2021届高三福建泉州毕业班质量检测(一) 数学试题 附答案
福建省漳州市2021届高考毕业班第一次教学质量检测(一模)数学试题(含答案)
= 3n
−1
（10 分） （6 分）
cn
=
3n Sn Sn+1
=
(3n
3n −1)(3n+1
−1)
=
1 2
(
1 3n −1
−
1
3n+1
−
) 1
Tn = c1 + c2 + c3 +…+ cn−1 + cn
（7 分）
=
1（ 1 22
−
1 ）+ 8
1（1 28
−
1 ）+ 26
1（ 1 2 26
−
1 80
（2）①选择第一个条件
bn = 4n − 2 ， bn+1 = 4n + 2
（5 分）
cn
=
4 bnbn+1
+1=
(4n
−
4 2)(4n
+
2)
+1=
1 4n −
2
−
1 4n +
2
+1
（7 分）
Tn = c1 + c2 + c3 +…+ cn−1 + cn
= (1 − 1) +1 + (1 − 1 ) + 1+ ( 1 − 1 ) + 1+…+ ( 1 − 1 ) +1+ ( 1 − 1 ) + 1
4
13.112 14.
16
15.
16.y=2x 8 （第一空 2 分，第二空 3 分）
9
12
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 17. 解：
泉州市2021届高中毕业班质量检测(三)参考答案与评析(填空题)
泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学填空题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6(2)x +展开式中，二项式系数最大的项的系数为．（用数字填写答案）【命题意图】本小题主要考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题简析】依题意，二项式系数最大项为3333462160T C x x ==，其系数为160．故答案为160．14．甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”．此时，一男孩过来．乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”．根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为．（第一空2分；第二空3分）【命题意图】本小题主要考查古典概型等基础知识；考查阅读理解并提取信息进行推理论证的能力；体现基础性、创新性、应用性，导向对发展理性思维与数学应用等核心素养的关注．【试题简析】记i A 为乙的第i 个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有1234(,,,)A A A A ，1234(,,,)A A A A ，1234(,,,)A A A A ，1234(,,,)A A A A ，1234(,,,)A A A A ，1234(,,)A A A A ，共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为16．故答案为5；16．15．圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用．如图2，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到点1F 历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒．若C 与C '的离心率之比为13，则m n =．保密★使用前图1图2【命题意图】本题考查椭圆定义、双曲线定义、离心率等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．【试题简析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，在图2左图中，由椭圆定义可得1212BF BF a +=……①由双曲线定义可得2122AF AF a -=……②①-②得111222AF AB BF a a ++=-，所以1ABF ∆的周长为1222a a -．在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED 过点2F ，所以1EDF ∆的周长为14a ，又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为13，所以123a a =，又两次所用时间分别为,m n ，而光线速度相同，所以122212226214123a a a a m n a a --===．16．若正数,x y 满足()216xy x y +=，则x y +的最小值为_________．【命题意图】本小题主要考查不等式、函数与导数等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题简析】令t x y =+，则()()()2216t y y t y y t y -+=-=所以2216t y y =+，令216()f y y y =+，由216'()20f y y y=-+=，解得2y =.()0,2y ∈时，'()0f y <，()f y 单调递减，()2,y ∈+∞时，'()0f y >，()f y 单调递增；所以()f y 的最小值为(2)12f =，又对正数,x y 有0t x y =+>，所以min t =．。
2021年福建省普通高中高三学业水平合格性考试（会考）数学试卷及答案
4 .某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在
抽取的样本中，青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为（）
A. 90
B. 100
C. 180
D. 300
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
5 .圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是（）
设 以）的公比为q，则寸=会=8・从而q=2.
故 2 的前”项和丁・一"三沪=斗三罗=2" 一L（6分）
22 .解：（1）如图.设AB中点为M,则M（2, 2）.
由AB的垂直平分线与X轴交于点D,可知A”，・Am — -1.
・・%=用一品・"W=2.
| 4 ^/1
工直线MD的方程为尸一202（*—2）・即y=2j-2.
A. (x-1)2+(y-1)2=1
B. (x+1)2+(y+1)2=1
C. (x+1)2+(y+1)2=2
D. (x- 1)2+ (y-1)2=2
6 .设a=30 7, b= °： c=,，则a, b, c的大小关系为()
A. a<b<c B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<a<b
7 .已知 cos x=，则 cos 2x=( )
第I卷（选择题45分）
一、选择题（本大题有15小题,每小题3分，共45分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1 .已知集合 A二{0,2} ,B={-2,-1,0,1,2},则 AHB=（）
泉州市2021届高中毕业班质量检测(三)参考答案与评析(多选题) (1)
泉州市 2021 届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学选择题多选题部分二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9．记等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ．若 a 2 = 10 ， S 5 = S 2 ，则A ． S 3 = S 4B ． a 6 = 10C ． S n 的最大值为30D ． a n 的最大值为15【命题意图】本小题主要考查等差数列的通项、前 n 项和、性质及最值等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想；体现综合性、综合性，导向对发展逻辑 推理、数学运算等核心素养的关注．【试题简析】由 S 5 = S 2 ，得 S 5 - S 2 = a 3 + a 4 + a 5 = 3a 4 = 0 ，即 a 4 = 0，故 S 3 = S 4 ，A 正确；又由 a 2 = 10 ，可求得 a 6 = -10 ，B 错误；又由 S 3 = S 4 ，及数列为递减数列，知 S n 的最大值为 S 4 = S 3 = 3a 2 = 30 ，C 正确； 再由{a } 的公差d =a 4 - a 2= -5，得a 的最大值为 a = a- d = 15，D 正确．n2n 12另解：由 S 5 = S 2 ，得 S 5 - S 2 = a 3 + a 4 + a 5 = 3a 4 = 0 ，即 a 4 = 0， 则{a } 的公差 d =a 4 - a 2= -5，得 a = a + (n - 4)d = 20 - 5n ， a = -10 ．n2n 4 6则{a n } 为递减数列，故 S 3 = S 4 ， S n 的最大值为 S 4 = S 3 = 30 ， a n 的最大值为 a 1 =15 ． 故选 ACD ．【评析】本题综合考查等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式，以及常用的基本性质，可作为复习训练的典型例题使用。
泉州市2021届高中毕业班质量检测(三)参考答案与评析(解答17至19题)
泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学解答题17-19题部分四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{}n a ，{}n b 满足19a =，1109n n a a +=+，1n n b a =+．（1）证明：{}n b 是等比数列；（2）求数列{(1)lg }nn b -的前n 项和n S ．【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义与前n 项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）依题意，1111n n n n b a b a +++=+··············································································1分109110101011n n n n a a a a +++===++（非零常数）．·····························2分又11110b a =+=．故{}n b 为首项110b =，公比10q =的等比数列．··················3分（2）（1）由可知1110n n n b b q-==．···································································4分所以(1)lg (1)lg10(1)nnnnn n c b n =-=-=-⋅．··············································5分①当n 为偶数时，(12)(34)[(1)]2n nS n n =-++-++⋅⋅⋅+--+=；··················7分②当n 为奇数时，1(12)(34)[(2)(1)]2n n S n n n +=-++-++⋅⋅⋅+--+--=-．