n }的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为12n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n2n ＋1(n ∈N *)，试比较c n ＋1与c n 的大小．15．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设：2b n ＝1a n＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .难点突破16．(12分)设数列{b n }满足：b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n . (1)求证：1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1；(2)若T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，对任意的正整数n,3T n －log 2m －5>0恒成立．求m 的取值范围．课时作业(三十三)A【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B.2．B [解析] 可知S ＝12＋14＋…＋120，所以其描述的是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和．3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n 1－2＝2n－1≈106，所以n ≈20小时．4.1n [解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n .【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n ＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110. 7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B. 9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n [解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n .11.⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2)[解析] n ＝1时，a n ＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2).12．2－2n ＋13n [解析] 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1(1－q n)1－q＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23， ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝2－2n ＋13n .13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101. 14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)， 两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1， ∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3，∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n .15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1n (n ＋1)，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0. 所以1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1. (2)T n ＝⎝⎛⎭⎫1b 1－1b 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0， ∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列． 所以数列{T n }关于n 递增． 所以T n ≥T 1.因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n －log 2m －5>0恒成立， 所以log 2m <3T n －5恒成立， 所以log 2m <－3，所以0<m <18.。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（ 2013 年高考上海卷（理） ） 在数列 { a n } 中, a n2n 1 , 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 a i , j a i a ja i a j ,( i 1,2,,7; j 1,2,,12 ) 则该矩阵元素能取到的不一样数值的个数为 ( )(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】 A.2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 已知数列a n 知足 3a n 1 a n 0,a 24的前 10, 则 a n项和等于3(A)61 310(B)1 1 3 10(C)3 13 10(D)3 1+3 10【答案】 C93 ．（ 2013 年高考新课标1（理）） 设A nB nC n 的三边长分别为 a n , b n ,c n , A n B n C n 的面积为S n , n 1,2,3,, 若 b 1 c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n 1a n ,b n1c na n, c n 1b n an, 则 ( )A.{ S n } 为递减数列B.{ S n } 为递加数列 22C.{ S 2n-1 } 为递加数列 ,{ S 2n } 为递减数列D.{ S 2n-1 } 为递减数列 ,{ S 2n } 为递加数列【答案】 B4 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数 y=f (x) 的图像以下图 , 在区间a,b 上可找到 n(n2) 个不一样的数 x 1,x 2...,x n , 使得f (x 1 )f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 ==,x 2 x n(A) 3,4(B)2,3,4 (C)3,4,5(D)2,3【答案】 B5 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知等比数列 { a n }的公比为 q, 记 b nam( n 1) 1 a m( n 1) 2...am (n 1) m ,c n am(n 1) 1am( n 1) 2... am (n 1)m (m, nN * ), 则以下结论必定正确的选项是( )A. 数列{b n}为等差数列, 公差为q mB.数列 { b n} 为等比数列,公比为 q2mC.数列{ c n}为等比数列, 公比为q m2D.数列 { c n } 为等比数列,公比为 q m m【答案】 C6 （． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等比数列a n的前 n 项和为 S ,已知 S a210a , a9 ,则a1n3151(B)111(A)3(C)(D)399【答案】 C7 （． 2013年高考新课标1（理））设等差数列a的前 n 项和为 S n , S m 12, S m 0, S m 1 3,n则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（ WORD版））下边是对于公差d0的等差数列a n的四个命题:p1 : 数列a n是递加数列；p2 : 数列na n是递加数列；p3: 数列a nn是递加数列；p4 : 数列a n3nd是递加数列；此中的真命题为(A) p1, p2(B)p3 , p4(C)p2 , p3(D)p1 , p4【答案】 D9 ．（ 2013 年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】 A二、填空题10．