安徽省六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学理试题Word版含答案
2018届安徽省六校教育研究会高三第二次联考理科数学试题及答案
2018届安徽省六校教育研究会⾼三第⼆次联考理科数学试题及答案安徽省六校教育研究会2018 届⾼三联考数学试题（理科）考试时间：120 分钟满分：150 分【注意】本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，请考⽣在答题卡上书写答案，在试题卷上作答⽆效。
第I 卷（选择题共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1 ．对任意复数，i 为虚数单位，则下列结论正确的是2 ．已知p ：关于x 的不等式有解，q： a>0 或a <-1, 则p 是q 的Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件3．今年，我校迎来了安徽师范⼤学数学系 5 名实习教师，若将这 5 名实习教师分配到⾼⼀年级的3 个班实习，每班⾄少1 名，最多2 名，则不同的分配⽅案有Ａ．180 种Ｂ．120 种Ｃ．90种Ｄ．60种4．在极坐标⽅程中，曲线C 的⽅程是，过点(4, π/6)作曲线C 的切线，切线长为Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ． 2 2 Ｄ． 3 25 ．设Sn 是等差数列{a n} 的前n 项和，，已知 Sn=336 ，则n 的值为Ａ．18 Ｂ．19 Ｃ．20 Ｄ．216．已知的最⼩值为n ，则⼆项式展开式中常数项是Ａ．第10项Ｂ．第9 项Ｃ．第 8 项Ｄ．第 7 项7．已知半圆的直AB=6 ，O 为圆⼼，C 为半圆上不同于,A, B的任意⼀点，若 P 为半径OC上的动点，则的最⼩值是Ａ．-2/9 Ｂ． 2/9 Ｃ．2 Ｄ． -28．已知函数，若f(x)) 在R 上既有最⼤值⼜有最⼩值，且最⼤值与最⼩值的和为4 ，则3b-2a=Ａ． 6 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．39．在平⾯直⾓坐标系中， A(0, 0) B(1，2)两点绕定点P 顺时针旋转θ⾓分别到A’(4，4),B’(2，5)两点，则cosθ的值为。
安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题及参考答案
安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题2023.8注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24M x Z x =∈≤，201x N x x −=≥ +，则M N = （ ）A.{}2,1,0,1−−B.{}2,2−C.{}2−D.22.复数z 在复平面内对应的点为)1−，则1iiz −=+（ ） A.13i 55− B.33i 55− C.11i 55− D.11i 55−− 3.已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 3αβ=，则()cos αβ−=（ ） A.16−B.16C.23− D.234.已知向量m ，n ，且1m n == ，32m n −=，则向量m 在向量n 方向上的投影向量为（ ）A.0B.12m C.12nD.12n −5.已知()1,0A −，()2,0B ，若动点M 满足2MB MA =，直线:20l x y +−=与x 轴、y 轴分别交于两点，则MPQ △的面积的最小值为（ ）A.4+B.4C.D.4−6.设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*n N ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若14m <<，椭圆22:1x C y m +=与双曲线22:14x y D m m−=−的离心率分别为1e ，2e ，则（ ） A.12e e 的最小值为12 B.12e eC.12e e 的最大值为12D.12e e8.已知函数())2ln 1x f x x e =+−+，则不等式()()212f x f x +−>−的解集是（ ） A.1,3 +∞B.()1,+∞C.1,3 −∞D.(),1−∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：h ）的数据如下表： 女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3 男生6.16.56.97.57.78.08.18.28.69.4以下判断中正确的是（ ）A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85B.该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小D.8h 的概率为0.510.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为81ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为27ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度()ppm y 与排气时间t （分钟）之间存在函数关系()y f t =，其中()()f t R f t ′=（R 为常数）.（注：()()()ln f x f x f x ′′=）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，人就可以安全进入车库了.则（ ） A.ln 34R =−B.13eR −=C.排气20分钟后，人可以安全进入车库D.排气24分钟后，人可以安全进入车库11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x R ∈，用[]x 表示不超过x的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=.已知函数()[]2f x x x =+−，下列说法中正确的是（ ）A.()f x 是周期函数B.()f x 的值域是(]1,2C.()f x 在()0,1上是增函数D.若方程()()11f x k x =++有3个不同实根，则1132k <≤ 12.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC −容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.直线AE 与PB 所成的角为2πB.ABE △的周长最小值为4C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入）D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为______.（结果用数值表示） 14.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式()146V h L M N =++（其中L ，N ，M ，h 分别为Ω的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R ，可得该球的体积为()2314204063V R R R ππ=×+×+=；已知正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，可得该正四棱锥的体积为2221104623a V h a a h =×+×+= .