9分故,21,.2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数，为奇数·························································（结论分）10分解法二：（1）同解法一；（2）由（1）可知1110n n n b b q-==．············································（通项公式分）4分所以(1)lg (1)lg10(1)nnnnn n c b n =-=-=-⋅．·······························（运算分）5分保密★使用前211(1)2(1)(1)(1)(1)n nn S n n -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅-⋅-+⋅-①231(1)1(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n +-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-②·········（方法分）6分①-②得212(1)(1)(1)(1)nn n S n +=-+-+⋅⋅⋅--⋅-······························（方法分）7分1(1)[1(1)](1)1(1)n n n +---=-⋅---····················（等比数列求和公式分）9分111(1)(1)11(1)()(1)222n n n n n +++---=-⋅-=--+⋅-故111()(1)442n n nS +=--+⋅-．···················································（结论分）10分18．（12分）脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹．某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”．当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫．如图，为得到峭壁上的,A B 两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的,P Q 两点处分别测得1APQ α∠=，1BPQ β∠=，APB θ∠=，2AQP α∠=，2BQP β∠=，且PQ s =．（1）用12,,s αα表示AP ；（2）已知117β=︒，2150β=︒，90.0s =米，51.3θ=︒，又经计算得250.0AP =米，求AB ．参考数据：sin130.225︒≈，cos130.974︒≈，sin 51.30.780︒≈，cos51.30.625︒≈．【命题意图】本小题以“悬崖村”的脱贫事件为背景，以修建钢梯的测量为问题情境，考查正弦定理、余弦定理，解三角形等基础知识；考查抽象概括能力，空间想象能力，运算求解能力与应用意识和创新意识；考查转化与化归思想，函数与方程思想；考查基本活动经验；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注．公众号：潍坊高中数学【试题解析】（1）如图，在APQ △中，根据正弦定理得()212sin sin πAP PQααα=--，····················3分化简得()212sin sin s AP ααα⋅=+；·······································································5分（2）在BPQ △中，根据正弦定理得()212sin sin πBP PQβββ=--，····························6分可得()212sin 900.5200sin 1800.225s BP βββ⋅⨯===︒--，·······································7分又在ABP △中，根据余弦定理得2222cos AB AP BP AP BP θ=+-⋅············10分代入得2400006250022002500.62540000AB =+-⨯⨯⨯=，所以200AB =米．·············································································12分19．（12分）永春老醋以其色泽鲜艳、浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋．为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究．2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考．现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值M 的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品．因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示．指标区间[2,1)--[1,0)-[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)来源改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后个数315230263134241572附：成品醋的品质采用指标值M 进行评价，评价标准如下表所示．[0,1)M ∈[1,3)M ∈[0,3)M ∉一等品二等品三等品合格不合格（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为X ，求X 的分布列；（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润y （单位：元）与指标值M 的关系为5,[0,1),3,[1,3),2,[0,3).M y M M ∈⎧⎪=∈⎨⎪-∉⎩若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？【命题意图】本小题主要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等；考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注．【试题解析】（1）依题意，已检测的不合格品样本共有20个，其中改良前的有15个，改良后的有5个．······················································2分0,1,2X =．·························································································3分2015522021(0)38C C P X C ⋅===；····································································4分1115522015(1)38C C P X C ⋅===；·····································································5分021552201(2)19C C P X C ⋅===．·····································································6分故X 的分布列为：X 012P21381538119（2）由样本估计总体的思想，···········································································7分改良前成品醋利润的数学期望30551553(2) 2.85100100100⨯+⨯+-⨯=；··············8分若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则改良后的利润至少应为2.85(120%) 3.42⨯+=.·····································9分假设改良后20个还未进行进一步检测的样本中，一等品有x 个，公众号：潍坊高中数学则，改良后的一等品有26x +个，二等品有69x -个.改良后成品醋利润的数学期望2669553(2)100100100x x +-⨯+⨯+-⨯．···············10分依题意，2669553(2) 3.42100100100x x +-⨯+⨯+-⨯．·································11分求得7.5x ≥，又x ∈N ，故20个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要8个．·······12分。
2021年福建省泉州市高考数学质量监测试卷(三)(一模)
2021年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三）（一模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知i 是虚数单位，则“a i =”是“21a =-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）已知集合{(,)|8A x y x y =+=，x ，*}y N ∈，{(,)|1}B x y y x =>+，则A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．（5分）函数cos2sin()2y x x π=+-的最小值为( )A ．2-B ．98-C ．58-D ．04．（5分）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：)cm 服从正态分布2(200,)N σ，且(220)0.1P ξ=．现从该地区高中男生中随机抽取3人，记ξ不在(180,220)的人数为X ，则( ) A ．(180220)0.9P ξ<<= B ．() 2.4E X = C ．()0.16D X =D ．(1)0.488P X =5．（5分）已知单位向量a ，b 满足14a b ⋅=，且2c a b =+，则sin a <，(c >= )A B C D ．386．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为( )A B ．112C ．D ．112-7．（5分）已知32a =，b =，32ln c ln =，则( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>8．（5分）已知曲线22:(4)(8)0E y x y x -+=，直线1x my =+与E 有且只有4个公共点、这些公共点从左到右依次为A ，B ，C ，D ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列结论中错误的是()A．2 m>或2m<-B．121x x<-<C．||6CD>D．||2||AB CD<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省2023届高三高考模拟(高三毕业班适应性练习卷)省质检数学试题(含解析)
