根据逻辑关系判断命题的真假
离散数学中的命题逻辑与真值表
离散数学是数学中的一个重要分支，研究的是具有离散状态的问题。
在离散数学中，命题逻辑是一个重要的概念，它使用符号和规则来描述命题之间的关系。
而真值表则是命题逻辑中用来表示命题的真值的一种方法。
命题逻辑是一种研究命题真假关系的形式方法，它不关心命题的内容，只关注命题的逻辑结构。
在命题逻辑中，命题是指只有真假两种可能取值的陈述。
命题可以用符号表示，通常用大写字母P、Q、R等来表示，例如P表示“今天下雨”。
命题与其他符号之间通过逻辑运算符进行连接，常见的运算符有“与”（∧）、“或”（∨）和“非”（¬）等。
例如，P∧Q表示“今天下雨并且明天晴朗”，P∨Q表示“今天下雨或者明天晴朗”，¬P表示“今天不下雨”。
真值表是一种用来表示命题真值的工具，它通过给定命题的不同情况，列出所有可能的真值组合，并计算命题的真假情况。
真值表是通过行列表示的，其中每一行代表一种可能的真值组合，每一列代表一个命题或运算符。
真值表中的值可以是“真”（T）或“假”（F），分别表示命题为真或为假。
例如，对于P∧Q的真值表，一共有四种可能的真值组合（P为真Q为真、P为真Q为假、P为假Q为真、P为假Q为假），并且可以得到相应的结果（真、假、假、假）。
通过真值表，我们可以对复杂的命题逻辑进行推理和分析。
例如，如果我们希望判断命题P∧Q的真假情况，可以通过查看真值表中相应的行来得到答案。
在真值表中，只要有一组真值组合使得命题为真，那么命题就为真。
如果所有的真值组合都使得命题为假，那么命题就为假。
除了用来判断命题的真假情况，真值表还可以用来进行逻辑推理。
通过对真值表的分析，可以得到一些逻辑上的结论。
例如，如果我们希望证明一个逻辑等式成立，可以通过对真值表进行分析来判断。
如果两个命题在所有的真值组合下都有相同的真假情况，那么它们就是等价的。
在计算机科学和数理逻辑中，真值表还有广泛的应用。
计算机中的逻辑电路可以使用真值表来描述和分析，通过真值表，我们可以判断逻辑电路的输出情况。
判断推理 假言命题
判断推理假言命题
判断推理：假言命题
假言命题是逻辑推理中的一种重要形式，它由一个条件
句和一个结论句组成。
条件句通常以“如果……，那么……”的形式呈现，而结论句则是根据条件句中的前提
进行推断得出的结果。
在判断推理中，我们需要根据给定
的假言命题来判断其真假，并进行逻辑推理。
举个例子来说明假言命题的判断推理。
假设有一个假言
命题：“如果明天下雨，那么我就会带伞。
”我们需要根
据这个命题进行判断推理。
首先，我们要明确这个命题是一个条件句和一个结论句
组成的。
条件句是“如果明天下雨”，而结论句是“我就
会带伞”。
根据这个命题，我们可以得出以下几种情况：
1. 如果明天下雨：根据条件句，“如果明天下雨”，
那么结论句“我就会带伞”成立。
这意味着只要明天下雨，我就会带伞。
2. 如果明天不下雨：根据条件句，“如果明天下雨”，那么结论句“我就会带伞”不成立。
这意味着如果明天不
下雨，我可能会带伞，也可能不会带伞。
根据以上分析，我们可以得出结论：这个假言命题是一
个真命题。
因为只要明天下雨，我就会带伞。
但是如果明
天不下雨，我是否会带伞就不确定了。
在判断推理中，我们需要根据给定的假言命题进行逻辑
推理。
通过分析条件句和结论句之间的关系，我们可以判
断这个假言命题的真假，并得出相应的结论。
假言命题在
日常生活中经常出现，通过学习判断推理的方法和技巧，
我们可以更好地理解和运用这种逻辑形式。
1.2.1逻辑联结词“非”“且”“或”(1 )
新课 讲授
3.联结词“或”(or)
p q
新课 讲授
“p∨q”为真命题当且仅当p 或q中至少有一个为真命题。 q p p∨q （3）发生当且仅当（1）或（2） 真 真 真 至少一个发生 真 假 真 假 真 真 联结词“或”用来连结两个命题p，q 假 假 假 得到新命题“p或q”，记做：p∨q. 全假为假 一真为真
4、写出下列命题的否定 （1）1的平方是正数 （2）1和2的平方都是正数 （3）有些自然数的平方是正数 5、写出由下列各组命题构成的“非”，“且”，“或” 形式的复合命题，并判断真假： （1）p:1是质数，q:1是方程x²+2x-3=0的根 （2）p:N Z，q:0∈N
当堂 练习
1.判断下列命题的真假： (1)方程x 2 3x 4 0的判别式大于或等于 0；真
正难则反
1、命题p：关于x的方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根； 命题q：不等式4x2+4 (m-2)x+1>0 的解集为R，若p或q为真， p且q为假，求实数m的取值范围。
课堂 练习
m<-2或1 m 2或m 3
2、已知c 0，设 p : 函数y c x 在R上单调递减。 q : 不等式 x x 2c 1的解集为R。 如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围。
复习回顾
四种命题的概念及关系