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O 的表面积为216cm π，若用距离球心O 都为1cm 的两个平行平面去截球O ，则夹在这两个平行平面之间的几何体Π的体积为______3cm .15.已知M 、N 为双曲线()222210,0x y a b a b−=>>上关于原点对称的两点，点M 在第一象限且与点Q 关于x轴对称，43ME MQ =，直线NE 交双曲线的右支于点P ，若PM MN ⊥，则双曲线的离心率e 为______.16.已知函数()2cos sin 2f x x x =−给出下列结论： ①()y f x =的图象关于点,02π对称； ②()y f x =的图象关于直线x π=对称； ③()f x 是周期函数；④()f x 其中正确结论有______.（请填写序号）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a cb C B−=. （1）求角B 的大小；（2）若BC 的中点为D 且AD =2a c +的最大值.18.（本小题12分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11A ACC ，111224AC AA AC ===，B 为下底面圆周上异于A ，C 的点.（1）点P 为线段BC 的中点，证明直线1PC ∥面1AA B ；（2）若四棱锥11B A ACC −的体积为AB 与平面1C CB 夹角的正弦值.19.（本小题12分）已知函数()xf x ae x =−（e 是自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()()1ln xg x ae x x f x =−−+有两个零点，求实数a 的取值范围.20.（本小题12分）为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.求： （1）若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率； （2）若第一次由甲组答题，记第n 次由甲组答题的概率为n P ，求n P .21.（本小题12分）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，*q ∈N .令2log n q nn nb a +=，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，n S 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若2134a a a =，2367S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且99299log 99S T −=，求q . 22.（本小题12分）已知抛物线2:2E x py =（p 为常数，0p >）.点()00,M x y 是抛物线E 上不同于原点的任意一点.（1）若直线00:2x l yx y =−与E 只有一个公共点，求p ； （2）设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为A ，B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两点.①证明：PA PB ⊥. ②试问PC ABPB CD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题参考答案1. 【答案】B 【解析】方法一：因为{}{}2|42,1,0,1,2M x Z x =∈≤=−−，{}201,21x N xx x x x ⎧⎫−=≥=<−≥⎨⎬+⎩⎭或，所以MN ={}2,2−．故选：B ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =−−，将2,1,0,1,2−−代入不等式201x x −≥+，则有2−，2使不等式成立，所以MN ={}2,2−．故选：B ． 32|7m n −=，得222232|(32)9||4||127m n m n m n m n −=−=+−⋅=， |||1m n ==，94127m n ∴+−⋅=，整理得：12m n ⋅=， 因为[],0,m n π∈，所以,m n 的夹角为π3，向量m 在向量n 方向上的投影向量为12n . 故选C . 【答案】D21 . 2ex>，由所以()f x的定义域为11. 【答案】AB【解析】由题意，列出部分定义域0,211,10[2]2,013,12x x x x x −<−⎧⎪−<⎪+=⎨<⎪⎪<⎩，所以部分定义域的,211,10()[2]2,013,12x x x x f x x x x x x x −−<−⎧⎪−−<⎪=+−=⎨−<⎪⎪−<⎩，可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(1,2],在(0,1)上单调递减， 故选项A 、B 正确，C 错误；对于选项D ，结合图象知，若()y f x =的图象与直线(1)1y k x =++有3个交点，则1111[,),]4532k ∈−−(，所以选项D 错误， 故选：.AB12. 【答案】ACD 【解析】解：A 选项，由于D 为PB 的中点， 所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ⋂=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ， 所以PB AE ⊥，故选项A 正确；，ACD故选.13. 【答案】65【解析】要求高一年级和高二年级的同学都有，球由43ME MQ =，则E 从而有11,MN PN y k k x =kP 平面2为原点，2221,,O B O C O O 方向为()()()(110,1,3,2,2,0,0,1,3,2,2,0AA AB CC BC ===−=−设a AB =，平面1C CB 的法向量为(),,b x y z =，，则(3,3,1b =232,440a ba b a b +⋅>==++⨯与平面1C CB 夹角的正弦值为时,()f x 在R 上递减;②当0fx ，()f x 在时，()0f x '<，0fx ，此时函数()ln x x x e −+=()10x t x e '=+>）{}n b 为等差数列，112log 1q a =+q =或1a =的判别式220p x =−在抛物线由0=，即16可得2k km −−所以12k k =−PA PB ⊥；Rt PBA ∽Rt PCD ，||||||PB AB PC CD =，即有||||PC PB ⋅。
安徽省六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考语文试卷(Word版_含答案)
安徽省六校教育研究会2018届高三（上）第一次联考语文试卷（考试时间：150分钟试卷分值：150分）一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1~3题。
①“社会学”一词来源于拉丁文的“社会”和希腊文的“言论、学说”的结合，就其最一般的意义而言，他是一门关于社会的科学。
1838年法国实证主义哲学家、西方社会学的创始人孔德正是在这个意义上首先使用“社会学”概念的，目的是要表明一种新的不同于以前那种思辨的社会哲学或历史哲学的实证社会学说。
但是，由于社会概念本身含义的广泛和不确定，使得社会学的研究对象长期以来总是显得模糊不清和捉摸不定。
