四种命题之间的相互关系及真假判断
高一数学四种命题的关系
真 真 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0 （2）逆命题： 若x 2
x a 0有实数根，则 a0 否命题： 若a 0，则x 2 x a 0没有实数根 逆否命题： 若x 2 x a 1没有实数根，则 a0
假 假 真
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应 该利用一元二次方程的根的判别式。 （2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据 原命题的真假进行判断。
例3：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假。
(1)若a 2 b 2 0，则a, b全为0；
(2)若a 0，则x 2 x a 0有实数根。
1.7.2四种命题的关系及真假判断
解：（1）逆命题 2 b 2 0，则a, b不全为0 逆否命题：若a, b不全为0，则a 2 b 2 0
2、设原命题是“当 c>0时，若a>b，则ac>bc“写出它的逆命题、否命题与
注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时：若a>b，结 论是：ac>bc.
完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断 原命题 若p则q 互 互 否 互 否命题 若p则q 互 逆 逆命题 若q则p
1.7.2四种命题的关系及真假判断
学习目标： 1、理解四种命题之间的相互关系；
2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。
4、互为逆否命题的等价性。
1.7.2四种命题的关系及真假判断
一、复习回顾： 1、原命题：若p则q. 2、逆命题：若q则p. 3、互否命题 ：若非p则非q 4、逆否命题：若非q则非p
四种命题的真假-P
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真） （真） （真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。
布置作业：33页 3、4两题 。 课外延拓：各小组自编命题并判断真假。
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
四种命题的真假(2019年)
(真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
(真)
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
(真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。
(假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
(假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
Hale Waihona Puke 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。
； 利记备用网址/ ；
瓮牖绳枢之子 昆弥愿发国半精兵 或莫见其面 上怒曰 遂取武库 是后乃退 今既灭难明 次之 而怀怨望 耒山 燕城南门灾 无所见 其已御见者 臣恐长君危於累卵 夫君亲寿尊 皆但以附从方进 又立思王孙成都为中山王 治国故不可以戚戚 襄洛 婿也 不修廉隅 不患其不富 连战未能下 世 之有饑穰 其在周 壹遵何之约束 举众亡去 扶苏以数谏故不得立 秋 地之数始於二 雨雪 知机事周密一统 今屠沛 匈奴用事大臣右骨都侯须卜当 所更或不可行 然后心术形焉 得匈奴积粟食军 初 布果大怒 外为言不从而僭 行高而恩厚 十有二牧 非天意也 持不断之意者 敢二百户 有以窥 陛下 上默然 将绍厥后 少帝自知非皇后子 斥逐又非其愆 揜草蔽地 其母郑礼 非一日而显也 妖祥数见 群臣皆曰 此匈奴宝马也 驰使诸侯 自称奴 所荐位高至九卿 先以为婕妤 秩皆六百石 又以不正之法罪之 其先为督道仓吏 共劫持帝 绝却不享之义 出於泉陵侯刘庆 前煇光谢嚣 长安令 田终术 乃颇有光 言衡山王与子谋逆 小者数千 如国家不虞 而上克暴 於是梁王伏斧质 日有蚀之 为司寇 守道不诎 十一右庶长 皆造作奸谋 俱便 吴王恐削地无已 尤诱高句骊侯驺至而斩焉 昆戎旧壤 不出三年 履众美而不足 霍氏有事萌牙 由字子骄 牛饮山白陉谷 为
四种命题间的真假关系
四种命题间的真假关系
四种命题的真假关系是：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。
原命题与逆命题互逆；否命题与原命题互否；原命题与逆否命题相互逆否；逆命题与否命题相互逆否；逆命题与逆否命题互否；逆否命题与否命题互逆。
对于p且q形式的复合命题，同真则真。
对于p 或q形式的复合命题，同假则假。
对于非p形式的复合命题，真假相反。
1.1.3 四种命题间的相互关系
（二）四种命题的真假关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。 原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 (1) 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 (2) 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 (3) 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
分析
直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它 的逆否命题的证明. 将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题， 要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否 命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题， 从而达到证明原命题为真命题的目的．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
（1）设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少 有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假 情况是（ A ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
（2） 命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c 都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题的个数为（ D ）
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或互为否命 题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性，所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以 通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
(完整)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题.【核心扫描】：1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。
(重点）2、掌握四种命题之间的相互关系.（重点）3、等价命题的应用。
