二元一次方程组的概念及解法
二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）
⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。
4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。
加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。
浙教版七年级数学下册《专题02 二元一次方程组及其解法(知识点串讲)(解析版)》
浙教版七年级数学严选学习材料一线名师严选内容，逐一攻克☆基本概念、基本原理、基础技能一网打尽☆点拨策略思路，侧重策略指导，拓宽眼界思路☆专题02 二元一次方程组及其解法知识网络重难突破知识点一有关概念及应用1.二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
【典例1】（2019春•诸暨市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x+xy＝8B．y＝x﹣1C．x+＝2D．x2﹣2x+1＝0【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．【解析】解：A、含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，故本选项错误；B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故本选项正确；C、不是整式方程，故本选项错误；D、x含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．【变式训练】1．（2019春•余姚市校级月考）若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的值为﹣2．【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．【解析】解：根据二元一次方程的定义，得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，解得a＝﹣2．故答案是：﹣2．【点睛】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．2．（2019春•嘉兴期末）已知是二元一次方程mx+4y＝2的一个解，则代数式m﹣2n的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【点拨】把x与y代入方程计算，即可求出所求．【解析】解：把代入方程得：﹣2m+4n＝2，整理得：﹣2（m﹣2n）＝2，即m﹣2n＝﹣1，故选：C．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2019春•余姚市期末）下列各组数中，是二元一次方程2x﹣3y＝1的解的是（）A．B．C．D．【点拨】把x、y的值代入方程，看看左边和右边是否相等即可．【解析】解：A、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝﹣1，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；B、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项符合题意；C、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝﹣5，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；D、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝5，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键．知识点二二元一次方程组的解法常用方法：代入消元法、加减消元法解方程组的基本思想是“消元”，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
二元一次方程组及其解法
对二元一次方程组的理解应注意：
①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
例8.解方程组
一、选择题
1.下列各式中，是二元一次方程的是（）
A.4x－2π＝5B.3x＋5yC.2x－5y＝0D.2x－5＝y2
2.如果5x3m－2n－2yn－m+11＝0是二元一次方程，则（）
A.m＝1，n＝2B.m＝2，n＝1 C.m＝－1，n＝2D.m＝3，n＝4
3.如果是方程3x－ay＝7的一个解，那么a＝（）
二元一次方程组及其解法
知识要点
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
你能区分这些方程吗？（1）5x＋3y＝75；（2）3x＋1＝8x；（3）＋y＝2；（4）2xy＝9.
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：
①等号两边的代数式是整式；
②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；
解法2：
由①设x＝k，y＝2k，z＝7k，并代入②，得k＝1.
把k＝1，代入x＝k，得x＝1；
把k＝1，代入y＝2k，得y＝2；
把k＝1，代入z＝7k，得z＝7.
因此三元一次方程组的解为
小结：遇比例式找关系式，采用设元解法.
例4、解方程组
分析：
8 第八章二元一次方程组复习
③- ④得： y 2
∴原方程组的解是 x 4
y
2
七年级 数学
多媒体课件
方程组
5x 2y 24 ①
ax by 14
和
②
ax by 10 ③ 2x 5y 18 ④
有相同的解，求ａ和ｂ的值．
解：由① ④得 5x 2 y 24① 2x 5 y 18④
35y x 10 40( y 0.5) x
x 220
y
6
2.某中学组织初一学生春游,原计划租用 45座客车若干辆,但有15人没有座位;若 租用同样数量的60座客车,则多出了一辆 车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车 日租金为每辆220元, 60座客车日租金为 每辆300元,试问:(1)初一年级的人数是多 少?原计划租用45座客车多少辆?(2)若租 用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样 租用更合算?
你能列出方程（组）吗？
解：设牛x头，羊y只，依题意得：
5x 2 y 24 2x 5y 18
你会用两种方法解吗？ (1)代入法; (2)加减法.
七年级 数学
多媒体课件
5x 2 y 24 ① 2x 5y 18 ②
解：由① 得： y 12 5 x ③
2
2.二元一次方程的解: 使二元一次方程两边的值相等的两个未知 数的值,叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程组: 由两个一次方程组成,共有两个未知数的方 程组,叫做二元一次方程组.