②社会学家们对社会学的分歧主要表现为：第一，社会学有没有自己的研究对象？第二，如果社会学有自己的研究对象，其特定的研究对象是什么？有些社会学家根本否认社会学有特定对象，他们或者把社会学归结为方法科学，强调社会学是社会调查研究的科学方法；或者把社会学当作“剩余社会科学”。
前者从根本上否定了社会学有研究对象的可能性；后者则把社会学的研究对象当作一种变化不定的东西或者其他不研究的内容大杂烩。
③显然上述观点都否定了社会学的独立性和它在社会科学中的应有地位。
因此，绝大多数社会学家都不赞成这两种看法，而肯定社会学有自己的独特研究对象。
那么社会学的独特研究对象是什么？学术界又各持己见。
大体上可以分为以下两类：第一类侧重以社会为对象，重在研究社会的结构和过程、社会的运行和发展、社会的秩序和进步等等。
它主要体现了社会学史上的实证主义传统；第二类侧重以个人及其社会行为为研究对象。
它主要体现了社会学史上的反实证主义传统。
④其实，社会学的研究对象是“活”的社会有机体，就是现实的、具体的、作为整体的社会。
因此，社会学要研究的不是一般的抽象的社会形态及其变化发展的普遍规律，而是由具体的个人通过各种社会活动、社会关系所结成的现实的社会，以及这个现实社会的运动、变化、发展的过程。
安徽省六校教育研究会2018届高三上学期第二次联考数学(文)试题(WORD版 有答案)
安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考数学试题（文）命题：合肥一六八中学考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设复数z满足，则=（）A. 1B. 5C.D. 22．已知向量=(1,2)，向量=(3,-4)，则向量在向量方向上的投影为（）--1 C. 0 D. 23. 已知集合则=（）A. RB.C.D.4.已知变量x，y成负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A. y=-0.4x+2.3B. y=-2x+2.4C. y=-2x+9.5D. y=-0.4x+4.45.函数的大致图象为( )A. B.C. D.6.某几何体的三视图如下图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）A．(19+π)cm2 B．(22+4π)cm2C．(10+6+4π)cm2 D．(13+6+4π)cm27.若是数列的前n项和，,则是( )A．等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列 D.既非等数列又非等差数列8．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 109.如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为60°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA＝5，则球的表面积为（）A. 300πB. 100π10.若不等式组所表示的平面区域内存在点(x0，y0)，使x0＋ay0＋2≤0成立，则实数a 的取值范围是（）．A. [-1，+∞）-∞,-1] C. (-∞,1] D. [1, +∞)11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体中AB=AD ,A1B1=A1D1．台体体积公式：，其中S’,S分别为台体上、下底面面积，h为台体高.若AB=1,A1D1=2，，三棱锥A-ABD的体积V=，则该组合体的体积为（）．A．11 3 B．17 3 C．2 3 D．5 312．，g(x)= ，若不论x2 取何值，f(x1)>g(x2 )对任意总是恒成立，则a的取值范围是（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线1的一条渐近线方程为y=x ，则双曲线的离心率为.14.将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小值为__________．15.已知正数数列{a n}对任意p，q∈N＋，都有a p＋q＝a p＋a q，若a2＝4，则a9＝16.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)锐角△ABC中,a,b,c分别是三角形ABC的边，已知a=,f(A)=,求b2+c2+bc的取值范围18.（本题满分12分）如图，三棱柱中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=,BC=.点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，FG=，点M在线段CF上，且CM =CF.（1）证明：直线GM//平面DEF；（2）求三棱锥M-DEF的体积.19.（本题满分12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了新课改普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率20.（本题满分12分）已知椭圆C1：1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3－的直线l恰好与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若的最大值为49，求椭圆C1的方程．21．（本题满分12分）已知函数f(x)=mx+，m,n∈R.（1）若函数f(x)在(2,f(2))处的切线与直线x-y=0平行，求实数n的值；（2）试讨论函数f(x)在区间[1,+∞)上最大值；（3）若n=1时，函数f(x)恰有两个零点x1,x2(0<x1<x2)，求证：x1+x2>2.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
安徽省六校教育研究会高三第一次联考试卷数学(文) Word版含答案
安徽省六校教育研究会2015届高三第一次联考数 学 试 题（文科）（满分：150分，时间：120分钟）第I 卷一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。
）1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )A ．B ．C ．D ．2．已知等比数列满足公比，则的前10项和等于( )A ．B ．C ．D ．3．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A ．B ．C ．D ．4．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移6π个长度单位后，所得到的图像关于（ ）对称.A ．y 轴B ．原点（0，0）C ．直线D ．点5．已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A B C ． D ． 6．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知是函数2()(1)(1)f x x m x m =---+的图象与轴的两个不同交点，其图象的顶点为，则面积的最小值是（ ）A ．１B ．C ．D ．9．从[-4,4]上任取一个数x ，从[-4,4]上任取一个数y ,则使得的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在中，若依次成等差数列，则（ ）A ．依次成等差数列B ．依次成等比数列C ．依次成等差数列D ．依次成等比数列二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示.（I ）直方图中x 的值为 ；（II ）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 .12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = .13．设x 、y 、z ∈R +，若xy + yz + zx = 1，则x + y + z 的取值范围是__________.14．记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为，若直线与公共点，则的取值范围是 .15．已知、分别是函数22)24()2cos x x x f x x xπ+++=+的最大值、最小值，则. 三、解答题（本题6小题，共75分。