（ 2013 年高考四川卷（理））在等差数列{ a n}中,a2a18 ,且 a4为 a2和 a3的等比中项,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和.【答案】解 : 设该数列公差为 d ,前n项和为s n.由已知,可得2a1 2d8, a12a1 d a1 8d . 3d所以 a1d4,d d 3a10 ,解得 a14, d0 ,或 a11,d 3 ,即数列a n的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和 s n 4n 或 s n 3n2n211（． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等差数列a n 的前 n 项和为 S n,已知 S100, S1525 ,则 nS n的最小值为________.【答案】4912．（ 2013 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为n n 11 n21n .记第 n 个 k边形数为222N n,k k 3 ,以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式:三角形数N n,3 1 n2 1 n22正方形数N n,4n2五边形数N n,53n21n22六边形数N n,62n2n能够推断 N n,k 的表达式,由此计算 N 10,24___________.选考题【答案】 100013．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD版含附带题））在正项等比数列{ a n} 中,a51, a6a7 3 ,则知足 a1a2a n a1a2a n的最大2正整数 n 的值为_____________.【答案】1214．（ 2013 年高考湖南卷（理））设S n为数列a n的前 n 项和 , S n( 1)n a n1,n N , 则n2(1) a3_____; (2)S1S2S100___________.【答案】1;1 (10011)163215．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD版））当x R, x1时,有以下表达式 :1x x2...x n...11 . x111111两边同时积分得 :21dx2 xdx2 x2dx ...2 x n dx ...2dx.000001x进而获得以低等式 : 11 1 (1)2 1 (1)3 (1)1( 1 )n 1...ln 2.22232n2请依据以下资料所包含的数学思想方法,计算 :0 1 111212131n1n 1C n22 C n( 2)3 C n(2)...n1C n(2)_____【答案】n 1 [( 3)n 11] 1216．（ 2013年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））已知 a n是等差数列,a1 1 ,公差 d0, S n为其前n项和 , 若a1, a2, a5成等比数列 ,则 S8_____【答案】6417．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前6项和为23,前9项和为 57,则数列的前 n 项和 S n = __________.【答案】5n27 n 6618．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版））在等差数列a n中,已知a3a810,则3a5a7_____.【答案】2019．（ 2013 年高考陕西卷（理））察看以下等式: 1211222322261231222324210照此规律 ,2- 2232-n -1n2 （- 1)n 1第 n 个等式可为___1（ -1）2n(n 1) ____.【答案】222（n -1 2（ -1)n 1(1)1- 23-）n n - 12n20．（ 2013 年高考新课标2a n1,则数列{a n}的通项1（理））若数列{a n}的前n项和为S n=33公式是 a n=______.【答案】a n = ( 2)n 1 .21．（ 2013年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 如图 , 互不 - 同样的点 A 1 , A 2 , X n , 和 B 1, B 2 , B n , 分别在角 O 的两条边上 , 全部 A n B n 互相平行 , 且全部梯形 A n B n B n 1A n 1 的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a 1 1,a 22, 则数列 a n 的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22．（ 2013 年高考北京卷（理） ）若等比数列 { a n } 知足 a 2+a 4=20, a 3+a 5=40, 则公比 q =_______;前 n 项和 S n =___________.【答案】 2, 2n 1223．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理） 试题（ WORD 版））已知等比数列a n 是递 增 数 列 , S n 是a的 前 n 项 和 , 若 a 1， a 3 是 方 程 x 25x 4 0 的 两 个 根 , 则nS 6 ____________.【答案】 63 三、解答题24．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 设函数22nf n (x)1 xx 2 x 2 x2 (x R, n Nn ) , 证明 :2 3n( Ⅰ) 对每个( Ⅱ) 对随意nN n, 存在独一的 x n [ 2,1] , 知足 f n ( x n ) 0 ;31pN n , 由 ( Ⅰ ) 中x n 构成的数列x n 知足 0x nxn p.n【答案】解:( Ⅰ)x nx 2x 3x 4x n当 x 0时， y2 是单一递加的 f n ( x)1 x 222 2 是 x 的n2 34 n单一递加函数 , 也是 n 的单一递加函数 .且 f n (0)1 0, f n (1)1 10 .存在独一 x n (0,1], 知足 f n ( x n ) 0，且 1 x 1 x 2x 3 x n 0当 x(0,1).时, f n ( x)1 xx2x3x4xn22 22 22 220 f n ( x n )x n21(x n2)(3x n1 x nx n4 1综上 , 对每个 n N n, 存在独一的 x n[ 2,1] , 知足 f n ( x n )31x 21 x n 1x 21x1 1 x1 x4x 4 2) 0x n[2,1]30;( 证毕)(Ⅱ) 由题知 1x nxn p0, f n ( x n )1 x nx n 2 x n 3x n 4 x n n 022324 2n 2234nn 1npf n p ( x n p ) 1 x n pxn pxn pxn pxn pxn pxn p223242n2(n 1)2(n p)2上 式相减:x n2x n3x n4x nn2xn p 3xn p 4 xn p n xn p n 1n pxn pxn pxn px n23242n 22232 42 n 2( n 1) 2( n p) 22223344nnn 1n px n - x n p （x n p- x nx n p - x nx n p - x nx n p - x n ）（ x n px n p）2 23 24 2n 2(n 1) 2(n p) 21 1 1 x n - x n p1 . n n p nn法二 :25．（2013 年高考上海卷（理））(3分 +6分 +9分 ) 给定常数c0,定义函数f ( x) 2 | x c 4 | | x c |,数列 a1 , a2 , a3 ,知足 a n 1 f (a n ), n N *.(1)若 a1 c 2 ,求 a2及 a3;(2)求证 : 对随意n N * ,a n1 a n c ,;(3)能否存在 a1,使得 a1 , a2 ,a n ,成等差数列 ? 若存在 , 求出全部这样的a1,若不存在,说明原因 .