对数与对数函数

Part-5 对数与对数函数 考点1：对数与对数运算 1．对数： 一般地，如果0,1xaNaa且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．常用对数和自然对数： 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把10logN记为lgN．另外，在科学技术中常使用以无理数2.71828e为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN． 3．对数与指数间的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当0,1aa时，logxaaNxN． 负数和零没有对数； 4．对数的运算性质： 如果0a，且1a，0M，0N，那么： （1）logloglogaaaMNMN； （2）logloglogaaaMMNN； （3）loglognaaMnMnR；

（4）log10a，log1aa，loganan，lognaan，1loglogabba． 5．换底公式： loglog0,1;0,1;0logcacbbaaccba且且． 6．换底公式的变形： （1）logloglogloglogloglogabaabcabccbcdd； （2）logloglogloglogmnnnaaaaanbbbnbanm． 考点2：对数函数及其性质： 1．对数函数的概念： 一般地，我们把函数log0,1ayxaa且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是0,． 2．对数函数的图像和性质： 一般地，对数函数log0,1ayxaa且的图像和性质如下表所示：

3．对数函数log0,1ayxaa且中常量a的渐变规律： 总结：当01a时，a的值越小（大），函数图像越靠近（远离）x轴； 当 1a 时，a的值越大（小），函数图像越靠近（远离）x轴． 1．对数的概念 如果xaN（0a且1a)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的，N叫做． 2．对数的性质与运算法则 （1）对数的运算法则 如果0a且1a，0M，0N，那么 ①logaMN； ②logaMN； ③logmnaMlognaM（nR）. （2）对数的性质 ①log1a；②logaa；③logaNa；④lognaa． （3）对数的重要公式 ①换底公式：（a，b均大于0且不等于1）；

②1logab；

③logloglogabcbcd. 3．对数函数的图象与性质 logayx 1a 01a

图象 定义域 值域 性质 过定点，即x时，y 当0x时，； 当0x时，； 当0x时，. 当0x时，； 当0x时，； 当0x时，. 在0,上是 在0,上是 【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”) （1）若2332loglogloglog0xy，则5xy.() （2）552log10log0.255.() （3）已知函数lgfxx，若1fab，则222fafb.() （4）当1x时，log0ax.() （5）当1x时，若loglogabxx，则ab.() （6）函数2lg2xfxx与lg2lg2gxxx是同一个函数．()

题型一 对数式的运算 【例1】（1）552log10log0.25（ ）. .0A.1B.2C.4D （2）已知函数2log,03,0xxxfxx，则311log2fff的值是（）.

.5A.3B.1C7.2D

【跟踪训练1】（1）若4log3x，则222xx等于（）. 9.4A5.4B10.3C4

.3D

（2）已知函数1,421,4xxfxfxx，则22log3f的值为. 题型二 对数函数的图象和性质 【例2】（1）在同一直角坐标系中，函数0afxxx与logagxx的图象可能是（ ）.

ABCD （2）函数42log1yx的图象大致是（ ）.

【跟踪训练2】（1）函数lg1fxx的大致图象是（ ）. （2）若函数log0,1ayxaa且的图象如图所示，则下列函数图像正确的是（ ）.

ABCD 题型三 对数函数的应用 【例3】（1）已知函数log0,1afxxbaa且的图象经过两点1,0和0,1，则a，b.

（2）已知fx是定义在R上的偶函数，且在0,上为增函数，103f，则不等式13

log0fx

的解集为.

【跟踪训练2】（1）设函数212log,0,log,0.xxfxxx若fafa，则实数a的取值范围是（ ）. .1,00,1A.,11,B.1,01,C.,10,1D

（2）已知fx是定义在,上的偶函数，且在,0上是增函数，设4log7af，12log3bf，0.60.2cf，则a，b，c的大小关系是（ ）.

.Acab.Bcba.Cbca.Dabc 1.计算： （1）22log2，24log3log32； （2）2lg0.01log16； （3）2lg2lg25；

（4）121lglg251004.；

（5）151lg2lg222； （6）221lg2lg522； （7）023218log893； （8）223273lg5lg2； （9）21341lg3lg0.338. 2.已知42a，lgxa，则x. 3.若函数21,1,lg,1,xxfxxx则10ff. 4.已知x，y为正实数，则（ ）. lglglglg.222xyxyAlglglg.222xyxyBlglglglg.222xyxyC

lglglg.222xyxy

D

5.函数2lnfxxx的定义域为. 6.函数22log23fxxx的定义域为. 7.函数612logfxx的定义域为. 8.函数221log1fxx的定义域为. 9.集合lg0Mxx，24Nxx，则MN（ ）. .1,2A.1,2B.1,2C.1,2D

10.已知集合40log1Axx，2Bxx，则AB（ ）. .0,1A.0,2B.1,2C



.1,2D

11.若集合121log2Axx，则RCA（ ）. 2.,0,2A2.,2B2.,0,2C2.,2D





12.已知2log,1Uyyxx，1,2Pyyxx，则UCP（ ）. 1.,2A1.0,2B.0,C1.,0,2D





13.在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1211log12x”发生的概率为（ ）. 3.4A2.3B1.3C1.4D

14.已知函数lg1fxx.若0121fxfx，则x的取值范围为. 15.“0x”是“ln10x”的（ ）. .A充要条件.B充分不必要条件.C必要不充分条件.D既不充分也不必要条件

16.设a，b为正实数，则“1ab”是“22loglog0ab”的（ ）. .A充要条件.B充分不必要条件.C必要不充分条件.D既不充分也不必要条件

17.设a，b都是不等于1的正数，则“333ab”是“log3log3ab”的（ ）. .A充要条件.B充分不必要条件.C必要不充分条件.D既不充分也不必要条件 18.函数2lnfxx的图象与函数245gxxx的图像的交点个数为（ ）. .3A.2B.1C.0D

19.函数223,0,2ln,0xxxfxxx的零点个数为（ ）. .0A.1B.2C.3D

20.设函数122,1,1log,1,xxfxxx则满足2fx的x的取值范围是（ ）. .1,2A.0,2B.1,C

.0,D

21.已知一元二次不等式0fx的解集为112xxx或，则100xf的解集为（ ）. .1lg2Axxx或.1lg2Bxx.lg2Cxx.lg2Dxx

22.已知ln1ln1,1,1fxxxx.现有下列命题： ①fxfx；②2221xffxx；③若0fx，则0x. 其中的所有正确命题的序号是（ ）. .A①②③ .B②③ .C①③ .D①②

23.设函数21ln11fxxx，则使得21fxfx成立的x的取值范围是（ ）. 1.,13A11.,33B1.,1,3C





11.,,33D





24.已知定义在R上的函数21xmfx（m为实数）为偶函数.记0.5log3af，2log5bf，2cfm，则a，b，c的大小关系为（ ）.

.Aabc.Bcab.Cacb.Dcba