(整理)安徽省六校教育研究会届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科).
安徽省六校教育研究会2015届上学期高三年级第一次联考数学试卷（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷一、选择题（共10小题，每小题5分，计50分）1．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（ ） A ．()3,1--B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()-1,0D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭2．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ()A ．4B ．143C ．163D ．6 3．已知点()1,1A -,()1,2B ,()2,1C --,()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） ABC．D． 4．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x xD ．{}|<-lg2x x5．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则 A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>6．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π 7．从[0,10]上任取一个数x ，从[0,6]上任取一个数y ,则使得534x y -+-≤的概率是（ ） A ．15B ．13C ．12D ．348．在ABC ∆中，若111,,tan tanB tanCA 依次成等差数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．222,,a b c 依次成等比数列9．已知,P Q 是函数2()(1)(1)f x x m x m =---+的图象与x 轴的两个不同交点，其图象的顶点为R ，则PQR ∆面积的最小值是（ ）A ．１BC ．D ．410．若不等式21x x a <-+的解集是区间(3,3)-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,7)-∞B ．(,7]-∞C ．(,5)-∞D ．(,5]-∞二、填空题（共5小题，每小题5分，计25分）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示。
安徽省皖西南十校联考2018届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省皖西南十校联考高三（上）期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2+x﹣6＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，则A∩B等于（）A．∅B．（﹣2，3）C．（3，4）D．（2，4）2．已知等差数列{an }中，a5=9，且2a3﹣a2=6，则a1等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．13．已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0 B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0 D．￢p是假命题4．已知cos sin=cos（x+）cosx+，则sin2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则与的夹角的余弦值为（）A． B．C．D．6．“b＞1”是“直线l：x+3y﹣1=0与双曲线的左支有交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．189．已知变量x、y满足约束条件若的最大值为2，则的最小值为（）A．B． C． D．10．已知函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0，），则下列关于函数g（x）=cos（2x﹣φ）的正确描述是（）A．g（x）在区间[﹣]上的最小值为﹣1．B．g（x）的图象可由函数f（x）向上平移2个单位，在向右平移个单位得到．C．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向左平移个单位得到．D．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向右平移个单位得到．11．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2C．D．12．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=，实数m，n满足m＜n＜0，若∀x1∈[m，n]，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则n﹣m的最大值为（）A．4 B．2C．4D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知椭圆的左右顶点分别为A、B，上顶点为C，若△ABC是底角为30°的等腰三角形，则= ．14．若函数有零点，则实数a 的取值范围是 ．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且，则S 7= ．16．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为的正方形，AA 1=3，E 是AA 1的中点，过C 1作C 1F ⊥平面BDE 与平面ABB 1A 1交于点F ，则CF 与平面ABCD 所成角的正切值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（sinx ，cosx ），=（3，﹣1）．（1）若∥，求sin 2x ﹣6cos 2x 的值；（2）若f （x ）=•，求函数f （2x ）的单调减区间．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n =3n+1+a （n ∈N +） （1）求a 的值及数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（1﹣an ）log 3（a n 2•a n+1），求的前n 项和为T n ．