探析正态分布的应用

探析正态分布的应用 摘要：正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布，并且在生物，物理及工程管理领域都有着十分广泛的应用。本文讨论了正态分布在解决概率论与数理统计中一些复杂问题中的应用，并通过具体例子说明正态分布也是一个解决现实应用问题的有效手段。 关键词：正态分布 性质 应用 Analyze application of normal distribution

Abstract: Normal distribution is the most important distribution of probability theory and mathematical statistic, and has a very wide range of applications in biology, physics and engineering. This paper discussed the normal distribution solving some complex probability and mathematical statistics and real-life problems. Keywords: normal distribution; property; application

正态分布又称高斯分布或是误差分布，它是自然界中最常见的一种概率分布，在数学、生物、物理及工程管理等领域都有着十分广泛的应用，比如在相同的生产条件下，产品的抗磨损度、抗拉强度、抗压强度等指标；一个生态系统内物种丰富度、物种分布密度等指标；同一种类种子的发芽率、充实饱满度等。中心极限定理表明：假如一个随机变量是由大量微小的、独立的随机因素构成的叠加结果，那么这个变量一定是正态随机变量。 1.正态分布密度函数性质的应用

如果随机变量X的概率密度为22221xexfx,其中,

为常数且0，则称X服从参数,的正态分布，记为2,~NX,称X为正态变量，xf为正态分布密度函数，如图1. 图1正态分布密度函数xf 1.1对称性的应用 正态分布密度函数曲线关于直线x对称，因此对任意的0a,有 1aXPXaP;

2

2

1

xPxP，即xxdxfdxf.

由1可以看出在关于x的对称区间上X取值的概率是相等的； 由2可以看出在直线x=μ的两边的面积相等,且都等于21. 例1.设2.0105,,5~2XPNX,求50XP. 解：因为2,5~NX,所以其概率密度曲线关于5x对称。则在以5

为中心的对称区间5,0和10,5上X取值的概率是相等的，所以有 2.010550XPXP.

从以上的例子中我们可以看出巧妙地利用正态分布密度函数的对称性能够快速解答问题。

例2.随机变量X的密度函数为296221xxexfx, 1求42xdxf;

x

x y

o 2若CxCxdxfdxf,求C的值。

解:将随机变量X的密度函数转化为正态密度函数，则

23221x

exf

，

所以1,3得到21,3~NX. 1设随机变量X的分布函数为xF.因为2422,4,2baba3所

以的值为3，则 4242XPdxf

x

24FF

12b11342 6826.018413.02. 2因为正态密度曲线关于3C对称，根据对称性得3C.

由以上一个例子，我们可以将一般概率密度函数改写为正态概率密度函数，以便利用正态概率密度的性质快速解答问题。 1.2最值性质的应用 正态分布密度函数xf的曲线为单峰曲线，在x处达到最大值，其最大

值为21. 例3.设随机变量xfX~,如果,则恒有10xf. A.1,0~NX B.1,~NX C.2,0~NX D.2,~NX 解：当2,~NX时，它的密度函数在x处有最大值21f.A,B

两项中0,则显然有0xf.当1时, xf的最大值为211,所以有10xf,即A,B两项正确。而在C,D两项中的值并不固定,不能保证1210

，所以不正确。所以本题的答案是A，B.

从本题我们可以看出恰当地利用正态分布密度函数最值性质可以很简便地解决问题。 2.正态分布3规则的应用

设2,~NX，则 XP

=0.6826,

2XP

=0.9544,

3XP

=0.9973.

以上的三个式子在概率论与数理统计中会经常见到，将它们表示为图2.

图2正态分布的3规则 在图2中我们可以看到X的取值大部分都落到了,区间上,有0.6826,而落在区间3,3之外的只有不到0.003.从理论上讲，服从正 态分布的随机变量X的取值范围为,-,但是在实际上，随机变量 X在区间3,3以外取值的可能性是非常小的。因此常常把区间3,3

称为3倍标准差区间，也把这个性质叫3规则。3规则与正态

0.6826 0.9544 0.9973

x o

y

  

2 3

 2

3 分布的数学期望和标准差大小无关，其数学期望和标准差仅是满足3X

的关系。

例4.随机变量2,~NX,则随着的增大，概率XP的大小. A.单调增大 B.单调减小 C.增减不定 D.保持不变 解：XP是个定值,其值为0.6826，并不随的变化而变化，所以本题选D. 我们知道服从正态分布的随机变量和它的数学期望的差值小于其标准差的概率是个定值，利用这个特性可以快速解答题目。 3.正态分布随机变量线性函数性质的应用 正态分布随机变量线性函数有以下性质： 1假如2,~NX,则1,0~NXY;

2假如1,0~NX,则2,~NXY;

3假如2,~NX,则X的线性函数baxY0a服从正态分布，并且

有2,~abaNY; 4假如随机变量21,xx相互独立，且2,~iiiNx2,1i,则对任意不全为

零的两实数21,aa有 2222212

122112211,~aaaaNxaxa.

因而，2211xaxaE=2211aa,2211xaxaD=22222121aa. 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量，并且这个正态变量的数学期望和方差也都是各个正态随机变量的相同线性组合，其中方差的组合系数是组合系数的平方。特别的，有限个相互独立且同分布的正态随机变量之和仍是正态随机变量,而且其系数是相应系数之和。 例5.设两个相互独立的随机变量YX,分别服从正态分布2,2N和1,0N, 求随机变量12YXZ的数学期望和方差。 解1:因为2,2~NX,1,0~NY, 所以8,4~2NX,1,0~NY, 则9,4~2NYX. 所以12YXZ服从正态分布9,5N,则Z的数学期望为5,方差为9. 解2:因为YX,为相互独立的的正态随机变量,所以YX2也是正态随机变量。而12YXZ为其线性函数，则Z服从正态分布。所以Z的数学期望和方差为: 51212YEXEYXEZE,

9412YDXDYXDZD.

我们可以看出解法二比解法一的要简便一些,计算量也较少。我们对于同一问题从不同度进行分析，利用不同性质，得到较简便方法。 4.正态分布在现实生活中的应用 正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决一些现实生活问题当中。医学遗传分析、考试成绩与学生综合素质研究以及质量管理和控制等诸多领域都可以利用正态分布进行研究。 例6.某乳制品厂生产净含量为1千克的罐装奶粉，该厂的数据研究人员从自动包装线上统计了大量数据，经研究发现每罐奶粉的净含量服从标准差为0.1千克的正态分布。为了保证奶粉质量符合标准，要使净含量少于1千克的产品不多于总量的%10，从而要调节包装线控制的期望。应该把期望调节到什么数值上才能达到标准？该乳制品厂准备购买一条新的自动包装线，经市场调研发现新包装线价格是10万元，其包装的奶粉的净含量服从标准差为0.025千克的正态分布，如果使用新自动包装线包装奶粉，则应该把包装线的期望调节到什么数值才能达到标准？该乳制品厂是否应该购买新的自动包装线？ 解：设原自动包装线上包装的一罐奶粉的净含量为X,则211.0,~NX.为了使净含量少于1千克的奶粉所占的比例不多于10%,应把自动包装线的期望控制在比1千克大的位置上，而且期望应该满足概率方程1.01XP,也就是指