福建省2023届高三高考模拟（高三毕业班适应性练习卷）省质检数学试题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知集合{}lg A x y x ==，{}2B y y x ==，则（ ）A ．RA B ⋃＝B ．R A B ⊆ðC ．A B B I ＝D ．A B⊆2．（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x 2-2x +2=0的一个根，则|z |=（ ）A．1B C D ．23．（2023·福建·统考模拟预测）函数()2ln 2x x f x x-+＝的图象大数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（ ）A ．360πsin 2n n︒≈B ．180πsinn n︒≈C ．π≈D ．π≈5．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -（a >0，b >0）的离心率为12F F ，，1F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（ ）A ．2B C ．3D ．46．（2023·福建·统考模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A ，B ，C 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B ，C 两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）A ．72B ．84C ．88D ．1007．（2023·福建·统考模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（ ）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>8．（2023·福建·统考模拟预测）已知()2,X N μσ:，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55.若45K =，试以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为（ ）A ．45B ．53C ．54D ．90二、多选题9．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量()1,2a =r ，()4,2b =-r ，则（ ）A ．()()a b a b-⊥+r r r r B ．a b a b-=+r r r r C ．b a -r r 在a r 上的投影向量是a -r D ．a r在a b +r r 上的投影向量是()3,4-10．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数f (x)=sin x x ωω(ω>0)满足:f (π6)=2,f (2π3)=0,则( )A ．曲线y =f (x )关于直线7π6x ＝对称B ．函数y =f (π3x -)是奇函数C ．函数y =f (x )在(π6,7π6)单调递减D ．函数y =f (x )的值域为[-2,2]11．（2023·福建·统考模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，PQ 垂直l 于点Q ，直线QF 与C 相交于M ､N 两点.若M 为QF 的三等分点，则（ ）A ．cos ∠12PQM ＝B ．sin∠QPM C ．NF QF=D．PN 12．（2023·福建·统考模拟预测）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为侧面11AA D D 上的点，N 为侧面11CC D D 上的点，则下列判断正确的是（ ）A．若BM M 到直线1A DB ．若11B N AC ⊥，则1N CD ∈，且直线1B N //平面1A BD C ．若1M A D ∈，则1B M 与平面1A BDD ．若1M A D ∈，1N CD ∈，则M ，N三、填空题13．（2023·福建·统考模拟预测）写出过点()2,0且被圆224240x x y y -+-+=截得的弦的一条直线的方程___________.14．（2023·福建·统考模拟预测）已知{an }是单调递增的等比数列，a 4+a 5=24，a 3a 6=128，则公比q 的值是___________.15．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.四、解答题16．（2023·福建·统考模拟预测）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC V 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，求四边形ABCD 面积的最大值.17．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足：11a =，28a =，212122log n n n a a a -++=，2122216n a n n a a ++=.(1)证明：{}21n a -是等差数列：(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.18．（2023·福建·统考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.x y t1021ii x=∑101i ii x y=∑1021ii t=∑101i ii t y=∑2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110ii t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.(2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．（2023·福建·统考模拟预测）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2ABPC ==，PA PB ==M 是棱PD 上的点，且四面体MPBC 的体(1)证明：PM MD =；(2)若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.20．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆221()116A x y ++=：，直线1l 过点20(1)A ，且与圆1A 交于点B ，C ，BC 中点为D ，过2A C 中点E 且平行于1A D 的直线交1AC 于点P ，记P 的轨迹为Γ(1)求Γ的方程；(2)坐标原点O 关于1A ，2A 的对称点分别为1B ，2B ，点1A ，2A 关于直线y x =的对称点分别为1C ，2C ，过1A 的直线2l 与Γ交于点M ，N ，直线1B M ，2B N 相交于点Q .请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.①QBC △的面积是定值；②12BB B V 的面积是定值：③12QC C △的面积是定值.21．（2023·福建·统考模拟预测）已知函()()e xf x x a =+，R a ∈.(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.五、双空题22．（2023·福建·统考模拟预测）如图，一张4A 纸的长AD ＝，宽2AB a =，.M ，N 分别是AD ，BC 的中点.现将ABD △沿BD 折起，得到以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，则三棱锥A BCD -的外接球O 的半径为___________；在翻折的过程中，直线MN 被球O 截得的线段长的取值范围是___________.参考答案：1．D【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可.【详解】因为{}{}lg 0A x y x x x ===>，{}{}20B y y x y y ===≥，所以A B ⊆，所以A B B ⋃＝，A B A ⋂＝，又{}0A x x =>，所以{}R 0A x x =≤ð，不满足R A B ⊆ð，故选项A 、B 、C 错误，选项D 正确，故选：D.2．B【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可.【详解】因为方程x 2-2x +2=0是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即1,222i 1i 2z ±==±，即1i 1i z z =±⇒==m 故选：B 3．C【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数()f x 为奇函数.然后得到0x >时，()ln 2x f x x x x =-++，根据导函数求得()f x 的单调性，并且可得极大值点011ex <<，即可得出答案.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠.又()()2ln 2x x f x x---+--＝()2ln 2x x f x x-+==--，所以，函数()f x 为奇函数.当0x >时，()2ln 2ln 2x x x f x x x x x-+=-++＝，则()22221ln 2ln 11x xx x x f x x x x ⋅-++'=-+-=-.设()2ln 1g x x x =++，则()120g x x x'=+>在()0,∞+上恒成立，所以，()g x 在()0,∞+上单调递增.又421e 210e g -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，21e 110e g -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以，根据零点存在定理可得，0211,e e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，有()00g x =，且当00x x <<时，有()0g x <，显然()22ln 10x x f x x ++'=->，所以()f x 在()00,x 上单调递增；当0x x >时，有()0g x >，显然()22ln 10x x f x x ++'=-<，所以()f x 在()00,x 上单调递减.因为011ex <<，所以C 项满足题意.故选：C.4．A【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内解正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n︒≈.故选：A.5．D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF S S =V V 求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan bMOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=V V ，故选：D 6．D【分析】由题意可知，若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去B 点的安排方法.同理，即可得出甲去C 点的安排方法，即可得出答案.【详解】若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.当剩余4人只去,A C 两个点时，人员分配为1,3或2,2，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=；当剩余4人分为3组去,,A B C 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有2343C A 36⋅=，综上可得，甲去B 点，不同的安排方法数是143650+=.