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且=．（1）若b=sinB ，求a ；（2）若a=，△ABC 的面积为，求b+c ．20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点为M ，又PA=AB=4，AD=CD ，∠CDA=120°，点N 是CD 的中点． （1）求证：平面PMN ⊥平面PAB ； （2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．21．已知右焦点为F 2（c ，0）的椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（1，），且椭圆C 关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．22．设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．2017-2018学年安徽省皖西南十校联考高三（上）期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2+x﹣6＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，则A∩B等于（）A．∅B．（﹣2，3）C．（3，4）D．（2，4）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x2+x﹣6＞0}=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），集合B={x|﹣2＜x＜4}=（﹣2，4），则A∩B=（2，4）．故选：D．2．已知等差数列{an }中，a5=9，且2a3﹣a2=6，则a1等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a4，进一步求得公差，再由等差数列的通项公式求得a1．【解答】解：在等差数列{an}中，由2a3﹣a2=6，得a4=6，∵a5=9，∴d=a5﹣a4=3，∴a1=a4﹣3d=6﹣3×3=﹣3．故选：B．3．已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0 B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0 D．￢p是假命题【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】根据已知中原命题，写出命题的否定，并判断其真假，可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，∴命题p为：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0；当x＞0时，3x＞1，﹣1≤cosx≤1，∴3x﹣cosx＞0，故p是真命题，即¬p是假命题．故选：D4．已知cos sin=cos（x+）cosx+，则sin2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、两角和与差的余弦公式以及二倍角公式对已知等式进行化简，然后求sin2x的值．【解答】解：∵cos sin=cos（﹣）=cos=，cos（x+）cosx+=﹣sinxcosx+=﹣sin2x+，∴=﹣sin2x+，∴sin2x=．故选：A．5．已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则与的夹角的余弦值为（）A． B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的余弦值．【解答】解：∵向量，满足||=1，||=2，再根据|﹣|=2===，∴，则则与的夹角的余弦值cos＜，＞==，故选：C．6．“b＞1”是“直线l：x+3y﹣1=0与双曲线的左支有交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得﹣＞﹣，解得b＞，再由充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线l：x+3y﹣1=0与双曲线的左支有交点，可得﹣＞﹣，解得b＞，则b＞1，推得b＞，反之，不成立．故“b＞1”是“直线l：x+3y﹣1=0与双曲线的左支有交点”的充分不必要条件．故选：A．7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，则．故选A．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体，结合图中数据求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，画出几何体的直观图如图所示，根据图中数据，计算其体积为V组合体=V三棱柱+V长方体=．故选：C．9．已知变量x、y满足约束条件若的最大值为2，则的最小值为（）A．B． C． D．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解a，然后求解目标函数的最小值．【解答】解：变量x、y满足约束条件的可行域如图：表示经过可行域内一点（x，y）与点P（﹣1，0）的直线的斜率，当取直线x=a与3x﹣y﹣3=0的交点A（a，3a﹣3）时，取最大值2，即，得a=5，则取点（5，﹣2）时，取最小值．故选：D．10．已知函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0，），则下列关于函数g（x）=cos（2x﹣φ）的正确描述是（）A．g（x）在区间[﹣]上的最小值为﹣1．B．g（x）的图象可由函数f（x）向上平移2个单位，在向右平移个单位得到．C．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向左平移个单位得到．D．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向右平移个单位得到．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0，），∴3φ=π，φ=，∴f（x）=1+2cosxcos（x+π）=1﹣2cos2x=﹣cos2x=cos（π﹣2x）=cos （2x﹣π），∴函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣），故函数f（x）的图象先向左平移个单位得到y=cos[2（x+）﹣π]=cos（2x﹣）=g（x）的图象，故选：C．11．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C （0，4），F （，0），可得A （，2），代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，即有a=+=，A （，2），可得C 到直线OA ：y=2x 的距离为d==，可得直线OA 被圆C 所截得的弦长为2=．故选：C ．12．已知函数f （x ）=﹣x 2﹣6x ﹣3，g （x ）=，实数m ，n 满足m ＜n ＜0，若∀x 1∈[m ，n]，∃x 2∈（0，+∞），使得f （x 1）=g （x 2）成立，则n ﹣m 的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．