等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。
一、等差数列
1. 定义
等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点
（1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。
（2）首项和公差可以确定一个等差数列。
（3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 常见性质
（1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。
（2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。
（3）若相邻两项互换，则公差不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。
等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。
二、等比数列
1. 定义
等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点
（1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。
（2）首项和公比可以确定一个等比数列。
（3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 常见性质
（1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。
（2）等比数列的和（若存在）可以用以下公式计算：Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，需满足|q|<1。
（3）若相邻两项互换，则公比不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公比的幂的乘积。
等比数列常被用于描述随时间变化的指数增长或指数衰减，比如复利计算、物种繁殖等。在计算机科学中，等比数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析，尤其是递归算法与分治算法的实现。
总结：
等差数列与等比数列都是数学中常见的数列类型，它们具有明确的定义、特点和性质。等差数列中相邻两项之差保持恒定，而等比数列中相邻两项之比保持恒定。它们在数学应用、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。了解等差数列与等比数列的特点和性质，对于建立数学模型、解决实际问题以及深入理解数学知识都具有重要的意义。
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即 d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项： （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为： ()d n a a n 11-+= 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．
高中数学：等差数列、等比数列知识点总结
高中数学：等差数列、等比数列知识点总结 数列基础知识归纳 等差数列定义与性质 定义： an+1-an=d (d为常数)， an= a1+（n-1）d 等差中项： x , A , y成等差数列: 2A=x+y 前n项和: 性质：{an}是等差数列 （1）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ;
（2）数列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍为等差数列，公差为 n2d ; （3）若三个成等差数列，可设为a-d,a,a+d ; （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn,Tn,则 （5）{an}为等差数列，则Sn=an2+bn（a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）,Sn的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界项，即： 当a1>0,d<0,解不等式组: 可得Sn达到最大值时的n值。 当a1<0,d>0,解不等式组: 可得Sn达到最小值时的n值。
（6）项数为偶数2n的等差数列{an},有 （7）项数为偶数2n-1的等差数列{an},有 等比数列定义与性质 性质：{an}是等比数列 (1) 若m+n=p+q,则am•an=ap•aq
(2) Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 等仍为等比数列，公比为qn 注意： 由Sn求an时应注意什么？ n=1时，a1=S1 ; n≥2时，an=S1-Sn-1 求数列通项公式的常用方法 求差（商）法
叠乘法 等差型递推公式
答案： 等比型递推公式 倒数法
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即： 2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项 和等于项数乘以中间项） 5、等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、 d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差 为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和 211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0。 （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 1.数列 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系. 从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值 (1),(2),(3),f f f L 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决. 2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列, 这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N * +-=∈. (2)等差数列的通项公式. 若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m -=-(直线的斜率)(,,m n m n N * ≠∈). (3)等差中项. 若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2 x y A += 或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项. (4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a d n n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2 d 且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点 的抛物线(0)d ≠上. 3.等比数列 (1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1 (q 0,)n n a q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1 1 11()(,0)n n n a a a q c q c a q q -==?= ≠,是不含常数项的指数型函数. (3) m n m n a q a -=. (4)等比中项 如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2 G xy = 或G =两个同号实数的等比中
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。 一、等差数列 1. 定义 等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。 2. 特点 （1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。 （2）首项和公差可以确定一个等差数列。 （3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。 3. 常见性质 （1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。 （2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。 （3）若相邻两项互换，则公差不变。 （4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。
等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。 二、等比数列 1. 定义 等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。 2. 特点 （1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。 （2）首项和公比可以确定一个等比数列。 （3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。 3. 常见性质 （1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。 （2）等比数列的和（若存在）可以用以下公式计算：Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，需满足|q|<1。 （3）若相邻两项互换，则公比不变。 （4）数列中的每一项都可以表示为首项与公比的幂的乘积。
等差等比数列基础知识点