同理，甲去C 点，不同的安排方法数也是50，所以，不同的安排方法数是5050100+=.故选：D.7．A【分析】构造()22xf x x =-，根据导函数可得()f x 在()0,1上单调递减，进而可得出c a >.构造()12e xh x x x =--+，根据导函数可得()h x 在()0,1上单调递减，进而由102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出()ln 20h <，整理即可得出c b <，即可得出答案.【详解】令()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，令()2ln 22xg x =-，则()2ln 220x g x '=⋅>恒成立，所以()g x ，即()f x '在R 上单调递增.又()12ln 22220f '=-<-=，所以，当()0,1x ∈时，()()10f x f ''<<恒成立，所以，()f x 在()0,1上单调递减.又()112210f =-⨯=，0ln 21<<，所以()()ln 210f f >=，即，ln 222ln 20->，即220a a ->，即2a a a ->，所以c a >.令()12e xh x x x =--+，则()212ln 21xh x x'=--，令()212ln 21xk x x =--，则()232ln 220xk x x '=⋅+>在()0,∞+恒成立.所以，()k x ，即()h x '在R 上单调递增.又()()12ln 2112ln 210h '=--=-<，所以，当01x <<时，有()()10h x h ''<<成立，所以，()h x 在()0,1上单调递减.又121132e 2e 0222h ⎛⎫=--+=< ⎪⎝⎭，因为42ln 21ln 0e-=>，所以，1ln 212<<，所以，()1ln 202h h ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，又()ln 211ln 22ln 2e 2e ln 2a h a a=--+=--+，所以，12e 0aa a--+<，所以，12e aa a-<-，即c b <.综上可得，b c a >>.故选：A.8．B【分析】由已知可推得，()5.35 5.55P ξ<<()3P X μσμσ=-<<+，根据已知以及正态分布的对称性，可求得()5.35 5.55P ξ<<0.84≈.则(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，求出函数的最大整数值，即可得出答案.【详解】由已知可得，()()5.35 5.55 5.400.05 5.4030.05P P ξξ<<=-<<+⨯()3P X μσμσ=-<<+.又()()()3332P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+-<<+=0.68270.99730.842+≈=，所以，(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅.设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，则()()45454414545451C 0.840.16C 0.840.16x x x x f x f x -+-+⋅⋅=⋅⋅()()()1!44!45!10.160.161!4445!45!x x x x x x +-+=⋅=⋅>--，所以，110452.521x <=，所以()()5352f f >.()()4545454545461C 0.840.161C 0.840.16x x x x f x f x ---⋅⋅=-⋅⋅()()()!45!45!0.160.1611!4546!45!x x x x x x -=⋅=⋅<---，所以，37545377x >=+，所以()()5354f f >.所以，以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为53.故选：B.【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得(),0.84K B N :，得出()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，利用函数求出N 的最大值.9．BC【分析】根据向量的坐标运算求出()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r ，即可求出数量积以及模，判断A 、B 项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r .对于A 项，因为()()()5304150a b a b -⋅+=⨯-+⨯=-≠r r r r ，故A 项错误；对于B 项，因为5a b -=r r ，5a +=r ，所以a b a b -=+r r r r，故B 项正确；对于C 项，因为()5,0b a -=-r r ，()51025b a a -⋅=-⨯+⨯=-r rr=，所以b a -r r 在a r上的投影向量是()b a a a a a a-⋅⋅==-r r r r r r r ，故C 项正确；对于D 项，()()13245a a b ⋅+=⨯-+⨯=r r r，5a b +=r r ，所以a r 在a b +r r 上的投影向量是()()51343,4,5555a a b a b a b a b ⋅++⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭++r r r r rr r r r ，故D 项错误.故选：BC.10．ABD【分析】用辅助角公式化简()f x ,再利用22,063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以函数()y f x =的值域为[2,2]-,故D 正确；因为203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以112,33k k Z ππωπ+=∈,所以1131,2k k Z ω-=∈，因为26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以222,632k k Z πππωπ+=+∈,所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k -=+,即1281k k =+，所以{1,13,25,37}ω∈L ，因为()227732sin 1212sin 1426632f k k πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以曲线()y f x =关于直线76x π=对称,故A 正确；因为()22sin 121333f x k x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2222sin 12142sin 121k x k k x π=+-=+即33f x fx ππ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数,故B 正确；取13ω=,则最小正周期2271366T πππππω==<-=,故C 错误.故选：ABD 11．ACD【分析】过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线为l 与x 交于点K ，由抛物线的定义可得1cos 2HM QMH QM ==∠，可判断A ；求出,PM QM 的长，由正弦定理可判断B ；求出,NF QF 可判断C ；求出,PN PQ 可判断D.【详解】如下图，过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线l 与x 交于点K ，由抛物线的定义知：MF HM =，因为M 为QF 的三等分点，所以1cos 2HM QMH QM ==∠，所以60QMH QFK ∠=∠=︒，所以60PQM ∠︒＝，所以cos ∠12PQM ＝，故A 正确；对于B ，在QPF △中，由抛物线的定义知：PF PQ =，60PQM ∠︒＝，所以QPF △为等边三角形，又因为1cos 2FM FK FM QFK p FM =-∠=-，解得：23FM p =，同理可得：2FN p =，所以43QM p =，因为QPF △为等边三角形，所以2FQ PQ PF p ===M 为QF 的三等分点，所以PMQ V 中，由余弦定理可得：2222cos 60PM PQ QM PQ QM =+-⋅︒，则2221641422932PM p p p p =+-⨯⋅⋅，则PM p ，所以在PMQ V 中，由正弦定理可得：sin sin QM PMQPM PQM=∠∠，代入可得43sin p QPM =∠sin∠QPM B 不正确；对于C ，2QF QM MF p =+=，2FN p =，所以QF NF =，故C 正确；对于D ，因为60,60,120QFK QFP PFN ∠=︒∠=︒∴∠=︒，所以PFN V 中，2FN PF p ==，由余弦定理可得：222222212cos1204424122PN PF FN PF FN p p p p ⎛⎫=++⋅︒=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则PN =，所以PN ，故D 正确.故选：ACD.12．BD【分析】由已知可推得M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A 项；先证明1AC ⊥平面1A BD ，结合11B N AC ⊥，即可得出1B N //平面1A BD ；建立空间直角坐标系，求出平面1A BD 的法向量，表示出11cos ,n B Mu r u u u u r=C 项；MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r，求出2n u u r ，即可根据投影向量，求出最小值.【详解】对于A 项，因为BM M 在以B 为半径的球上.又M 为侧面11AA D D 上的点，所以M 在球被平面11AA D D 截得的交线上.因为，AB ⊥平面11AA D D ，1AB =，BM ，所以12AM ==，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.如图1，11AM A D ⊥，则1AM =，M 到直线1A D 12-，故A 项错误；对于B 项，如图2，连结1,AC AD .因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥.又BD AC ⊥，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C =I ，所以，BD ⊥平面1ACC .又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.同理可得，11A D AC ⊥.又BD ⊂平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，1A D BD D ⋂=，所以，1AC ⊥平面1A BD .又11B N AC ⊥，1B ∉平面1A BD ，所以直线1B N //平面1A BD ，故B 项正确；对于C 项，以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为,,x y z 轴的正方向，如图3建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()11,0,1DA =u u u u r，()1,1,0DB =u u u r，()11,1,1DB =u u u u r .