4D ．2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．【分析】利用导数法可得当x=1时，g （x ）取最小值2，由f （x ）=﹣x 2﹣6x ﹣3在x=﹣3时，取最大值6，令f （x ）=2，则x=﹣5，或x=﹣1，数形结合可得答案．【解答】解：∵g （x ）=，∴g′（x ）=，当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0，g （x ）为减函数， 当x ＞1时，g′（x ）＞0，g （x ）为增函数， 故当x=1时，g （x ）取最小值2，由f （x ）=﹣x 2﹣6x ﹣3在x=﹣3时，取最大值6， 令f （x ）=2，则x=﹣5，或x=﹣1， 作两个函数的图象如图所示：由图可得：n ﹣m 的最大值为﹣1﹣（﹣5）=4， 故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知椭圆的左右顶点分别为A 、B ，上顶点为C ，若△ABC 是底角为30°的等腰三角形，则=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出a ，b 关系式，最后求解即可．【解答】解：由题意得∠CAB=30°，则tan ∠CAB=，可得离心率为e==，所以．故答案为：．14．若函数有零点，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，3） ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理；分段函数的应用． 【分析】利用分段函数，通过x 的范围，分别求解函数的零点，推出a 的范围即可．【解答】解：∵当x ≥1时，，无零点；∴当x ＜1时，函数是减函数，有零点，即，解得a ＜3．故答案为：（﹣∞，3）．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且，则S 7= 120 ．【考点】数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式判断{a n +1}是公比为2的等比数列，然后求解数列的和即可．【解答】解：由已知得，则{a n +1}是公比为2的等比数列，∵a 2+1=2，∴a 1+1=1，∴，解得S 7=120． 故答案为：120．16．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为的正方形，AA 1=3，E 是AA 1的中点，过C 1作C 1F ⊥平面BDE 与平面ABB 1A 1交于点F ，则CF 与平面ABCD 所成角的正切值为 ．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连结AC 、BD ，交于点O ，当C 1F 与EO 垂直时，C 1F ⊥平面BDE ，从而F ∈AA 1，进而∠CAF 是CF 与平面ABCD 所成角，由△C 1A 1F ∽△EAO ，求出AC ，由此能求出CF 与平面ABCD 所成角的正切值．【解答】解：连结AC 、BD ，交于点O ， ∵四边形ABCD 是正方形，AA 1⊥底面ABCD ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1，则当C 1F 与EO 垂直时，C 1F ⊥平面BDE ， ∵F ∈平面ABB 1A 1，∴F ∈AA 1， ∴∠CAF 是CF 与平面ABCD 所成角， 在矩形ACC 1A 1中，△C 1A 1F ∽△EAO ，则=，∵A 1C 1=2AO=AB=2，AE=，∴A 1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF 与平面ABCD 所成角的正切值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（sinx， cosx），=（3，﹣1）．（1）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（2）若f（x）=•，求函数f（2x）的单调减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）根据向量平行，求出tanx的值，从而求出代数式的值即可；（2）求出f（2x）的解析式，根据正弦函数的单调性解出f（2x）的递减区间即可．【解答】解：（1）∵=（sinx， cosx），=（3，﹣1），∥，∴3sinx﹣cosx=0，解得：tanx=，故sin2x﹣6cos2x====；（2）f（x）=3sinx﹣cosx=2sin（x﹣），f（2x）=2sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈N，故函数的递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈N．18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+a（n∈N+）（1）求a 的值及数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（1﹣an ）log 3（a n 2•a n+1），求的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）等比数列{a n }满足6S n =3n+1+a （n ∈N +），n=1时，6a 1=9+a ；n ≥2时，6a n =6（S n ﹣S n﹣1），可得a n =3n ﹣1，n=1时也成立，于是1×6=9+a ，解得a ．（2）由（1）代入可得b n =（1+3n ）=（3n+1）（3n ﹣2），因此=．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵等比数列{a n }满足6S n =3n+1+a （n ∈N +）， n=1时，6a 1=9+a ；n ≥2时，6a n =6（S n ﹣S n ﹣1）=3n+1+a ﹣（3n +a ）=2×3n ． ∴a n =3n ﹣1，n=1时也成立，∴1×6=9+a ，解得a=﹣3． ∴a n =3n ﹣1．（2）b n =（1﹣an ）log 3（a n 2•a n+1）=（1+3n ）=（3n+1）（3n ﹣2），∴=．的前n 项和为T n =+…+==．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且=．（1）若b=sinB ，求a ；（2）若a=，△ABC 的面积为，求b+c ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：3sinCcosA=2sinC ，结合sinC ≠0，可求cosA=，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，结合已知，利用正弦定理可得a 的值．（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=3，进而利用余弦定理即可解得b+c 的值．【解答】解：（1）∵=．∴由正弦定理可得：，整理可得：3sinCcosA=2sin（A+B）=2sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，可得：sinA==，∵b=sinB，∴由正弦定理可得：a===．