【答案】 :(1)因为 c0 ,a1(c2) ,故 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ,a3 f (a1) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10(2)要证明原命题 , 只要证明f ( x)x c 对随意x R都建立,f ( x) x c2 | x c 4 | | x c | x c即只要证明 2 | x c 4 | | x c | + xc若 x c 0 , 明显有 2 | x c 4 | | x c | + x c=0 建立 ;若 xc 0 , 则 2 | x c4 | | xc | + x cx c 4x c 明显建立 综上 , f ( x) x c 恒建立 , 即对随意的 nN * , a n1a nc(3) 由 (2) 知, 若 { a n } 为等差数列 , 则公差 d c 0 , 故 n 无穷增大时 , 总有 a n 0此时 , a n 1f (a n ) 2(a n c 4) (a nc) a n c8即 d c 8故 a 2 f (a 1 ) 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8,即 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1c 8,当a 1 c0 时 , 等式建立 , 且 n 2 时 , a n 0 , 此时 { a n } 为等差数列 , 知足题意 ; 若 a 1 c 0 , 则 | a 1 c 4 | 4 a 1c 8 ,此时 , a 20, a 3 c 8, , a n(n 2)(c 8) 也知足题意 ;综上 , 知足题意的 a 1 的取值范围是 [ c,) { c 8} .26．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯WORD 版含附带题） ）本小题满分 10 分 .k 个设 数 列：1， 2，2,3，,3,，3 ，4 ， 4，，4（ k- 1 k - 1,即 当a n -- -）4，，（）- - - - 1 k - 1k（ ）（） k 1k 1 k n k k 1k N时, an （- ）记S n a 1a 2a n n N,对221 k ,于 lN , 定义会合 P ln S n 是a n 的整数倍， n N ，且1 nl(1) 求会合 P 11 中元素的个数 ; (2)求会合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 此题主要观察会合. 数列的观点与运算 . 计数原理等基础知识, 观察研究能力及运用数学概括法剖析解决问题能力及推理论证能力.(1)解:由数 列a n的 定义得 : a 1 1, a 22 , a3 2 , a4 3 , a5 3 , a6 3 , a7 4 , a8 4 , a9 4 ,a10 4 , a115∴ S11, S21, S33, S40, S53, S66, S72, S82, S9 6 , S1010 , S115∴ S1 1 a1, S40 a4,S5 1 a5, S6 2 a6, S11 1 a11∴会合 P11中元素的个数为5(2) 证明 : 用数学概括法先证Si ( 2i1)i (2i1)事实上 ,①当 i 1时,Si( 2i 1)S31(21)3故原式建立②假定当 i m 时,等式建立,即S m(2 m 1)m(2m1)故原式建立则: i m 1,时,S( m1)[ 2( m 1) 1}S( m1)(2 m3}Sm(2m1)(2m1)2( 2m2)2m(2m1) ( 2m1)2(2m 2) 2( 2m25m 3)(m1)(2m 3)综合①②得 : S i ( 2i 1)i (2i1) 于是S( i 1)[ 2i1}Si ( 2i1}(2i1)2i (2i1)(2i 1)2(2i1)(i1)由上可知 : S i ( 2i1}是 ( 2i1) 的倍数而a( i 1)( 2i1}j2i1( j1,2, ,2i1) ,所以 S i (2i 1)j Si( 2i 1)j (2i1) 是a(i 1)( 2 i1}j( j1,2,,2i1)的倍数又S( i 1)[ 2i1}(i1)(2i1) 不是2i2的倍数 ,而a( i 1)( 2i1}j( 2i2)( j1,2,,2i2)所以S( i 1)( 2 i 1) j S(i 1)( 2 i 1)j(22) (2 1)(i1)j(22)不是i i ia(i 1)( 2 i1}j ( j1,2,,2i2)的倍数故当 l i(2i1) 时,会合 P l中元素的个数为 1 3（2i - 1） i 2于是当 l i( 2i1)j（1j2i1）时,会合 P l中元素的个数为 i 2j又 2000 31 （2 31 1） 47故会合 P2000中元素的个数为31247 100827．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为d的等差数列 { a n } 中,已知 a110 ,且 a1 ,2a22,5a3成等比数列.(1) 求d, a n ; (2)若d0 ,求| a1|| a2 | | a3 || a n | .【答案】解:( Ⅰ) 由已知获得:(2a22)25a a4(a d1)250(a2d )(11d)225(5 d )131112122d d 212525d d23d 4 0d4或d1a n a n4n611 n;(Ⅱ)由(1)知 , 当d0时 , a11n ,n①当 1n11时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a n n(10 11n)n(21 n)22②当12n 时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a11(a12a13a n )2( a1a2 a3a11 ) (a1 a2 a3a n ) 211(21 11)n(21n) n221n 220 222n(21n),(1 n 11)所以 , 综上所述 : | a || a || a || a2; |123n n221n2202,( n12) 28．（ 2013 年高考湖北卷（理））已知等比数列a n知足 : a2a310 , a1a2 a3125 .(I)求数列 a n的通项公式;(II) 能否存在正整数m ,使得111 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说a1a2a m明原因 .【答案】解 :(I)由已知条件得 :a2 5 ,又 a2 q 1 10 , q1或3,所以数列a n的通项或 a n 53n 2(II)若 q1,1111或 0 ,不存在这样的正整数m ;a1a2a m5m9, 不存在这样的正整数若 q3,111911m .a1a2a m1031029．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列a n的前n 项和为S n , 且S44S2, a2 n2a n1.( Ⅰ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n前 n 项和为Tn且 T na n1令cnb2n*. 求数,2n( 为常数 ).(n N )列 c n的前n项和R n.【答案】解:( Ⅰ) 设等差数列a n的首项为a1,公差为d,由S44S2,a2n2an1得4a16d 8a14da1(2 n 1) 2a12( n 1)d1,解得,a11, d2所以a n2n 1 ( n N * )T nn( Ⅱ) 由题意知 :2n1b n T n T n1n n 1所以 n 2 时,2n 12n 22n21n 1故,c n b2 n22n 1( n 1)(4)( n N * )所以R n0 (1)0 1 (1)1 2 (1)2 3 (1)3(n 1) (1)n 1, 444441R n 0 (1)11 (1)22 (1)3(n 2) ( 1)n 1( n 1) ( 1)n则 4444443R n(1)1 ( 1)2 (1)3( 1)n 1(n 1) ( 1) n两式相减得4444441 ( 1 )n14 4(n) n11)(144R n1 3n 1(44 n 1 ) 整理得9的前 n 项和R n1 3n 1所以数列数列c n 9 (44n 1)30．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯WORD 版含附带题） ）本小题满分16 分 . 设 { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d0) , S n 是其前 n 项和 . 记b nnS n , n N * , 此中 c 为实数 .n 2 c(1) 若 c 0 , 且 b 1， b 2， b 4 成等比数列 , 证明 :Snkn 2S k ( k,nN * );(2) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c0 .