因为1M A D ∈，设()1,0,DM DA λλλ==u u u u r u u u r，()01λ≤≤，()111,1,1B M DM DB λλ=-=---u u u u r u u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r是平面1A BD 的一个法向量，则11100n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，即111100x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111y z ==-，()11,1,1n =--u r是平面1A BD 的一个法向量.则111111cos ,n B M n B M n B M ⋅=u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r==又()222432111λλλ-+=-+≥，当1λ=时，有最小值1，≤=，即11cos ,n B M ≤u r u u uu r 所以，1B M 与平面1A BD C 项错误；对于D 项，由C 项知，()11,0,1DA =u u u u r ，()10,1,1CD =-u u u u r.当1MN DA ⊥，1MN CD ⊥，即MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =u u r ，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r ，则212100n DA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即222200x z y z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =，则()21,1,1n =--u u r.DC u u u r 在2n u u r=所以，M ，N两点之间距离的最小值为d =D 项正确.故选：BD.13．2y x =-（只需填其中的一个即可）【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离d =先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离1d =，得出方程，即可解出k 的值.【详解】圆的方程可化为()()22211x y -+-=，圆心为()2,1，半径1r =，d ==.当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆心在直线上，弦长为22r =，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为k ，则直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=，此时圆心到直线的距离1d ==，解得1k =±.所以，直线的方程为2y x =-或2y x =-+.故答案为：2y x =-.14．2【分析】利用等比数列性质得到3645a a a a =，再解方程组即可.【详解】由等比数列性质知3645a a a a =，联立454524128a a a a +=⎧⎨=⎩,解得45816a a =⎧⎨=⎩或45168a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是单调递增的等比数列,所以45816a a =⎧⎨=⎩，即542a q a ==.故答案为：2.15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】分0x =，0x <以及0x >，分别讨论，构造函数，结合0x =处的函数值，推导得出函数的单调性，进而得出导函数的符号，即可推得答案.【详解】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22e x g x a -'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x h x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e 10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：当0x >时，()()1ln 12x ax k x +=-，根据()00k =，可推得要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，进而推得a 的取值范围.16．(1)π6；1.【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出tan C =的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O e 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【详解】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC V 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r，所以DA BA ⊥，故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅221122x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==.所以四边形ABCD1.解法二：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD u u u r 在BA u u u r上的投影向量为BA λu u u r ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .又22BA BD BA BA ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1λ=，所以BD u u u r 在BA u u u r 上的投影向量为BA u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 2θ=，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC V 外接圆O e 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC V 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝，()10B ,. 因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以12BA ⎛=- ⎝u u u r ，()cos 1,sin BD ββ=-u u u r ，代入2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即1BA BD ⋅=u u u r u u u r，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O e 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD α=+=+⋅△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD1.17．(1)证明见解析；(2)最小值为10.【分析】（1）解法一：（指数运算）由已知可推得212122n n a an a -++=，2123222n n a a n a ++++=，相乘结合已知，即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；解法二：（对数运算）由已知可得2222221log log 4n n n a a a +++=，结合已知即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；（2）解法一：先根据（1）推出21n a n -=，然后结合已知条件得到2122n n a +=，然后计算得到910,S S ，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()()2841123kk k k S -+=+，进而得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案.【详解】（1）解法一：由212122log n n n a a a -++=，得212122n n a an a -++=，则2123222n n a a n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a a a a a an n a a -+++-+++++++=⋅=.又21214222162n n a an n a a -++==，所以2121232124n n n n a a a a -+++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.解法二：由20n a >，且2122216n an n a a ++=，则()2122222log log 16n a n n a a ++=，得2222221log log 4n n n a a a +++=，因为212122log n n n a a a -++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()21212123214n n n n n a a a a a -+++++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.（2）解法一：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.所以，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法二：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又212122log n n n a a a -++=，所以()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.当*k ∈N 时，21232k kS a a a a =++++L ()()135212462k k a a a a a a a a -=+++++++++L L ()()357211232222k k +=+++++++++L L ()()841123kk k -+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +--++⨯-=-=+-=+，所以5925156248695202323S S ⨯-⨯⨯-==+=<，()51025841562743202323S S ⨯-⨯==+=>，又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法三：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a --++++===.