（2）∵sinA=，△ABC的面积为=bcsinA=×bc，∴bc=3，∵a=，cosA=，∴由余弦定理可得：6=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣10，∴b+c=4．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA=AB=4，AD=CD，∠CDA=120°，点N是CD的中点．（1）求证：平面PMN⊥平面PAB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理先证明MN⊥平面PAB即可证明平面PMN⊥平面PAB；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是正三角形，AB=BC，在△ACD中，AD=CD，则△ABD≌△CDB，∴M为AC的中点，∵点N是CD的中点，∴MN∥AD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．∵∠CDA=120°，∴，∠DAC=30°，∵∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，即AB⊥AD，又PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAD．∴MN⊥平面PAB．∵MN⊂平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAB．（2）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．由（1）可知，为平面PAC的法向量．，．设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．由题意值二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，则二面角A﹣PC﹣B余弦值为．21．已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；（2）线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围．【解答】解：（1）∵椭圆C过点（1，），∴+=1，①…∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，…∴，②…由①②得a=2，b=，…∴椭圆C的方程为…（2）依题意，直线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+…联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x，y），则∴y1+y2=﹣，∴y0=﹣，x=，∴k=，①当m=0时，k=0；②当m≠0时，k=，∵|4m+|=4|m|+≥8，∴0＜|k|≤，∴﹣≤k≤且k≠0．综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣≤k≤．…22．设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．即可求m的取值范围．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．构造函数h（x）=xlnx，g（x）=﹣，证明h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f'（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，=h（）=﹣，∴h（x）min设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，=g（1）=﹣，∴g（x）max∵≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，∴方程xf（x）﹣=﹣没有实数根．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
百度文库 1 安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期 第一次联考数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数21izi，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ） A．12 B．32 C．32i D．32i 2.集合21,0,1,2,3,log12ABxx，则AB（ ） A．0,1,2 B．0,1,2,3 C．1,0,1,2,3 D．1,0,1,2 3.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间
22,31内的频率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 4.已知等比数列na满足213562,4aaaa，则3a的值为（ ） A．1 B．2 C. 14 D．12 百度文库 2 5.已知变量,xy满足约束条件241xyxyy，则目标函数2zxy的最小值为（ ） A．1 B．1 C.3 D．7 6.下列函数中，既是偶函数，又在0,上单调递增的是（ ）
A．ln1yx B．1yxx C.cosxyx D．xxyee 7.8211xxx的展开式中，6x的系数为（ ） A．154 B．42 C. 42 D．126 8.如图，给出的是计算111147100的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ）
A．100,1inn B．34,3inn C. ,3inn D．,3inn 9.关于函数3cos213yx，下列叙述有误的是（ ） A．其图象关于对称直线3x对称 B．其图象可由3cos213yx图象上所有点的横坐标变为原来的12得到 C. 其值域是2,4 D．其图象关于点5,112对称 百度文库 3 10.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ） A．5400种 B．3000种 C.150种 D．1500种 11.如图，等边ABC的边长为2，顶点,BC分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，
M为AB中点，则OAOM的最大值为（ ）
A．7 B．572 C.72 D．3332 12.已知函数,0ln,xexfxxx，则函数211Fxffxfxe (e为自然对数的底数）的零点个数是（ ） A．3 B．4 C.6 D．8 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题:pxR，都有2240xx，则p为 ． 14.如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为正方形且点C坐标为11,2.抛物线的顶点在原点，关于x轴对称，且过点C.在正方形ABCD内随机取一点M，则点M在阴影区域内的概率为 ． 百度文库 4 15.已知三棱锥PABC，ABC为边三角形，PAC为直角三角形，90,30PACPCA，平面PAC平面ABC.若3AB，则三棱锥PABC外接球的表
面积为 ． 16.已知12,FF为双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交,QP两点，且2PQPFa，双曲线C的渐近线方程为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,3abcA.
