高考数学压轴专题新备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编含答案

数学《坐标系与参数方程》期末复习知识要点一、131．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ剟）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．2⎛ ⎝ C ．(-3,-4) D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ剟， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为2(2)14x '=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．3．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )ABC．2D【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=4．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

【详解】 由题意知将代入，得，解得，因为，所以.故选：D 。

【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。

5．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据参数方程与普通方程的互化，得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线C 普通方程为221164x y +=，再利用“平方差”法，即可求解．【详解】 由直线1:1x tl y at=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由曲线221613sin ρθ=+，可得曲线C 普通方程为221164x y +=， 设直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，则22111164x y +=，2221164x y +=，两式相减，可得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+. 所以1212114y y x x -⋅=--，即直线l 的斜率为14-，所以a =14-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A．2BC ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】设曲线C上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪= 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1 BC ．2D．【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知曲线1C 与2C 交于原点和另外一点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出AB ρ=，即可得出AB 的值. 【详解】易知，曲线1C 与2C 均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立曲线1C 与2C的坐标方程2sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，AB ρ== 故选：B. 【点睛】本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.8．已知曲线T的参数方程1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），则其普通方程是（）A ．221x y += B ．()2210x y x +=≠ C．00x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩D．y =0x ≠)【答案】C 【解析】 【分析】由已知1x k =得1k x=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

【详解】由题意1x k =Q 1k x ∴=代入y =y =y ∴=①当0x >时y ∴=②当0x <时y ∴=综上0x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩故选：C 【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．9．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B．4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D．4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +-=，直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程，可得y x =，由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩， 所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=，即22440x y x y +--=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，故选A ． 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．已知曲线C：2{2x y a ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（ ） A．,22⎡-⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-【答案】C 【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤故选C.11．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1【答案】C 【解析】 【分析】先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】由题得22(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或故答案为C. 【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222=tan x y y x ρθ⎧+⎪⎨=⎪⎩,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求解.（3）本题容易漏掉220x y +=.12．已知直线:2x l y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ） A．4 B．2(2+C．4(2D．8+【答案】C 【解析】 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为2122x y t ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.13．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2π B ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1），则极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.14．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ= D ．2sin ρθ=【答案】C 【解析】由题意知圆的极坐标方程为221rcos cos ρθθ==⨯⨯，即2cos ρθ=．故选C ．15．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，23π) B ．(－4，23π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求得ρ=cos xθρ=、sin yθρ=的值，可得θ的值，从而可得极坐标.【详解】∵点的直角坐标(2-∴4ρ===，21cos 42xθρ-===-，sin 42y θρ=== ∴可取23πθ=∴直角坐标(2-化成极坐标为24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选A. 【点睛】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=cos xθρ=、sin yθρ=(θ由(),x y 所在象限确定).16．已知点 A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点 A 到直线sin()46πρθ+=的距离的最大值是（ ） A ．92B ．72C ．52D ．5【答案】A 【解析】 【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离即可 【详解】2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，化为222x y x +=配方为：()2211x y -+= 可得圆心为()1,0，半径1r =直线sin()46πρθ+=1sin cos 42θρθ+=可得直角坐标方程为：80x +-= 则点 A 到直线sin()46πρθ+=的距离的最大值为：912+=故选：A 【点睛】极坐标的相关问题一般是将极坐标方程转化为直角坐标方程处理.17．椭圆2242x y +=上的点到直线280x y --=的距离的最小值为( )A ．5B ．5C ．3D ．6【答案】A【解析】【分析】设P（2cosθsinθ），0≤θ＜2π，求出P到直线2x﹣y﹣8＝0 的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值．【详解】∵椭圆4x2+y2＝2，P为椭圆上一点，∴设P（2cosθsinθ），0≤θ＜2π，∴P到直线2x﹣y﹣8＝0 的距离：d==≥，当且仅当cos（4πθ+）＝1时取得最小值．∴点P到直线2x﹣y﹣8＝0的距离的最小值为dmin=．故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．18．若圆的参数方程为12cos,32sinxyθθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x ty t=-⎧⎨=-⎩（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交且过圆心B．相交但不过圆心C．相切D．相离【答案】B【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x--=的距离2d<，得到直线与圆的位置关系为相交．【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cosy sinθθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==<，即直线与圆相交.故选A.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.19．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ） A ．3BC．D【答案】D【解析】【分析】 设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案．【详解】 设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ） 则点P到直线20x y +=的距离=，max d ==，故选D ．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．20．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u vn -的最大值是（）A ．1B ．3 C．2 D ．23【答案】C【解析】【分析】 以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ；根据AP mAB nAC=+u u u v u u u v u u u v 可求得cos 3sin 2sin m n θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，从而得到()32sin 60m n θ-=+o ，利用三角函数值域求解方法可求得结果.【详解】以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ，则()0,0A ，()10B ,，31,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v Q 3cos 21sin 2m n n θθ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o0150θ≤≤o o Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012θ∴-≤+≤o 132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2本题正确选项：C【点睛】本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.。