2019高考物理系列模型之过程模型专题02追赶模型学案

专题02 追赶模型 模型界定 本模型主要处理两物体能否追及的判定、距离极值的计算等问题.从时间和空间的角度来讲，追及相遇是指同一时刻两物体到达同一位置,包括两物体的运动轨迹在同一直线及不在同一直线上的情况。 模型破解 1.同一直线上的追及问题 （i）空间条件： ①若同地出发，相遇时位移相等。 ②若不是同地出发，通常需画出两物体运动过程示意图寻找位移联系。

（ii）时间关系： ①同时出发且相遇时两物体还处于运动之中，则运动时间相等； ②不是同时出发时或相遇时两物体之一已停止运动，则运动时间一般不相等，需分析两物体的运动时间关系，如甲比乙早出发△t，相遇时甲乙都处于运动状态，则运动时间关系为

。 （iii）常见情况 两物体同方向运动且开始相距一定距离d，设前后物体的加速度大小分别为、（即a1≥0,a2≥0），以下几种情况能追及（碰）：

①二者同向加速，，如果二者速度相等时后面物体比前面物体多通过的位移大于初始距离时，即时则能追上；否则以后无法追上；

②二者同向加速，； ③前一物体减速，后一物体加速，一定能追及；追及前二者间最大距离为 ④前一物体加速，后一物体减速，如果二者速度相等时不能追上则以后无法追及； ⑤二者均减速运动，，如果二者速度相等时不能追及则无法追及；，二者不相撞的安全条件是二者速度等于零时后一物体恰好追上前一物体．

（iv）处理方法： ①数学方法 设两物体同方向运动且开始相距一定距离d，前后物体的加速度大小分别为、，初速度分别为v1、v2,运动时间t时两物体间的距离为。 首先根据两物体的运动性质得到两物体间距离随时间变化的表达式，通常是一个二次函数：

。 然后由配方法可解决求解两物体间距离的极值、距离出现极值时刻、以及判定两物体能不能相遇、相遇的次数等问题：

由知当时；当时。 若时不能相遇；若时可相遇两次；当时恰好相遇。 当求解两物体能否相遇及相遇几次时，也可直接由二次方程的判别式判定： 当时且有两个正根时，可相遇两次；一正根一负根时相遇一次 当时恰好相遇 不能相遇距离此时出现极值 ②物理方法一_____临界值法 两物体能否相遇、能相遇几次、运动中的距离极值问题都可临界状态下两物体的位移关系来确定，设两物体同方向运动且开始相距一定距离d，前后物体的加速度大小分别为、，初速度分别为v1、v2,两物体达到相等速度v时经历时间为t，此时两物体间的距离为。

首先由可确定v与t.

其次可由、、中之一计算两物体的位移，进而得到两物体此时的距离。 然后由作出判定：若时不能相遇，为两物体运动中距离的极值；若时可相遇两次；当时恰好相遇。 ③物理方法二_____相对运动法 以其中一个物体为参考系，则由物体的相对速度为零时物体通过的相对位移与两物体初始相距的距离关系可判定两物体是否相遇、相遇的次数、距离的极值等。 ④运动图象法 作出两物体的速度图象，则两物体的图线与时间轴所围面积是物体的对地位移，两图之间的面积是两物体的相对位移（即一物体比另一物体多通过的位移），两图线的交点是两物体间距离出现极值的时刻。 （v）注意“刹车陷阱” 对于汽车刹车、物块在粗糙面上减速运动等一类问题中，一要注意物体实际运动的时间，二要注意当物体运动方向反向时加速度的大小可能发生的变化。 另外需注意有些题目中对物体加速时运动速度的的限制。

例１.甲乙两车在一平直道路上同向运动，其图像如图所示，图中和的面积分别为和.初始时，甲车在乙车前方处。

A．若，两车不会相遇 B．若，两车相遇2次 C．若，两车相遇1次 D．若，两车相遇1次 【答案】ＡＢＣ 例２.A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？ 【答案】６s 【解析】设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有

①

② 式中，t0 =12s，sA、sB分别为 A、B两车相遇前行驶的路程。依题意有

③ 式中s＝84 m。由①②③式得

④ 代入题给数据 vA=20m/s，vB=4m/s，a =2m/s2，

有⑤ 式中t的单位为s。解得 t1=6 s，t2=18 s ⑥

t2＝18s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为 6 s。

例3.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。试求： （1） 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ （2） 什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 【答案】（１）２s，６m（２）4s,12m/s

即 （2）汽车追上自行车时，二车位移相等，则 ,

解法二：由临界速度求解 汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值。当汽车的速度还小于自行车速度时，两者的距离将越来越大，而一旦汽车速度增加到超过自行车速度时，两车距离就将缩小。因

此两者速度相等时两车相距最大，有，所以，

解法三：用相对运动求解更简捷 选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对此参考系的各个物理量为： 初速度v0 = v汽初－v自=（0－6）m/s = －6m/s 末速度vt = v汽末－v自=（6－6）m/s = 0 加速度 a= a汽－a自=（3－0）m/s2 = 3m/s2

所以相距最远 s= =－6m（负号表示汽车落后） 解法四：用图象求解 （1）自行车和汽车的v-t图如图， 由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出：在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽车的位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以

t=v自/a=s=2s △s= vt－at2/2 =（6×2－3×22/2）m= 6m （2）由图可看出：在t时刻以后，由v自或与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，t’= 2t = 4s，v’= 2v自=12m/s 例４.如图所示，A、B两物体相距S=7m，物体A以=4m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度B=l0m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度=－2m／s2．那么物体A追

上物体B所用的时间 A．7s B．8S C．9s D．10s

【答案】Ｂ 可得t=8s，选项B正确。 模型演练 １.甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 mis的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S0-13.5 m处作了标记，并以V-9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L=20m. 求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a. (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.

【答案】（１)3s(2)6.5m 【解析】(1)设经过时间t，甲追上乙，则根据题意有vt-vt/2=13.5 将v=9代入得到：t=3s, 再有 v=at 解得：a=3m/s2 (2)在追上乙的时候，乙走的距离为s, 则：s=at2/2 代入数据得到 s=13.5m 所以乙离接力区末端的距离为∆s=20-13.5=6.5m ２.在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时，立即以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲运动的方向匀加速运动。则 A．甲、乙两车之间的距离一定不断减小 B．甲、乙两车之间的距离一定不断增大 C．若，则两车一定不会相撞 D．若，则两车一定不会相撞 【答案】Ｄ

3.处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s，乙在甲前且两物体同时、同向开始运动，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是 () A．a1＝a2时，能相遇两次 B．a1＞a2时，能相遇两次 C．a1＜a2时，能相遇两次 D．a1＜a2时，能相遇一次 【答案】ＣＤ 【解析】利用图象进行分析，如图所示，

分别表示a1＝a2时、a1＞a2时、a1＜a2时的速度图象． 对于A选项，甲的速度总是大于乙的速度，它们只能相遇一次，即甲追上乙车并超过乙；对于B选项，甲追上乙后，并超过乙，只能相遇一次；对于C选项，当甲、乙速度相等时，若是甲刚好追上乙，那么它们只能相遇一次，若是甲在速度未相等之前追上乙，以后乙的加速度比甲大，故其速度总会超过甲，乙会追上甲并超过甲，有可能相遇两次，若甲在速度与乙相等时还没有追上乙，则永远追不上乙，一次相遇的机会都没有．故正确答案为C、D.

4.两辆完全相同的汽车，沿平直公路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车．已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时的距离至少应为： A．s B．2s C．3s D．4s 【答案】Ｂ