若p, 则q 若q, 则p 若p, 则q 若q, 则p
原命题 逆否命题 真 真 假 假 真 真 假 假
逻辑学课件第三讲 命题的判定与命题逻辑的形式证明
f（4）是 p ∧ p， （ p ∨ p）， （p→ p）等公式表 达的真值函项，表示不论变项有真值还是假值，公式总有假的
值。
设n=2，用“f（）”表示真值函项，那么有2个变项的公 式表达的真值函项可用下表表示：
f（9）是和f（8）矛盾的函项。 f（10）是和f（7）矛盾的函项，对不相容选言命题的抽象可以
得到这种真值形式，表达 f（10） 的公式 （p↔q）也称作反等 值。 f（11）是和f（6）矛盾的函项，它的真值与p无关，而与非q的 真值相同。 f（12）是和f（5）矛盾的函项，表达 它 的公式 （p →q ）有 时也称作反蕴涵。 f（13）是和f（4）矛盾的函项，它的真值与q无关，而与非p的 真值相同。 f（14）是和f（3）矛盾的函项。 f（15）是和f（2）矛盾的函项。 f（16）是和f（1）矛盾的函项，表示不论p和q取何真值，公式 总有假的真值。
p→q∧q （p→q∧q）→p
3）根据五个基本真值表，依次确定出所列公式的真值。如果这 个公式在各种情况下都是真的，就判定它是重言式，否则就判 定它不是重言式。
p q p q q∧q p→q∧q （p→q∧q）→p
TT F F F
F
T
TF F T F
F
T
FT T F F
T
T
FF T T F
T
T
从上面这个真值表可以看出，这个公式为重言式。 注意：每一栏的真值情况要写在该栏的主联结词下面。
F
F
T
T
F
F
FFT F T F T F T F T F
T
F
2021江西省考行测技巧：假言命题的“真真假假”
2021江西省考行测技巧：假言命题的“真真假假”“真假话”这三个字很多同学不陌生，因为在我们学习逻辑必然性推理题目中经常会遇到，但很多同学不知道的是在假言命题中也是可以考察真假话题目的，而真假话题目基本上都会用到矛盾命题，所以中公教育专家先带大家了解一下假言命题的矛盾命题。
首先，大家小时候家长经常会给我们一些许诺，比如说“如果你期末考进了前三，就带你去游乐园”，那大家现在思考一下什么时候家长说谎了呢?那就是：你考进了前三，家长却没有带你去。
这两件事情需要同时发生，由此我们可以得出结论，假言命题p⇒q，它的矛盾命题是p且非q。
接下来我们一起看道例题。
【例题1】某机关年终考核时，群众对周、吴、郑、王四位处长的考核结果有多种说法。
①如果周处长考核优秀，那么吴处长考核也优秀②考核优秀者是郑处长③考核优秀者是周处长，但是吴处长考核不是优秀④考核优秀者是周处长或者王处长其中，只有一种说法是正确的。
则以下哪项一定为真?A.①B.②C.③D.④【中公解析】观察题干所给四个条件，其中出①和③是矛盾命题，必有一真一假，而题目中只有一真，真话一定在①③中，由此说明②④为假话，进而得出优秀者不是郑处长，也不是周处长和王处长，则③为假话，①为真话，故本题答案为A。
本题是利用假言命题的矛盾关系来解决真假话题目，需要我们第一步观察题干是否有矛盾关系，有矛盾之后我们需要绕开矛盾根据条件判断其他人说的话的真假，最终得出结论。
接下来我们要增加一点难度来看还有什么题目可以利用假言命题真假话来解题。
【例题2】某科室就选派小郑、小周谁去基层蹲点有三种不同意见：(1)只要小郑去，小周就不去;(2)只要小周不去，小郑就要去;(3)小郑去基层蹲点。
科室领导研究后，同意了一种意见，否定了两种意见。
由此，可以推出：A.小郑、小周都去B.小郑、小周都不去C.小郑去而小周不去D.小周去而小郑不去【中公解析】观察本题条件也是真假话，但我们并没有找到题干条件本身的矛盾关系，并且假言命题没有明确告诉支命题之间是如何选择，而是在各个支命题之间做了一个假设，这样我们就无法直接判定一个支命题是在做假设的情况下得到另外一个支命题真假性，也就是说我们从正面入手比较困难，这时我们就可以考虑利用假言命题的矛盾来解决，因为“且”命题的真假我们是比较好判断的，即把题干翻译如下：①小郑且非小周②非小周且非小郑③非小郑这三个条件的真假性则变成两真一假，那么如果③假，则②假不满足题干要求，由此得出③真，则①假，②真。
高一数学教案：四种命题之间的相互关系及真假判断
四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系．2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张：(记作§1．7．2 A)第二张：(记作§1．7．2 B)原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．第三张：(记作§1．7．2 C)［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．Ⅱ.