【答案】 证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d 0) , S n 是其前 n 项和∴S nna n(n 1) d2(1) ∵ c0 ∴ b nS nan 1 dn2∵b 1， b 2， b 4 成等比数列∴ b 2 2b 1b 4 ∴ (a 1 d )2a(a 3 d )22∴1ad 1 d 20 ∴ 1 d( a1d ) 0 ∵ d 0 ∴ a1d ∴ d 2a2 4222∴ S nna n(n 1) d nan(n 1)2a n 2 a22∴左侧 = S nk(nk) 2 a n 2 k 2a右侧 = n 2 S kn 2 k 2a∴左侧 =右侧∴原式建立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为d 1 , ∴ b n b 1 (n1)d 1 带入 b nnS n 得:n 2cb 1 (n 1) d 1nS n 1 3(b 1 d 11 d ) n2 cd 1 n c(d 1 b 1 ) 对n 2 c∴ ( d 1d ) na22nN 恒建立d 11 d2∴ b 1d 1a 1 d 02 cd 1 0c(d 1b 1 ) 0由①式得 :d 11 d ∵ d 0 ∴ d 12 由③式得 :c法二 : 证 :(1) 若 c0 , 则 a n a(n 1) d , S nn[( n 1)d 2a], b n(n 1)d 2a22 .当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 , b 22b 1b 4 ,d 23d即:a a a , 得 : d 2 2ad , 又 d0 , 故 d 2a .22由此 : S n n 2a ,Snk( nk) 2 a n 2 k 2 a , n 2 S k n 2 k 2 a .故: S nkn 2S k ( k, n N * ).nS n n 2 (n 1)d2a(2)b n2,n2cn2cn 2 (n 1)d 2ac (n1) d 2ac (n1)d 2a 2n 2 2 2c (n 1)d2a c (n 1) d 2a2 .( ※)2n 2c若 { b } 是等差数列 , 则 bn An Bn 型.n察看 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,(n 1) d 2a故有 : c 20 , 即 c (n 1)d 2a0 ( n 1)d2a≠0,n2c2, 而2故 c 0 .经查验 , 当 c0 时 {b n } 是等差数列 .31．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））等差数列a n的前n 项和为S n,已知S3 =a22, 且S1,S2, S4成等比数列, 求a n的通项式.【答案】32．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为3 的等比2数列 {a n }不是递减数列 ,其前335544成等差数n 项和为S n( n N*) ,且 S + a ,S+ a ,S +a列.( Ⅰ)求数列 { a n} 的通项公式 ;( Ⅱ )设 T n S n 1( n N*),求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n【答案】33 ．（2013年高考江西卷（理））正项数列 {a n} 的前项和 {a n}满足: s n2(n2n 1)s n( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式 a n;(2) 令b nn12, 数列 {b} 的前n项和为T n . 证明 : 对于随意的n*5 2n N, 都有T n(n2)a64【答案】 (1) 解 : 由S n2(n2n1)S n(n2n)0, 得S n(n2n)(S n1) 0.因为 a是正项数列 , 所以S n0, S n n2n .n于是 a1S12, n 2 时, a n S n S n 1n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n的通项 a n2n .(2) 证明 : 因为a n2n, b nn1. (n2)2 a n2则 b nn1111.16 n2(n2)24n2 (n 2)2111111⋯1111T n122423252(n 1)2(n 1)2n2(n 2)2 16321 11111 1516 2 22(n 2) 2(1 2 ).(n 1)16 26434．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））设数列a n 的前 n项和为 S n . 已知 a 11, 2S na n12n2, n N *n 13 n3 .( Ⅰ) 求 a 2 的值 ;( Ⅱ) 求数列 a的通项公式 ;n( Ⅲ) 证明 : 对全部正整数n , 有 111 7 .a 1 a 2a n 4【答案】 .(1)解 :2S nan 11 2 n2 , nN .nn33当 n1 时 , 2a 1 2S 1 a 21 1 2a 2233又 a 1 1, a 2 4(2) 解:2S na n 1 1 n 2 n 2 , n N .n3 32S n na n 11 n 3 n 22n na n 1 n n 1n 2①333当 n 2 时 , 2S n 1n 1 a nn 1 n n 1②3由① — ②, 得 2S n 2S n 1 na n 1n 1 a n n n 12a n 2S n 2S n 12a n na n 1n 1 a nn n 1a n 1 a n 1数列 a n 是以首项为a 11 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 nn1a n 1 1 n 1 n, a n n 2 n 2n当 n1 时 , 上式明显建立 .a nn 2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 , a n n 2 , n N *①当 n1时 , 11 7 原不等式建立 .,a 14②当 n2 时 , 11 117 , 原不等式亦建立 .a 1 a 24 4③当 n 3 时,n 2n 1 n 1 , 11n 1n 2n 111 1 1 11 11111a 1a 2a n1222n21 32 4 n 2 n n 1 n 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 1 1132 2 42 3 52 n 2 n2 n 1 n 12 11 1 11 11 11 1 1 1132435n 2 n n 1 n 12 11 11 1 17111712 n n 14 2n n 142 1当 n3 时 ,,原不等式亦建立 .综上 , 对全部正整数 n , 有11 1 7 .a 1a 2a n 435．（ 2013 年高考北京卷（理） ）已知 { a n } 是由非负整数构成的无量数列 , 该数列前 n 项的最大值记为 n , 第n 项以后各项an 1 ,an 2 , 的最小值记为n,n= n -n .AB d A B(I) 若{ a } 为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为 4 的数列 ( 即对随意*a n 4 a n ), 写出∈N ,nd 1, d 2 , d 3, d 4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : d n =- d ( n =1,2,3) 的充足必需条件为 { a n } 为公差为 d 的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a 1=2, d =1( =1,2,3,), 则 { a } 的项只好是 1 或许 2, 且有无量多项为 1.nn【答案】 (I) d 1 d 2 1,d 3 d 4 3.(II)( 充足性 ) 因为 a n 是公差为 d 的等差数列 , 且 d 0 , 所以 a 1 a 2a n.所以 A na n , B n a n 1 , d n a na n1d (n 1,2,3, ) .( 必需性 ) 因为 d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .又因为 a nA n , a n 1B n , 所以 a n a n 1 . 于是 A n a n , B n a n 1 .所以 a n 1 a n B n A nd nd , 即 a n 是公差为 d 的等差数列 .(III)因为 a12, d11,所以 A1a1 2 , B1A1d11.故对随意 n 1,a n B11.假定a n ( n 2) 中存在大于 2 的项 .设 m 为知足 a n 2 的最小正整数,则m2, 而且对随意1 k m, a k 2 ,.又因为 a1 2 ,所以 A m 1 2 ,且 A m a m2.