当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a --=++++L ()()1352124622k k a a a a a a a a --=+++++++++L L ()()357211232222k k -=+++++++++L L ()()()118411114821423k k k k k k ---++⎛⎫-=+=+ ⎪-⎝⎭，所以()4925184156695202323S S ⨯--⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>.又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.18．(1)()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%(2)（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【详解】（1）由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.（2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.19．(1)证明见解析；【分析】（1）解法一：取AB 中点O ，连接PO ，CO .推导得到PO ⊥平面ABCD ，//AD 平面PBC ，根据体积即可得出答案；解法二：先证明CO ⊥平面PAB . 过M 作//MN AD 交AP 于点N ，证明得到//MN 平面PBC ，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【详解】（1）解法一：如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，AB CO O =I ，所以PO ⊥平面ABCD .因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，所以111433D PBC A PBC P ABC ABC V S V V PO ---⋅====⨯=△因为12M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.解法二：如图2，取AB 中点O ，连接PO ，CO ，因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =，又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，AB PO O =I ，所以CO ⊥平面PAB .所以，111332A PBC C ABP ABP S V V CO --====⋅△过M 作//MN AD 交AP 于点N ，//AD BC ，所以//MN BC .又BC ⊂平面PBC ，MN ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC ，所以13M PBC N PBC C NB BP P N V V V CO S ---=⋅===△因为13A ABP P C B V CO S -⋅=△，13N NBP P C B V CO S -⋅=△，所以ABP NBP S S =△△，所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =.（2）解法一：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥.如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为//BD α，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数a ，b ，使得CQ aCM bBD =+u u u r u u u u r u u u r，所以312a b a λλ⎧=⎪⎪⎪--=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得431323a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .设平面BCQ 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即20330y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r u r u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法二：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .设平面α的法向量为(),,n x y z =r ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即30102y y z -=⎨-+=⎪⎩.取1y =，得到平面α的一个法向量)=rn .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+=r u u u r ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 设平面BCQ 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即1111120330y z y ⎧-+=⎪-=.取11x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r ur u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法三：在平面ABCD 内，过C 作//EF BD 交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ，因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作1//PP AE 交EM 的延长线于点1P ，设1EP 交AP 于点Q .所以，四边形1EDPP 是平行四边形，1PP DE =，1//PPDE .所以1QPP QAE △∽△，所以112PP PQ AQ AE ==，所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点.如图5，在平面PAB 内，作//QT PO ，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT BC ⊥，因为1PO =，2233QT PO ==，在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作//AK TN 交BC 于K ，在ABK V 中，2AB =，60ABK ∠=︒，所以AK AB ==所以23TN AK ==，因为QT BC ⊥，TN BC ⊥，QT T TN =I ，且两直线在平面内，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥.所以QNT ∠是二面角A BC Q --的平面角.在Rt QTN V 中，tan QNT QT NT ==∠cos QNT =∠所以平面BCQ 与平面ABCD .20．(1)()22:1243x y x Γ+=≠±(2)结论③正确，证明见解析【分析】（1）由几何性质知P 到1A ，2A 两点的距离之和为定值可得P 的轨迹为椭圆；（2）解法一、二：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法三：当直线2l 垂直于x 轴时求得Q 横坐标为4，当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线():1l y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法四：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程，利用()22,N x y 在椭圆上得22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，将直线2B N 的方程化为()222324x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，与直线1B M 联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.【详解】（1）由题意得，()11,0A -，()21,0A .因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D C A ⊥，又1//PE A D ，所以2PE C A ⊥，又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC AC A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以1A ，2A 为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.设()2222:1x y x a a b Γ+=≠±，其中0a b >>，222a c b -=.则24a =，2a =，1c =，b ==故()22:1243x y x Γ+=≠±.（2）解法一：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()21122222y x x x y x ++=--，()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---，解得4x =-.故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422d C C=⨯⨯=⋅.解法二：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦，故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422dC C =⨯⨯=⋅.。
2021届福建省泉州市高考数学质量监测试卷(三)(一模)(解析版)
2021年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三）（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．53．函数y＝cos2x+sin（﹣x）的最小值为（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．04．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1．现从该地区高中男生中随机抽取3人，记ξ不在（180，220）的人数为X，则（）A．P（180＜ξ＜220）＝0.9B．E（X）＝2.4C．D（X）＝0.16D．P（X≥1）＝0.4885．已知单位向量，满足＝，且＝2+，则sin＜，＞＝（）A．B．C．D．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知a＝，b＝，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b8．已知曲线E：（y2﹣4x）（y2+8x）＝0，直线x＝my+1与E有且只有4个公共点、这些公共点从左到右依次为A，B，C，D，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论中错误的是（）A．m＞或m＜﹣B．x1＜﹣1＜x2C．|CD|＞6D．|AB|＜|CD|二、选择题（共4小题）.9．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝10，S5＝S2，则（）A．S3＝S4B．a6＝10C．S n的最大值为30D．a n的最大值为1510．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则（）A．ω＝2B．ω＝C．φ＝D．φ＝﹣11．已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣k，则（）A．f（x）在R上为增函数B．当k＝时，方程f（x）＝g（x）有且只有3个不同实根C．f（x）的值域为（﹣1，+∞）D．若（x﹣1）（f（x）﹣g（x））≤0，则k∈[1，+∞）12．如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧，（均不含端点）上，且C1，P，Q，C在球O）上，则（）A．当点P在的中点处，三棱锥C1﹣PQC的体积为定值B．当点P在的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C．球O的表面积的取值范围为（4π，8π）D．当点Q在的三等分点处，球O的表面积为（11﹣4）π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