讲授新课§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系：(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)［师］请同学们讨论后回答下列问题：(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．［师］原命题与逆命题的真假关系如何?生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢?［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.［师］正确.它的逆否命题呢?［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论，例证后回答)［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题：(师应强调分析：“c ＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a ＞b ”，结论是“ac ＞bc ”．)［生］逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”逆命题为真．否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，否命题为真.逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，逆否命题为真.［师］回答正确.请看练习题.Ⅲ．课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后，教师加以评述)．Ⅳ.课时小结［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)2.四种命题的真假关系：⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业：课本P33 3、4题．(二)1.预习内容：课本P32～P332.预习提纲：(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结：(略)。
命题及其逻辑关系
解析
答案
探究提高
根据四种命题的定义判断一 个原命题的逆命题、否命题、 逆否命题的表达格式． 当命题 较简单时，可直接判断其真 假， 若命题本身复杂或不易直 接判断时， 可利用其等价命题 ——逆否命题进行真假判断．
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 四种命题的关系及真假
思维启迪
难点正本 疑点清源
(2)如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的 充要条件．
基础知识 题型分类
2．集合与充要条件 设集合 A＝{x|x 满足条件 p}， B ＝{x|x 满足条件 q}，则有 (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分 条件，若 A B，则 p 是 q 的充 分不必要条件； (2)若 B⊆A，则 p 是 q 的必要 条件，若 B A，则 p 是 q 的必 要不充分条件； (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充 要条件； (4)若 A B，且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
基础知识 题型分类
解析
答案
探究提高
命题“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则 m≤1”是真命题，所以其逆 否命题“若 m>1，则函数 f(x) ＝ex－mx 在(0，＋∞)上不是 增函数”是真命题．
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 四种命题的关系及真假
【例 1】 已知命题“若函数 f(x)＝ex－mx 思维启迪 解析 答案 探究提高 在(0，＋∞)上是增函数，则 m≤1”，则 下列结论正确的是 ( D ) (1)熟悉四种命题的概念是正 A．否命题“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0， 确书写或判断四种命题真假 ＋∞)上是减函数， m>1”是真命题 则 的关键；(2)根据“原命题与 B．逆命题“若 m≤1，则函数 f(x)＝ex －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假 逆否命题同真同假， 逆命题与 命题 否命题同真同假”这一性质， C．逆否命题“若 m>1，则函数 f(x)＝ex －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真 当一个命题直接判断不易进 命题 行时， 可转化为判断其等价命 x D．逆否命题“若 m>1，则函数 f(x)＝e (3)认真仔细读题， －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是 题的真假； 真命题 必要时举特例．