一、等差等比数列基础知识点 （一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 （常数） ，则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1 1k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式： ),1(1) 1(111≠--=--=q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 121 31 2,, 则组成公差为n 2d 的等差数 列； 2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 121 31 2,, 则组成公差为q n 的等比数 列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一 *n,2个定值，则称这个数列为等差数列，记:(d为公差)(，) nN,a,a,dnn,1 d2、等差数列通项公式: ，为首项，为公差 aaand,，,(1)1n1 推导过程:叠加法 推广公式: aanmd,，,()nm a,anmd, 变形推广: n,m 3、等差中项 a，bbbA,(1)如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项(即:aaAA22A,a，b 或 (2)等差中项: ,,a数列是等差数列,2a,a，a(n,2),2a,a，a nnn-1n，1n，1nn，2 4、等差数列的前n项和公式: naa()，nn(1),1nS,,，nad 1n22 d122,，,nadn(),，AnBn 122 mnpq，,，a，a,a，a前N相和的推导:当时,则有，特别地，当mnp，,2mnpq aaa，,2aaaaaa，,，,，,,,,时，则有。(注:，)当然扩充到3项、 mnp12132nnn,, 4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。 5、等差数列的判定方法 ,(1) 定义法:若或(常数) 是等差数列( n,N,,aa,a,da,a,d,nn,1n，1nn (2)等差中项:数列是等差数列 ,,an
,2a,a，a(n,2),2a,a，an，1nn，2nn-1n，1 (3)数列是等差数列(其中是常数)。 ,,aa,kn，bk,b,nn 2(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。 ,,aSAnBn,，,nn 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发是等差数列( ,,a,n 7、等差数列相关技巧: d(1)等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:、、、ann1 da及S，其中a、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便 nn1 可求出其余2个，即知3求2。 (2)设项技巧: 一般可设通项aand,，,(1) n1 d?奇数个数成等差，可设为…，…(公差为); adadaadad,,，，2,,,,2 偶数个数成等差，可设为…，,…(注意;公差为adadadad,,，，3,,,3d2) 8、等差数列的性质: d,0n(1)当公差时，等差数列的通项公式是关于的aanddnad,，,,，,(1)n11 nndd(1),2dSnadnan,，,，,()nn一次函数，且斜率为公差;前和是关于n11222的二次函数且常数项为0。 d,0d,0(2)若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若 d,0公差，则为常数列。 (3)当时,则有，特别地，当时，则有mnpq，,，a，a,a，amnp，,2mnpq 。(注:，)当然扩充到3项、4项……aaa，,2aaaaaa，,，,，,,,,mnp12132nnn,, 都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。 (4)a、b为等差数列，则,,,abab，，，都为等差数列 ,,,,,,,,nnnnn12
等比数列等差数列知识点归纳总结
等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。 一、等差数列 等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为： an = a₁ + (n-1)d 其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。 1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。 2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。公差可以是正数、负数或零。 3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。在通项公式中，n表示项数。 4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。
等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已 知的条件，快速求解未知项的值。一些常见的应用包括求和公式、平 均数问题、等差数列的图像和几何问题等。 二、等比数列 等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。 具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表 示为： an = a₁ * r^(n-1) 其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。等比数列的常用术 语包括首项、公比、通项公式和项数等。 1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。 2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。公比可以是正数、负数或零，但不能为1。 3. 通项公式：等比数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意 一项的值。在通项公式中，n表示项数。 4. 项数：等比数列包含的项的个数称为项数。 等比数列的主要特点是任意两项之比相等，这使得我们可以根据已 知的条件，快速求解未知项的值。一些常见的应用包括求和公式、计 算几何问题和金融领域的应用等。 三、等差数列和等比数列的区别与联系
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。 一、等差数列 等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。 1. 基本概念 一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。 2. 性质 （1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。 （2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。 （3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。 3. 应用 等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：
（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。 （2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。 （3）经济学中的利润、销售额等。 二、等比数列 等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。 1. 基本概念 一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。 2. 性质 （1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。 （2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。 （3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。 3. 应用 等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括： （1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
等差等比数列知识点 归纳总结
等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。在数列中， 等差数列和等比数列是两种常见的形式。它们具有一些特定的性质和 规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。本文将对等 差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和 运用这些概念。 一、等差数列的概念和性质 等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。每一项与它 的前一项之差称为等差d。等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。 等差数列具有以下性质： 1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。 2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。通 项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。 3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。 4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。求和 公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。 5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项 和末项的和。
二、等比数列的概念和性质 等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。每一项与它的前一项之比称为公比r。等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。 等比数列具有以下性质： 1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。 2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。 3. 首项和末项：等比数列的首项为a，末项为an。 4. 求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示。求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。 5. 通项之积：对于相等间隔的等比数列，任意两项之积都等于首项和公比的幂次方之积。 三、等差数列和等比数列的应用 等差数列和等比数列在现实生活和数学领域中都有广泛的应用。 1. 算术平均数与等差数列：等差数列中的任意三项的算术平均数等于中间项。 2. 函数与等差数列：等差数列中的任意两项可以表示为函数f(x) = ax + b的解。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结 数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的 集合。其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。本文将对 等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。 一、等差数列 等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。 1. 等差数列的基本概念 等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。等差数列可以是正差、零差或负差的数列。 2. 等差数列的性质 （1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。 （2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。 （3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。 3. 求等差数列的和