『二模』2021-2022学年福建省泉州市高中毕业班质量监测(三)+答案解析(附后)
『二模』2021-2022学年福建省泉州市高中毕业班质量监测（三）1. 若集合，，则( )A. B. R C. D.2. 已知向量，，且，则的值为.( )A. B. C. 1 D. 23. 已知双曲线C：的焦距为，点在C的一条渐近线上，则C的方程为.( )A. B. C. D.4. 的展开式中的系数为.( )A. 5B. 6C. 7D. 155. 已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面上存在两点A，B，使得，则该圆锥侧面积的最大值为.( )A. B. C. D.6. 已知函数在有且仅有一个零点，则的值可以是.( )A. 2B. 3C. 5D. 77. 已知函数，若，则.( )A. B.C. D.8. 1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集．如图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集．若经历n步构造后，不属于剩下的闭区间，则n的最小值是.( )A. 7B. 8C. 9D. 109. 已知点M在直线l：上，点N在圆O：上，则下列说法正确的是( )A. 点N到l的最大距离为8B. 若l被圆O所截得的弦长最大，则C. 若l为圆O的切线，则k取值范围为D. 若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为310. 设，为复数，则下列命题正确的是.( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则或11. 某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，“☆”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点．从这次考试的成绩看，下列结论正确的是.( )A. 该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好B. 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文C. 数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D. 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲12. 已知函数的定义域为且满足当时，，为非零常数，则下列说法正确的是.( )A. 当时，B. 当时，在单调递增C. 当时，在的值域为D. 当，且时，若将函数与的图象在的m个交点记为…，，则13. 若，则__________.14. 写出一个满足为偶函数，且在单调递增的函数__________15. 已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，AF 的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点．若，则__________ 16. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，则球O的表面积的最小值为__________.17. 在平面四边形ABCD中，，，，若，求；若，求的面积．18. 体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平．某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为，求的分布列和期望；从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩X近似服从，已知样本方差，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在分以上的人数．附：若，则，19. 已知数列满足求的通项公式；在和中插入k个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求的前100项和20. 如图，多面体ABCEF中，，，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形．证明：；若，，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．21. 已知点，，M为圆O：上的动点，延长至N，使得，的垂直平分线与交于点P，记P的轨迹为Г.求Г的方程；过的直线l与Г交于A，B两点，纵坐标不为0的点E在直线上，线段OE分别与线段AB，Г交于C，D两点，且，证明：22. 已知函数，当时，讨论的单调性；若，，求答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的补集，交集运算，属于基础题.先求出集合，再利用集合的运算求解即可.【解答】解：因为，所以故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量垂直的充要条件，平面向量的坐标运算，属于基础题．根据向量垂直其数量积为零，列出方程求的值即可．【解答】解：向量，，则，，且，所以，解得故选：3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线的斜率和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．由题意可得，即，点在C的一条渐近线上，可得，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得，即，点在渐近线上，可得，又，解得，，即有双曲线的方程为故选：4.【答案】A【解析】【分析】本题此题考查二项式定理的运用，二项式系数的性质，考查计算能力，属于基础题.由二项展开式，可以得到第一个括号里出项，第二个括号里出含，或者第一个括号里出项，第二个括号里出含项相乘再相加，可得答案.【解答】解：的展开式中的项为，系数为故选：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积计算，属于基础题.因为圆锥的轴截面是等腰三角形，所以可确定母线的取值范围，根据面积公式可得圆锥侧面积的最大值.【解答】解：因为圆锥的轴截面是等腰三角形，其底面上存在两点A，B，使得，可知母线，所以圆锥的侧面积为：，当且仅当圆锥的轴截面是等腰直角三角形时，侧面积取得最大值.故选：6.【答案】AB【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.因为，可得，根据函数在区间上有且仅有一个零点，得到，且，进而求出结果.解：由题意，函数，可得函数的周期为，因为，可得又由函数在上有且仅有一个零点，且满足，且，故及7.【答案】D【解析】【分析】此题考查研究函数的单调性和指数函数、对数函数的图像和性质，属于中档题.利用导数得到在上单调递增，再根据指数函数、对数函数的性质进行求解即可.【解答】解：因为在上单调递增;在同一坐标系中作与，，图象，，可得，故，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了归纳总结，把实际问题转化为解不等式，属于中档题．利用归纳总结可得第n步中包含1的区间为为，然后列出不等式进行求解可得.解：第一步中包含1的区间为；第二步中包含1的区间为，…，通过归纳总结可得第n步中包含1的区间为，若不属于剩下的闭区间，则只需，故只需，因为，又n为整数，可得n的最小值为故选：9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系，属于中等题.利用数形结合，根据点到直线的距离可判断AD，根据直线与圆的位置关系，结合二倍角的正切公式可判断【解答】解：由题意知直线l：过定点，圆O：圆心为，半径为，作图如下，对于A，当直线l平行于x轴时，N到直线l的距离最大，此时N在y轴的负半轴上，坐标为，最大距离为，故A错误；对于B，若l被圆O所截得的弦长最大，此时直线l必过圆心O，则斜率为，故B 正确；对于C，若l为圆O的切线，①当k不存在时，直线l为：与圆O相切，符合题意；②当k存在时，设切点分别为B，C，，则，易知，此时直线l的斜率为，取值范围为，故C正确；对于D，若点M也在圆O上，显然当直线l与圆O相切时，距离最大，则O到l的距离的最大值为，故D正确.故选：10.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的相关知识，涉及复数运算，复数求模以及共轭复数，属于中档题.依次判断各个选项的正误即可.【解答】解：对于若，设，可得，，则，故A正确；对于若，则，若，但，故B错误，对于若，若但是，故C错误；对于设，，则，若，则得所以①，若且，则①显然成立，此时若且，则易得，此时若且，即得若且，得，则，此时，故选项D正确.11.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查统计图表、相关关系等基础知识;考查读图、识图、用图的能力以及逻辑推理能力;体现基础性、综合性和创新性，导向对发展数据分析、逻辑推理等核心素养的关注，属于基础题.由散点图逐个分析各个选项.【解答】解：对该班总成绩排名前6的同学即为年级前100名的同学，数学成绩都在前200名，而语文成绩比较离散，有2个是前200名，剩下4位同学都在200名之后，且有1位同学的语文成绩大约是400名，故选项A错误;对由右图丙同学六科总成绩是的三位同学中靠前的一位，其语文成绩在名，对应左图通过六科总成绩找到丙同学，其数学成绩排名大约是400名，所以丙同学语文成绩靠前，故选项B正确;对由散点图可知，数学成绩与总成绩的分布呈左下到右上的趋势，且在一条直线附近，语文成绩与总体成绩比较分散，故选项C正确;对由左图知甲同学总成绩排名是在名，由总成绩排名可在右图找到甲同学对应的点，其语文成绩大约是50名，所以甲同学语文成绩靠前.同理，由左图知乙同学的总成绩排名是在名，可在右图找到乙同学对应的点，其语文成绩大约是250名，故选项D正确;故选：12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查分段函数的周期性与单调性以及函数的值域与函数的零点与方程根的关系，属于较难题.