于是 B m A m d m211,B min a , B 2 .m 1mm故 d m 1Am 1Bm 1 2 20 ,与 d m 11矛盾.所以对于随意 n1,有a n 2 ,即非负整数列a n的各项只好为1或2.所以对随意 n 1,a n2a1,所以 A n2.故 B n A n d n21 1 .所以对于随意正整数n ,存在 m 知足 m n ,且 a m 1,即数列 a 有无量多项为 1.n36．（ 2013 年高考陕西卷（理））设 { a n } 是公比为q的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前n项和公式 ;( Ⅱ ) 设q≠ 1,证明数列 { a n1} 不是等比数列 .【答案】解:( Ⅰ) 分两种状况议论 .①当 q 1时，数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列，所以 S n a1a1a1na1 .②当 q1时， S n a1a2an 1a n qS n qa1 qa2qa n 1 qa n.上面两式错位相减:（1- q)S n a1(a2qa1 ) (a3S n a1qa n.a1(1 qn).1 - q1- qna1 ,③综上 ,S n a1 (1q n )1,q ( Ⅱ)使用反证法.qa2 )(a n qa n 1 ) qa n a1qa n .(q 1)(q 1)设 { a n } 是公比q≠1的等比数列 , 假定数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当 n N *，使得 a n 1 =0建立,则{ a n1}不是等比数列 .②当 n*，使得 a n1a n11a1q n1恒为常数N0建立,则1 a q n 11a n1a1q n1a1 q n 11当 a10时, q1.这与题目条件q≠1矛盾 .③综上两种状况 , 假定数列 { a n1}是等比数列均不建立 , 所以当q≠1时,数列 { a n1} 不是等比数列 .。
高考数学课时达标31
课时达标 第31讲[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n 项和，以及利用S n 与a n 的关系求通项公式，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 6＝( D )A ．142B ．45C ．56D ．67解析 因为a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67.2．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( C ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121解析 因为1n ＋1＋n＝n ＋1－n n ＋1－n ＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120，故选C ． 3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( D )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 010解析 由题意，得a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0，a 5＝a 4＋sin5π2＝1，…，因此，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 018＝4×504＋2，所以S 2 018＝504×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝1 010，故选D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( A )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 5．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 018＝( B ) A ．2 017 B ．－1 010 C ．504D ．0解析 因为a n ＝n cos n π2，所以当n 为奇数时，a n ＝0，当n 为偶数时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝4m ，－n ，n ＝4m －2，其中m ∈N *，所以S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 016＋a 2 017＋a 2 018 ＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 2 016＋a 2 018＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2 016－2 018 ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2 014＋2 016)－2 018＝2×504－2 018＝－1 010，故选B ．6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( B )A ．22 018－1B ．3×21 009－3C ．3×21 009－1D ．3×22 018－2解析 依题意得a n ·a n ＋1＝2n ，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以a 1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3×21009－3.二、填空题7．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__8n n ＋1__.解析 ∵a n ＝n (n ＋1)2n ＋1＝n 2，∴b n ＝8n (n ＋1)＝8⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8nn ＋1.8．(2018·河南郑州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝__130__.解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以当n <5时，a n <0；当n ≥5时，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__2n 2＋6n __.解析 令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2. ∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，a 1适合a n . ∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n (8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n . 三、解答题10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2) (n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)令n ＝2得a 2＝2a 1＝6. 令n ＝3，得a 3＝2a 2＋1＝13.(2)证明：因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a 1＋1＝4≠0，所以a n ＋n ≠0，所以a n ＋n a n －1＋(n －1)＝2，所以数列{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列， 所以a n ＋n ＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－n .(3)因为a n ＝2n ＋1－n ，所以S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋…＋n )＝4(1－2n )1－2－n (n ＋1)2＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.11．(2018·安徽淮南模拟)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解析 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 所以d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n . 因为d <0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11.当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.12．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n＋b n ＋1.(1)求数列{}b n 的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{}c n 的前n 项和T n .解析 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ 6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d .可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n)1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.。
