四种命题之间的相互关系及真假关系判断
高中数学教师备课必备系列(简易逻辑)专题五 四种命题及真假判断 Word版含解析
【基础回顾】
一．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
二．四种命题及其关系
．四种命题
即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
．四种命题间的逆否关系
．四种命题的真假关系
()两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【典型例题】
例．已知是两个命题，若“”是假命题，则（）
．都是假命题．都是真命题
．是假命题，是真命题．是真命题，是假命题
【答案】
【解析】
例．给出下列命题：其中正确命题的序号是（）
①已知,若,则,
②不存在实数,使
③是函数的一个对称轴中心
④已知函数.
．①②．②④．①③．④
【答案】
【解析】
试题分析：
④因为在锐角三角形中，，所以，；则有
，；又因为函数
在上为减函数，所以.故正确.
考点：向量的线性运算；三角函数的基本关系式；函数的图像和性质.
例．下列说法中正确的是（）
（）“”是“函数是奇函数”的充要条件。
四种命题的真假-P
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真） （真） （真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。
布置作业：33页 3、4两题 。 课外延拓：各小组自编命题并判断真假。
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
四种命题间的相互关系
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤： 反设 归谬 结论
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确
例2： 若a2能被2整除，a是整数，
练习2 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2＝ 1 ［（p －q）2＋（p ＋q）2］ 2
≥ 1（p ＋q）2＞ 1×２２＝２ 1
2
2
2
所以p2 ＋ q2≠2． 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而 原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 ——反证法.
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；真 （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；假 （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假 （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 真
1.1.3 四种命题间的相互关系
（二）四种命题的真假关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。 原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 (1) 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 (2) 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 (3) 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
分析
直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它 的逆否命题的证明. 将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题， 要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否 命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题， 从而达到证明原命题为真命题的目的．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
（1）设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少 有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假 情况是（ A ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
（2） 命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c 都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题的个数为（ D ）
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或互为否命 题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性，所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以 通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
高二数学四种命题的相互关系
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠_______, (x-a)(x-b)=0 又_________
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
四种命题的关系及真假判断
完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断
原命题 若p则q
互逆
互否
否命题 若p则q
互 为
互为
逆 逆否 否
互逆
逆命题 若q则p
互否
逆否命题 若q则p
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命 题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了， 不必对四种命题形式—一加以讨论．
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应 该利用一元二次方程的根的判别式。
（2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据 原命题的真假进行判断。
完成下列练习
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，
并判断真假。
解：逆命题：若ab=0，则a=0
真
否命题：若a2 b2 0，则a,b不全为0 真
逆否命题：若a,b不全为0，则a2 b2 0 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0
（2）逆命题： 若x2 x a 0有实数根，则a 0
假
否命题：若a 0，则x2 x a 0没有实数根
假
逆否命题：若x2 x a 1没有实数根，则a 0 真
注意： 若p则q的形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与上一节的复合
命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题 的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另 须指出的是：
原命题 逆否命题
逆命题 否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．
四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命
四种命题的真假关系表格
以下是四种命题的真假关系表格：
命题类型
命题A命Biblioteka B逆命题逆逆命题原命题
A ⇒ B
A ⇒ B
B ⇒ A
B ⇒ A
逆命题
A ⇒ B
B ⇒ A
B ⇒ A
A ⇒ B
逆逆命题
A ⇒ B
A ⇒ B
A ⇒ B
A ⇒ B
在上述表格中，假设A和B是两个命题，其中A表示前件，B表示后件。原命题表示“如果A为真，则B也为真”，逆命题表示“如果B为真，则A也为真”，逆逆命题表示“如果A为真，则B也为真”。
需要注意的是，四种命题的真假关系并不是绝对的，而是取决于具体的逻辑条件和假设。因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来判断四种命题的真假关系。
四种命题间的相互关系
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
即（1-a）b > 1 ， （1-b）c> 1 ,（1-c）a> 1 4
4
4
4
而 1- a + b ≥ (1- a)b > 1 , 1- b + c ≥ (1- b)c > 1 , 1-c +a ≥ (1-c)a > 1 ,
2
22
22
2
1 得
-
a+ 2
b
+
1
-
b+ 2
c
+
1-
c+ 2
a
>
3 2
即 3 > 3 ，属于自相矛盾，
A．4
B．3 C．2
D．0
5. 命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解 集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆 否命题，并判断真假．
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§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假关系判断
[教学目的]
使学生掌握四种命题的相互关系及真假关系.
[教学过程]
一、复习引入
⒈四种命题的形式是什么？
答：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.
⒉什么叫互逆命题？互否命题？互为逆否命题？
答：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就叫做互逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题就叫做互否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题就叫做互为逆否命题.
⒊根据问题2，你能说出四种命题之间的相互关系和真假关系吗？这是今天我们要学习的主要内容.
二、学习、讲解新课
⒈四种命题的相互关系
经过前面的学习，我们已经有了四种命题的概念，而且知道互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：
⒉四种命题的真假关系
一个命题的真假与其他三个
命题的真假有如下三条关系：
⑴原命题为真，它的逆命题不
一定为真；
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.
⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题.
⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab≠0，则a≠0”是真命题.
结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.
⒊巩固新课，反馈矫正
例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、例（P
32
否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；
否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.
练习：课本P
练习：1，2.
32
答案：1.⑴正确；⑵正确.
2.⑴逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；
否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；
逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.
⑵逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.
否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.
逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.
三、小结
本节课我们主要学习了四种命题之间的相互关系和真假关系，两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题）.
四、布置作业
(一)复习：课本P
内容，熟悉巩固有关概念和方法.
31-32
习题1.7：3，4.
(二)书面：课本P
33-34
答案：3.⑴真；⑵假；⑶真；⑷真.
4.⑴逆命题：若a是无理数，则a+5是无理数.逆命题为真.
否命题：若a+5不是无理数，则a不是无理数 .否命题为真 .
逆否命题：若a不是无理数，则a+5不是无理数.逆否命题为真.
⑵逆命题：若一个四边形的两条对角线相等，则它是矩形.逆命题为假.
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等 .否命题为假.
逆否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形.逆否命题为真.
(三)思考题：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在
花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？
反证法.
(四)预习：课本P
32-33。