判断出函数的周期性，求出周期，再由指数与对数的运算得出判定A，根据函数的单调性判定B，求出函数的最大值与最小值得出值域判定C，由函数的交点得出交点坐标，进行求解，判定【解答】解：对于A，当时，，则，即为周期为4的函数，因为，所以，因为，所以，所以，故A错误；对于B，在内函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即在内单调性与在上的单调性分别相同，其中，，……当时，在上单调性与在上单调性一致，所以在上单调递增，故B正确；对于C，当时，如图，在上可能取得的最大值与最小值为与，其中，1，2，3，……因为，所以，，因为，所以，即k越大，越大，越小，对于上的，，，所以在上的值域为，故C正确；对于D，由题意可得，，，……，，……，所以与在内的交点为，，，……，其中，又，且，则不一定相等，故D错误.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角函数化简的应用，熟悉二倍角公式是解答本题的关键，属于基础题.由题意利用二倍角公式以及同角三角函数关系可得.【解答】解：由题意得，，故答案为：14.【答案】答案不唯一【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与奇偶性问题，属于基础题.根据常见函数的单调性，选择一个直接验证即可.【解答】解：由题可知：满足为偶函数，且在单调递增的函数，可以选择由二次函数性质可知，为偶函数，且在单调递增.故答案为：答案不唯一15.【答案】【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质，考查转化能力与运算求解能力，属于中档题；首先根据条件确定PAQF为菱形，进而为等边三角形，，设直线AB的方程，联立方程，利用抛物线的定义，最后求解即可.【解答】解：因为PQ为AF的垂直平分线，，，又因为，所以PAQF为菱形，由抛物线的定义可知，，所以为等边三角形，，所以直线m的方程为，设，由消去y整理得，由韦达定理，得，所以故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，属于中档题.球心到多面体各个顶点距离相等的特点，确定球心所在的直线或球心的具体位置，进而确定球的半径.取BC，AD中点E，F，利用三角形全等可证得EF为AD和BC的垂直平分线，由此可知球心O在直线EF上，利用可求得，由球的表面积公式可求得结果.【解答】解：取中点，连接AE，DE，BF，CF，，，，≌，，是AD的垂直平分线;同理可得：EF是BC的垂直平分线;球心O在直线EF上，设其半径为R，则，即，解得：当且仅当O为AD中点时，，此时球O表面积取得最小值，最小值为故答案为：17.【答案】解：在中，由余弦定理有，所以，在中，由正弦定理有，，解得，，或在中，由余弦定理有，，，在中，由余弦定理有，，，，【解析】本题考查余弦定理、正弦定理、同角间的关系、三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．在中，由余弦定理知，在中，由正弦定理得，然后即可得.在中，由余弦定理有然后利用同角间的关系可得，再利用两角和差公式可得，然后再进行的求解可得. 18.【答案】解：设两人测试成绩都低于60分为事件A，低于60分频率为，所以在100人中有3人低于60分，故，分以上的频率为，服从二项分布，，，，，故分布列为：0123P；，，，所以，，故，所以人数为人.【解析】本题考查频率分布直方图及古典概型概率计算，以及服从二项分布的分布列与数学期望求解，及服从正态分布的概率计算与应用，属于中档题.先确定低于60的人数，再由古典概型概率公式求解；根据随机变量服从二项分布求出概率，列出分布列，求出数学期望；根据正态分布的性质及概率求解公式进行求解即可.19.【答案】解：由，当时，，解得：，当时，①，②，将得：，，即，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以的通项公式为：设插入的所有数构成数列，因为，，，，所以，数列的前100项中包含的前13项及的前87项，所以【解析】本题主要考查等差数列，递推关系及数列求和等基础知识，考查学生的运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想，属于中档题.分和两种情况解答，当时，①，②，即可得解；设插入的所有数构成数列，计算出数列的前100项中包含的前13项及的前87项，分组求和即可.20.【答案】证明：在矩形ADEF中，，因为且D为BC中点，所以，又，BC，平面BCE，所以平面BCE，因为平面BCE，所以，所以，又，，BF，平面BEF，所以平面BEF，因为平面BEF，故解：，D为BC中点，，，，故，，且平面BCE，故平面，在中，，，设，，则，所以当且仅当时取等号，故的最大值为3，此时，，，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，，，，，设平面ABF法向量为，平面BEF法向量为，，取，则，，可得，，取，则，，可得，，由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为【解析】本题考查空间中直线与平面垂直的判定与性质.利用空间向量求二面角，属于中档题.证明平面BCE，得到，结合，可证明平面BEF，即可证明；由棱锥体积公式以及基本不等式求得三棱锥的体积最大时DE的值，建立空间直角坐标系，找出两个平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.21.【答案】解：连结MO，因为的垂直平分线交于点P，所以所以，在中，，，所以，即，所以点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.由已知，，故Г的方程证明：因为，即，即，由已知，显然，且，所以，当直线l的斜率不存在时，即直线这时，，显然不成立.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，由消去y，整理得，由韦达定理，得所以，即线段AB的中点横坐标为设直线OE的方程为由解得，即由解得，即，由，得，化简，得，所以，即点C为线段AB的中点，即【解析】本题考查求动点的轨迹方程及直线与椭圆位置关系的应用，分类讨论，考查转化能力，运算求解能力，属于较难题.由题意利用轨迹问题转化，求出方程；由，推出，然后分直线的斜率存在和不存在进行讨论，设直线OE的方程，与直线AB的方程，椭圆方程联立，求出，得出关系式求出的表达式，进而得证.22.【答案】解：，①当时，，若，则，在单调递减;若，则，在单调递减.由于的图象在处连续，故在单调递减，②当时，若，，故在单调递增;若或，，故在和单调递减，③当时，对于，恒有若，，，故在单调递增;若，故在单调递减，由于的图象在前述所讨论的各区间端点处均连续，故综上所述，①当时，在单调递增，在单调递减;②当时，在单调递增，在和单调递减;③当时，在单调递减;当时，，即，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，其图象如图由条件，直线在图象上方，由于的图象和直线都过点，则直线必需在点与曲线相切，所以以下证明当时，【即证明充分性】令，，则，令，则当时，，所以在单调递增;当时，，所以单调递减，所以当，所以在单调递增.由在单调递增，且在单调递增，可知，在单调递增，即当时，令，由，得，在单调递增，因为，，所以由零点存在定理知，，当时，，即，单调递减，单调递减，当时，，即，单调递增，即单调递增，因为，，所以由零点存在定理知，，，当时，，单调递减;当时，，单调递增，综合的结论，又，，可得，即，综上不等式得证，即【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题的导数解法，属于较难题.求出导函数，分类确定导数的符号，得到函数的单调区间及其单调性；设，由导数研究单调性，求得其极值，作出其图象，利用直线总在图象上方，得到直线与曲线在点处相切，由导数的几何意义求得a，然后再验证a 的值是否满足题意.。
2021届福建省泉州市高考数学质检试卷(五)(二模)(含答案解析)
2021届福建省泉州市高考数学质检试卷(五)(二模)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若z=2−i1+2i，则复数z的虚部为()A. iB. −iC. 1D. −12.设集合M={x|x=2n,n∈Z}，N={x|x=2n+1,n∈Z}，P={x|x=4n,n∈Z}，则()A. M=PB. P≠MC. N∩P≠⌀D. M∩N≠⌀3.在(1+x3)(1−x)10的展开式中，x5的系数是()A. −297B. −207C. 252D. 2974.函数是奇函数的充要条件是()A. B. C. D.5.A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=√2，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为()A. 6πB. √6πC. 12πD. 2√6π6.从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A. 2097B. 2112C. 2012D. 20907.双曲线的焦点为(0,6)，(0,−6)，且经过点A(−5,6)，则其标准方程为()A. x216−y220=1 B. y216−x220=1 C. y220−x216=1 D. y245−x29=18.若x∈[−1,5]，使得6+ax−a2>0，则实数a的取值范围是()A. (−3,6)B. (−3,2)C. (−1,2)D. (−1,6)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3,−3√3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=R sin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2)，则下列叙述正确的是A. φ=−π3B. 当t∈(0,60]时，函数y=f(t)单调递增C. 当t=100时，|PA|=6D. 当t∈(0,60]时，|f(t)|的最大值为3√310.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+√3cosωx)(ω>0)的最小正周期为π，则下列结论中正确的是()A. f(x)≤f(π3)对一切x∈R恒成立B. f(x)在区间(−5π12,−π12)上不单调C. f(x)在区间(π2,3π2)上恰有1个零点D. 将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像关于原点对称11.对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽烂获得成对的样本点数据(x1,y1)(i=1,2，…，n)，则下列结论正确的是()A. 若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B. 若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(x−,y−)C. 若以模型y=aeℎx拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=6x+ln3，则a，b的估计值分别是3和6．D. 用R 2=1−∑(n i=1y i −y i −)2∑(ni=1y i −y −)2来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则R 2的值为112. 三棱锥P −ABC 的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，则( )A. 该棱锥各面都是直角三角形B. 直线AB 与PC 所成角为60°C. 点P 到底面ABC 的距离为1D. 该棱锥的外接球的表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a = (1,–2)，b =，a 与b 的夹角为q ，则q 等于 。