高三数学第二轮复习教案《数列》
数列（第二轮复习）1.等差(比)数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.2.通项公式等差 a n =a 1+(n-1)d ，等比a n =a 1q n -13.等差(比)中项如果在a 、b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差(比)数列，则A 叫a 、b 的等差(比)中项．A ＝(a+b)/2或A ＝±ab4.重要性质：m+n=p+q ⇔ a m ·a n ＝a p ·a q (等比数列)a m +a n ＝a p +a q (等差数列) (m 、n 、p 、q ∈N*) 特别地 m+n=2p ⇔ a m +a n ＝2a p (等差数列) a m ·a n ＝a p 2 (等比数列)5.等差数列前n 项和等比数列前n 项和6.如果某个数列前n 项和为Sn ，则7.差数列前n 项和的最值（1）若a1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，n 可由 ⎩⎨⎧≥≥+0a 0a 1n n （2）若a1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，n 可由 ⎩⎨⎧≤≤+0a 0a 1n n 8．求数列的前n 项和S n ，重点应掌握以下几种方法：（1）.倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.（2）.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.（3）.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.（4）.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n ()()d n n na n a a S n n 21211-+=+=()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==111111q qq a q na S n n在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.9. 三个模型：（1）复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x（2）.单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr) （3）.产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x10．例、习题：1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( )A. 3/8B. 11/24C. 13/24D. 31/722.在等差数列{a n}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为( )(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)3.下列命题中正确的是( )A.数列{a n}的前n项和是S n=n2+2n-1，则{a n}为等差数列B.数列{a n}的前n项和是S n=3n-c，则c=1是{a n}为等比数列的充要条件C.数列既是等差数列，又是等比数列D.等比数列{a n}是递增数列，则公比q大于14.等差数列{a n}中，a1＞0，且3a8=5a13，则S n中最大的是( )(A)S10(B)S11(C)S20(D)S215.等差数列{a n}中，S n为数列前n项和，且S n/S m＝n2/m2 (n≠m)，则a n / a m值为( )(A)m/n (B)(2m-1)/n (C)2n/(2n-1) (D)(2n-1)/(2m-1)6.已知{a n}的前n项和S n=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+…|a10|=( )(A)67 (B)65 (C)61 (D)567.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）(A)12 (B)10 (C)8 (D)68.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(111…11)2 （16个1）位转换成十进制形式是( )(A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-19.{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且b1=0,C n＝a n+b n，若数列{C n}是1，1，5，…则{C n}的前10项和为___________.10.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b-c)log m x+(c-a)log m y+(a-b)log m z=_______.11.数列{a n}的前n项和S n=n2+1，则a n=_________________.12.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比数列，求原数列的四个数.13.已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项的和为S n ，且S 3，S 9，S 6成等差数列.(1)求q 3的值；(2)求证a 2，a 8，a 5成等差数列.14.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.15.数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为前n 项的和，是否存在正常数c ，使得 对任意的n ∈N +成立?并证明你的结论.16.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?17.已知等比数列{a n }的首项a1＞0，公比q ＞0.设数列{b n }的通项b n =a n+1+a n+2(n ∈N*)，数列{a n }与{b n }的前n 项和分别记为A n 与B n ，试比较A n 与B n 的大小.()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg18.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=100，S 100=10，试求S 110.19.已知数列{a n }和{b n }满足(n ∈N +)，试证明：{a n }成等差数列的充分条件是{b n }成等差数列.20.已知数列{a n }中的a 1=1/2，前n 项和为S n ．若S n =n 2a n ，求S n 与a n 的表达式.21.在数列{a n }中，a n ＞0， 2Sn = a n +1(n ∈N) ①求S n 和a n 的表达式；②求证： n a n a a b n n +++⋅++⋅+⋅= 21212121111321<+++nS S S S。
高考数学一轮复习题第31讲数列的综合应用.doc