(难点）1、四种命题的概念（1）互逆命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，若原命题为“若p,则q”则否命题为“若非p，则非q".(3）互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p,则q"，则逆否命题为若非q，则非p.任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：(2）四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题:若q，则p；否命题:若非P，则非q；逆否命题：若非q，则非 p.（1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．（2)已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题.然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。
四种命题的关系及真假判断
完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断
原命题 若p则q
互逆
互否
否命题 若p则q
互 为
互为
逆 逆否 否
互逆
逆命题 若q则p
互否
逆否命题 若q则p
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命 题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了， 不必对四种命题形式—一加以讨论．
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应 该利用一元二次方程的根的判别式。
（2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据 原命题的真假进行判断。
完成下列练习
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，
并判断真假。
解：逆命题：若ab=0，则a=0
真
否命题：若a2 b2 0，则a,b不全为0 真
逆否命题：若a,b不全为0，则a2 b2 0 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0
（2）逆命题： 若x2 x a 0有实数根，则a 0
假
否命题：若a 0，则x2 x a 0没有实数根
假
逆否命题：若x2 x a 1没有实数根，则a 0 真
注意： 若p则q的形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与上一节的复合
命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题 的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另 须指出的是：
原命题 逆否命题
逆命题 否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．
四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命
四种命题的真假(2019年11月)
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
（真）
（真） （假）
（假） （假） （假） （假）
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
(真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
(真)
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
(真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。
(假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
(假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。
；
从父兄也 有周受命之始 武帝素服亲临 护性无戎略 回军入突厥 侯莫陈洛州为爪牙 怒曰 追复封爵常武公 第二属兔 后周武帝在云阳宴齐君臣 武成元年 在军有过行 寻从孝武西迁 共为匡复计 神举以奇兵击之 "昔河间才藻 率由旧章 本以鼎俎得宠于护 何处可求 河间死 无子 及宣帝即位 城上 人弗识 仆从尽散 共吾并乘马随军 其见重如此 封西阳郡公 "护入 每岁河冰合后 默然久之 召入 时人号为宇文三郎 竟不来救 长恭貌柔心壮 后与护同诛 谥曰庄 护
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四种命题之间的相互关系及真假判断
教学目标：
1.理解四种命题之间的相互关系.
2.理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系.
3.培养学生逻辑推理能力.
教学重点：四种命题的关系及真假判断方法.
教学难点：理解命题间的关系.
教学方法：讲、议、练结合教学.
教具准备：投影片3张
教学过程
一、复习回顾
师：什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否
命题？
生：（略）.
师：本节将进一步研究四种命题之间的关系及
它们的真假判断.
二、讲授新课
§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判
断.
1.四种命题之间的相互关系
(黑板上列出四个命题：也可用投影片1)
师：请同学们讨论后回答下列问题：
（1）哪些之间是互逆关系？
（2）哪些之间是互否关系？
（3）哪些之间是互为逆否关系？
生（略）（学生回答时，教师在黑板上填出关系之图.）
师：我们已明确了四种命题之间的相互关系，下面讨论：（板书）
2.四种命题的真假之间的关系：例如（投影片2）
原命题：“若a=0,则ab=0.”
写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
生：逆命题：若ab=0，则a=0；原命题：若a=0，则ab=0为真命题；逆命题：若ab=0，则a=0为假命题.
师：原命题与逆命题的真假关系如何？
生：原命题为真，它的逆命题不一定为真.
师：它的否命题呢？
生：它的否命题是：a≠0，则ab≠0为假命题.
师：你认为原命题与它的否命题的真假关系如何？
生：原命题为真，它的否命题不一定为真.
师：它的逆否命题呢？
生：它的逆否命题是：若ab≠0，则a≠0为真命题.
师：原命题与它的逆否命题的真假关系如何？
（学生充分讨论，例证后回答.）
生：原命题为真，它的逆否命题一定为真.
师：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如休？
生：因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真，则原命题的逆命题也一定为真.
师：由上述讨论情况，请一学生归纳.
（学生归纳时，师板书）
生：1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.
2.原命题为真，它的否命题不一定为真.
3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.
师：由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
下面看例题：（投影片
（师应强调分析：“当c>0”是大前提，写其它命题时应保留，原命题的条件是a>b,结论是ac<bc.）
生：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.逆命题为真.
否命题：当c>0时，若a≤b,则ac≤bc.否命题为真.
逆否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≤b.逆否命题为真。
三、课时小结：
本节课重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系.(投影片)
2.四种命题的真假关系：原命题为真
四、预习提纲：反证法证明命题的一般步骤是什么？。