（1）若3a，求ABC面积的最大值； （2）若12ca，求sinB的值.
18.已知正项数列na的前n项和为nS，满足2*122nnSanN. （1）求数列na的通项公式； （2）设数列1221nnnnnaabaa，求数列nb前n项和nT的值. 19. 如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，//ABCD，12ADCDBCAB，PAD为等边三角形，PABD. 百度文库 5 （1）求证：平面PAD平面ABCD； （2）求二面角APBC大小的余弦值. 20.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
（1）求该校报考飞行员的总人数； （2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 21.已知点M是圆心为E的圆22316xy上的动点，点3,0F，线段MF的垂直平分线交EM于点P. （1）求动点P的轨迹C的方程； 百度文库 6 （2）矩形ABCD的边所在直线与曲线C均相切，设矩形ABCD的面积为S，求S的取值范围. 22.已知函数lnxfxex. （1）研究函数fx的单调性； （2）若不等式1fxax在1,上恒成立，求实数a的取值范围.
试卷答案 一、选择题 1-5: BACAA 6-10: DBCDD 11、12：BC 二、填空题 13.xR，使得2240xx 14. 23 15. 15 16.512yx 三、解答题 17.解：（1)由余弦定理得2222cosabcbcA，即223bcbc，所以223bcbc， 因为222bcbc，所以32bcbc，即3bc(当且仅当bc时，等号成立）， 所以1333sin244ABCSbcAbc，故ABC面积的最大值为334. (2)由正弦定理得，sinsinacAC，所以13sinsinsin234cCAa， 所以13cos4C,又因为12ca，所以ca，所以CA，故C为锐角， 所以13cos4C， 所以[()]()()3sinBsinACsinACsinC 31313393sincoscossin3324248CC.
18.解：（1)当1n时，即211122Sa,解得112a, 百度文库 7 2211
2224nnnnnSaSaa
①
2111124nnnSaa②
①-②：22112nnnnnaaaaa，所以22110nnnnaaaa，即1110nnnnaaaa，
因为na是正项数列，所以110nnaa，即11nnaa，其中2n， 所以na是以12为首相，1为公差的等差数列，所以111122nann. (2)因为12nan，所以112nan， 所以22222211
22211112222nnnnbnnnn
2222
1111421211122nnnn
，
所以12nnTbbb 22222211111144413352121nn222
116164144121nnnnn
.
19. 解：（1)如图取AB的中点E，连接DE，依题//DCEB， 所以四边形BCDE是平行四边形， 所以DEBC.因为E是AB中点， 所以12AEAB，故AEADDE， 所以ADE为等边三角形，所以60AED， 因为//ABCD，所以60,EDCBCCD 所以平行四边形BCDE为菱形， 所以1302EDBEDC，所以90ADB，即BDAD，又已知PABD，所以BD
平面PAD， BD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD. 百度文库 8 (2)由（1)知，BD平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以如图，以DA为x轴， DB
为y轴，过D点与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标Dxyz.设2AB，则
3BD，1ADCDBCPAPD，所以13131,0,0,0,3,0,,,0,,0,2222ABCP
，
所以13,0,,1,3,022PAAB.设平面PAB的法向量,,nxyz，则 130022030PAnxzABnxy
，令3x，则1,1yz，所以3,1,1n.
同理可得平面PBC的法向量3,1,3m，所以65cos,65mn， 所以二面角APBC大小的余弦值为6565. 20.解：（1)设报考飞行员的人数为n，前3个小组的频率分别为123,,ppp，则由条件可得：
2131123
230.0370.01351ppppppp
解得1230.125,0.25,0.375ppp， 又因为2120.25pn，所以48n.