求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。 4. 等差数列的应用 等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。 二、等比数列 等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。 1. 等比数列的基本概念 等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。等比数列可以是正比、零比或负比的数列。 2. 等比数列的性质 （1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。 （2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。 3. 求等比数列的和 求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即： 2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211()2 2 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各 项和等于项数乘以中间项） 5、等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、 d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差 为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和 211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0。 （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系
(完整版)高考等差等比数列知识点总结
高考数列知识点 等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = + 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列⇔2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数） 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值 法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性 *n N ∈。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由⎩⎨ ⎧≤≥+0 1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001> 名师总结精品知识点 等差等比数列知识点总结 1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即 a n a n 1 d （d为常数）（n2）；. 2. 等差中项： （1）如果 a ， A ，b成等差数列，那么A 叫做 a 与b的等差中项．即：A a b 2或 2 A a b （ 2）等差中项：数列a n是等差数列 2a n a n -1 a n 1 (n 2)2a n 1 a n a n 2 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列a n的首项是a1，公差是 d ，可以得到等差数列的通项公式为： a n a1 n 1 d 推广：a n a m(n m)d ．从而 d a n a m； n m 4．等差数列的前n 项和公式： S n n(a1 a n )na1n(n 1) d d n2(a11 d) n An2Bn 2222 （其中 A、B是常数，所以当 d≠ 0时， S n是关于 n的二次式且常数项为 0）5．等差数列的判定方法 （ 1）定义法：若a n a n 1 d 或 a n 1a n d (常数n N )a n是等差数列．（ 2）等差中项：数列a n是等差数列 2a n a n -1a n 1(n2)2a n 1a n a n 2． （3）数列a n是等差数列a n kn b （其中k, b是常数）。 （4）数列a n是等差数列S n An2Bn ,（其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若a n a n 1 d 或 a n 1a n d (常数 n N )a n是等差数列． 等差数列与等比数列知识点复习总结 的公比计算方法： ①后一项除以前一项：q = a n+1 a n ②前两项之比：q = a 2 a 1 ③前一项与后一项的平方根之比：q = √(a n+1 a n 3、等比数列 a n 的通项式： ①a n a 1 q^(n-1) ②a n a m q^(n-m) ③a n b*q^n （b为常数） 4、等比数列 a n 的性质： ①两项性质：若m+n=p+q，则 a m a n a p a q ②等比中项性质：若x,A,y成等比数列，则 2A = x+y ③下标成等比数列的项仍成等比数列。若数列 a n 是等比数列，公比为 q，则数列a k a k+m a k+2m a k+3m 仍构成等比数列，公比为q^m。 5、等比数列 a n 的前n项和： S n a 1 q^n-1)/(q-1) 等比数列前n项和性质： ①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q) ②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为 Sn=a1(q^n-1)/(q-1) ③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q) 6、等比数列前n项和性质： ①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q) ②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为 Sn=a1(q^n-1)/(q-1) ③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q) 等差数列前n项和性质： ①片段和性质：等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n。即a1+a2+。+am，am+1+am+2+。 +a2m，a2m+1+a2m+2+。+a3m也成等差数列，公差为md。 ②若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别是An,Bn，则 a1+b1,a2+b2.an+bn也成等差数列，公差为d1+d2. 等差数列、等比数列知识点梳 理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211()2 2 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121 121212 n n n n a a S n a +++++== +（项数为奇数的等差数列的各项 和等于项数乘以中间项） 5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素： 1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个 元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式 11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。 （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 等差等比数列知识点总结 1.等差数列： 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数d,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数d叫做等差数列的公差,即 a一 a 1 = d (d 为常数)(n > 2 )；. 2.等差中项： (1)如果a , A, b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即：A = 3 2 或 2 A = a + b (2 ) 等差中项：数列｝是等差数列n 0 2a = a + a (n > 2)= 2a = a + a 3.等差数列的通项公式： 一般地,如果等差数列的首项是a1,公差是d,可以得到等差数列的通项公式为： a = a +(n - 1)d 推广： a = a + (n - m)d . 从而 d = a n-~a m； n m n一m 4.等差数列的前n项和公式： n (a + a ) n (n - 1) , d / 1 八 S = 1 n— = na + ---------- d= —n2 + (a - - d)n = An2 + Bn n 2 1 2 212 (其中A、B是常数,所以当d/0时,S^关于口的二次式且常数项为0) 5.等差数列的判定方法 (1)定义法：假设a〞- a n1= d或a〞讨- a「d (常数n G N*) o "｝是等差数列. (2)等差中项：数列是等差数列 o 2a = a + a (n > 2) o 2a = a + a . (3)数列是等差数列o an= kn + b (其中k, b是常数). (4)数列«｝是等差数列o S n= An 2 + Bn,(其中A、B是常数). 6.等差数列的证实方法 定义法：假设a〞- a n1= d或a〞+1 - a「d (常数n G N *) o 句｝是等差数列.等差等比数列知识点总结
等差数列与等比数列知识点复习总结
等差数列、等比数列知识点梳理
等差等比数列知识点总结