课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an bn ＋1，其中a ，b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是________．2．从盛满10 L 纯酒精的容器里倒出1 L ，然后用水填满，再倒出1 L 混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________ L.3．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则＋b1·b2的取值范围是________．4．已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 为正实数，a n ＋1＝a n －1an(n ∈N *)，若a 3>0，则a 的取值范围是________．能力提升5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝________.6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．7．[2011·上海长宁二模] 设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，则该数列前6项和为________．8．[2011·无锡联考]已知数列{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 8，则一定有________(填序号)．①a 3＋a 9≤b 9＋b 7； ②a 3＋a 9≥b 9＋b 7；③a 3＋a 9>b 9＋b 7； ④a 3＋a 9<b 9＋b 7.9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于________．10．[2011·衡水模拟]设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ＝________.11．通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{a n }，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是________．12．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧an 2，an 为偶数，3an ＋1，an 为奇数.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．13．(8分)已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋an an . (1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．14．(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：1.19≈2.36 1.00499≈1.041.110≈2.59 1.004910≈1.051.111≈2.85 1.004911≈1.0615．(12分)[2011·扬州调研] 数列{a n}的首项为1，前n项和是S n，存在常数A，B使a n＋S n＝An＋B对任意正整数n都成立．(1)若A＝0，求证：数列{a n}是等比数列；(2)设数列{a n}是等差数列，若p<q，且1Sp ＋1Sq＝1S11，求p，q的值．16．(12分)[2011·苏北四市一调] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝pa n－2n，n∈N*，其中常数p>2.(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列；(2)若a2＝3，求数列{a n}的通项公式；(3)对于(2)中数列{a n}，若数列{b n}满足b n＝log2(a n＋1)(n∈N*)，在b k与b k＋1之间插入2k－1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{c n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c n}的前m项的和T m ＝2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 2
（2004年全国卷）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，(Ⅰ)设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和． 解：b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+22004·全国）已知数列{}n a 满足11a =，123123(1)n n a a a a n a -=++++- (2)n ≥，求{}n a 的通项公式．解：∴1(1),!(2).2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2006.福建.文.22）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；（2006，福建）已知数列{}n a 满足111,21()n n a a a n *+==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12111444(1)()nnb b b b n a n ---*=+∈N ，证明：{}n b 是等差数列；（2006全国I.22）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =求首项1a 与通项n a ；（2010安徽理数） 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++= 。
（全国大纲理20） 设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=-- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：浙江理19．已知数列{}n a 满足：21=a 且()n a a n a n n n ++=+121（*∈N n ）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1n a n 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；例题：设数列{}n a 满足333313221na a a a n n =++++- （*∈N n ） ①求数列{}n a 的通项公式n a ；②设nn a nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S（2013年安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n∈-=（2013年辽宁数学（理））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =___________【答案】63（2013年浙江数学（理）试题）在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++（2013年广东省数学（理）卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值; (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式;【答案】.(1) 24a ∴= (2)2*,n a n n N ∴=∈2013年山东数学（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R . 答案】解:(Ⅰ)21n a n =-*()n N ∈ (Ⅱ)1221221(1)()24n n n n n c b n ---===-*()n N ∈（2013年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a+=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T < 【答案】(1)解:2na n =.。
高考数学一轮双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题第31讲数列的综合问题课件新人教A版
[答案] (1)√ (2)×