必要条件假言命题前件假后件真
必要条件假言命题前件假后件真在逻辑学中，条件假言是一种形式化的论证方式，其中前件为“必要条件”，后件为“假设条件”。
这种命题可以通过判断前件是否成立来推断出后件的真假。
如果前件为真，则可以得出结论后件也为真；如果前件为假，则无法推断出结论的真假。
这种推理形式非常常见，并在科学研究、哲学思考和日常生活中得到广泛应用。
条件假言的形式条件假言可以用以下形式表示：如果A，则B。
其中A是前件，B是后件。
这种形式的命题可以表示必要条件和假设条件之间的关系。
必要条件与充分条件在条件假言中，前件通常是一个必要条件，后件是一个假设条件。
理解这两个概念对于正确理解条件假言的推理过程至关重要。
必要条件是指在某种条件下，某个特定事件或情况必然发生。
换句话说，如果我们想要实现目标B，那么我们必须具备条件A。
必要条件可以用以下表达式表示：如果要B，就必须A。
充分条件是指在某种条件下，某个特定事件或情况发生时，我们可以确定目标B一定已经实现。
换句话说，如果发生了前件A，那么我们可以得出结论后件B一定为真。
充分条件可以用以下表达式表示：如果A，就一定B。
在条件假言中，前件通常作为必要条件，后件作为充分条件。
通过确定前件的真假，我们可以推断后件是否为真。
必要条件假言的推理根据前文所述的条件假言形式，我们可以通过判断前件是否为真来推断后件的真假。
如果前件为真，则可以得出结论后件也为真；如果前件为假，则无法推断出结论的真假。
这种推理过程可以用以下形式的推理规则表示：•如果A为真，则B为真。
•如果A为假，则无法确定B的真假。
为了更好地理解这个推理过程，让我们举一个例子：假设我们想要研究一种草药是否能治愈感冒。
我们假设：A：服用草药 B：治愈感冒根据我们的假设，如果A发生，则B一定发生。
所以我们可以得出以下条件假言命题：如果服用草药，则可以治愈感冒。
现在，我们想要验证这个命题是否成立。
我们进行了一系列实验并观察到以下结果：•实验1：服用草药的人治愈了感冒。
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根据逻辑关系判断命题的真假在我们日常的生活和学习中，逻辑的思维方式是非常重要的。
而在逻辑思维中，判断命题的真假是必不可少的一部分。
逻辑关系是判断命题真假的重要方法之一，接下来我们将从逻辑关系的角度来探讨如何判断命题的真假。
一、前提和结论的逻辑关系
逻辑关系中，前提和结论是最基本的两个概念。
前提是指一个命题中在结论之前的命题，而结论是在整个命题中的最后一个命题。
前提和结论之间存在着三种逻辑关系，即必然推论关系、否定关系和无中介逻辑关系。
必然推论关系指前提成立时，结论一定成立，例如：“所有的猫都有尾巴，这只小花猫是一只猫，所以它一定有尾巴。
”在这个例子中，前提成立是指所有猫都有尾巴，小花猫是一只猫，因此它一定有尾巴。
否定关系指前提成立时，结论一定不成立，例如：“所有的狗都会飞，但是这只小狗却不能飞。
”在这个例子中，前提成立是指所有狗都会飞，但小狗不能飞，因此结论不成立。
无中介逻辑关系指前提和结论之间没有任何逻辑关系，例如：“李明很聪明，他的妹妹是一个漂亮的姑娘。
”在这个例子中，前提成立是指李明很聪明，结论是他的妹妹是一个漂亮的姑娘，两者之间没有任何逻辑关系。
二、命题的充分必要条件关系
充分必要条件关系是指两个命题之间是相互依存的关系，满足第一个命题则必然满足第二个命题，反之亦然。
例如：“一个数是偶数，当且仅当它能被2整除。
”在这个例子中，第一个命题是“这个数是偶数”，第二个命题是“这个数能被2整除”，两个命题之间是充分必要条件关系。
三、命题的充分条件和充分非必要条件关系
命题的充分条件是指如果满足这个条件，则必然能得到命题的结论。
而充分非必要条件是指一个命题的充分条件不是它的必要条件。
例如：“一个人打了孙先生，就一定是犯罪的；但如果这个人是打了孙先生的自卫，那么他不算犯罪。
”在这个例子中，一个人打了孙先生是这个命题的充分条件，但不是必要条件。
四、命题的必要条件和必要非充分条件关系
命题的必要条件是指如果想要得到命题的结论，则必须满足这个条件。
而必要非充分条件是指命题的必要条件不是它的充分条件。
例如：“要想取得高分，必须要认真复习；但如果认真复习了并不一定能够取得高分。
”在这个例子中，认真复习是取得高分的必要条件，但并不是充分条件。
综上所述，逻辑关系是判断命题真假的重要方法之一。
通过对前提和结论的逻辑关系、充分必要条件关系、充分非必要条件关系以及必要条件和必要非充分条件关系的理解，我们能够更好地理解和判断命题的真假。
在日常生活和学习中，我们应该注重培养逻辑思维的能力，从而更好地发挥我们的智慧和能力。