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第31讲 数列的综合问题
双
向
固
基
[解析] (1)设等比数列的公比为 q，则 yn－yn－1＝
础
lgxxn－n 1＝lgq(常数)，所以{yn}是等差数列．
(2)设经过 n 次分裂后的细胞总数为 an＋1，则数列{an}
是公比为 2 的等比数列，经过 5 次分裂后的细胞总数为
当 m＝ 2时，bn＝(2n＋2)·2n＋1＝(n＋1)·2n＋2. ∴Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，①
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第31讲 数列的综合问题
①式乘以 2，得
2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3.② ②－①并整理，得
点
Sn＝－2·23－24－25－26－…－2n＋2＋(n＋1)·2n＋3
双
向 固
[答案] (1)√ (2)× (3)×
基
[解析] (1)我国银行的存款都是单利计息，单利计
础 算公式是，设本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 n，则
本利和 an＝a(1＋rn)，属于等差模型． (2)复利计算公式是，设本金为 a 元，每期利率为 r，
存期为 n，则本利和 an＝a(1＋r)n，属于等比模型，两者 计算的利息是不同的．
面 讲 考 点
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第31讲 数列的综合问题
► 探究点二 数列在实际问题中的应用
例 2 [2012·湖南卷] 某公司一下属企业从事某种高科技
点 产品的生产．该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入
面 生产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金增长率
【高考总复习必备】2013年高三数学专题复习教案第31课时第四章三角函数-三角函数式的化简与证明(全国通用
第31课时：第四章 三角函数——三角函数式的化简与证明 一.课题：三角函数式的化简与证明二.教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明．三.教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明．四.教学过程：（一）主要知识：1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．（二）主要方法：1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）例题分析：例1．化简：（1； （2）(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；（3)θπ<<． 解：（1）原式==2==- （2）原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅ 2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin cos cos ααααααα-=+=+-=． （3）原式==222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<，∴022θπ<<，∴|cos |cos 22θθ=， ∴原式cos θ=-．例3．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x++=-； （2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A +-+=． 证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x ++-=+== 22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x x x x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边，∴得证． 说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A++-+= sin()cos cos()sin sin A B A A B A A+-+= sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．（四）巩固练习：1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ B ） ()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a2．已知()f x =当53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简（D ） ()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．。
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第31课时 数列应用（二）
[复习巩固]
1、有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余为钢管尽可能减少，那
么剩余钢管的根数为__________
2、某种商品投产后，计划两年后使成本降低了36%，那么平均每年应降低成本_________
3、每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的3/4，若洗n次后，存在的
污垢在1%以下，则n的最小值为_________
4、已知实数x，a
1，a2，y成等差数列，x，b1，b2
，y成等比数列，则21212()aabb+的取
值范围是_____________
5、若向量a
n=(cos2nθ，sin nθ)，bn=(1，2sin nθ)（n∈N*），则数列{|an·bn
|2-1}是________
数列。
[基础练习]
1、
△ABC内任意三点不共线的2002个点，加上A、B、C三个顶点，共有2005个点，
把这2005个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可形成小三角形的个数为________
2、命题甲：211(),2,22xxx−成等比数列，命题乙：lgx，lg(x+1)，lg(x+3)成等差数列，则
甲是乙的________条件。
3、设数列a1，a2，…，an，…满足a1=a2=2，a3=2，且对任意自然数n，都有an·an+1·a
n+2
≠1，又an·an+1·an+2·an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a100=______
4、一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（即沿对边中点的连线折叠）8
次，这时报纸的厚度和面积分别为_________和_________。
5、已知等差数列{a
n
}的前n项和为Sn，若12007OBaOAaOC=+uuuruuuruuur，且A、B、C三点
共线（O为该直线外一点），则S2007=___________。
[典型分析]
例1：
已知函数f(x)=22xx+，当x1=1时，xn=f(xn-1)（n≥2，n∈N*），求数列{xn}的通
项公式及x2005。
例2：已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求数列{an}的通项
公式；（2）若数列{b
n}满足bn=log2(an
+2)，Tn为数列{2nnba+}的前n项和，求证Tn≥12。
（3）数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r
例3：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游
产业，根据规划，本年度投入800万元。以后每年投入将比上年减少1/5，本年度当地旅游
收入估计为400万元。由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上
年增加1/4。（1）设n年内（本年度第一年）总投入为a
n万元，旅游业总收入为bn
万元，写
出an，bn的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
[小结反思]