四、知识应用
1.二元一次方程 2m+3n=11 ( C ) A.任何一对有理数都是它的解. B.只有两组解. C.只有两组正整数解. D.有负整数解. m=1，n=3； m=4，n=1.
完整版)二元一次方程组知识点及典型例题
完整版)二元一次方程组知识点及典型例题二元一次方程组小结与复一、知识梳理一）二元一次方程组的有关概念1.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2.二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3.方程组和方程组的解1) 方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
2) 方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4.二元一次方程组和二元一次方程组的解1) 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
2) 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
二）二元一次方程组的解法：1.代入消元法2.加减消元法二、典例剖析题型一1.二元一次方程及方程组的概念。
二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成ax+by+c=(a,b,c为已知数，且a≠0，b≠0)的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。
练1：下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？A) 6x-2=5z+6xB) m/11+yx=7C) x-yD) xy+2x+y=1练2：若方程(m-1)x+3y5n-9=4是关于x、y的二元一次方程，求mn的值。
练3：若方程(2m-6)x|n|-1+(n+2)ym-8=1是二元一次方程，则m=_______，n=__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。
一）代入消元法：1.直接代入例1：解方程组y=2x-3。
4x-3y=1.2.变形代入例2：解方程组x+y=90y=3x-75x+2y=8x=15-2y5x-y=9。
3x+4y=10.3.跟踪训练：1) {2x-y=-4。
4x-5y=-23.2) {3x+5y=13。
3x-2y=5.3) {3x+5y=20。
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法湖南李琳高明生一、概念步骤与方法：1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值.⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组．6.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：⑴设出题中的两个未知数；⑵找出题中的两个等量关系；⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；⑷解这个方程组，求出未知数的值.⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.注意：对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列出几个方程.即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等. 二、化归思想 所谓转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化等等．在解二元一次方程中主要体现在运用“加减”和“代入”等消元的方法，把新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决，它也是解二元一次方程最基本的思想．三、典型例题解析：类型一：基本概念：例1、（2005年盐城大纲）若一个二元一次方程的一个解为则21x y =⎧⎨=-⎩，，这个方程可以是________．（只要写出一个）分析：本题是一道开放型问题，考查方程的概念，满足题意的答案不惟一，解此类题目时，可以先设出系数在代入算出另一边的值。
专题5.1 二元一次方程组及其解法九大题型举一反三北师大版解析版
专题5.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】【北师大版】【题型1 二元一次方程（组）的概念】 (1)【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 (3)【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】 (6)【题型4 二元一次方程组的一般解法】 (8)【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】 (13)【题型6 构建二元一次方程组】 (15)【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 (17)【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】 (20)【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】 (22)【题型1 二元一次方程（组）的概念】【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（ ）①x−2y =3y +2z =7 ②1x+y =4y−2x =−1③3(x−4)−2x =1x−y =5 ④x 2−y 3=12x +3y =12 A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①②【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为_____．【答案】0【分析】根据二元一次方程的定义：有2个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，得出m的等量关系，解出答案即可．【详解】解：由题意得，m−2≠0，|m−1|=1，∴m≠2，m=2或0，∴m=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题的关键．【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：①2x−y3=1；②x2+3y=3；③x2−y2=4；④5(x+y)=7(x−y)；⑤2x2=3；⑥x+1y=1，其中是二元一次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2022春•开福区月考）已知方程组3x−(m−3)y |m−2|−2=1(m +1)x =−2是二元一次方程组，求m 的值．【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x 和y 的二元一次方程，2x +3y ＝20的正整数解有（ ）组．A ．1B ．2C ．3D ．4【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，则k的值是（）A．2B．-2C．3D．-3【答案】A【分析】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=14求解即可得到答案；【详解】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=14得到：2×2k+3k=14，即：7k=14，k=2，故选：A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解使该方程等号两边成立是解题的关键．【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a2x+by=-1的两组解是x=−2y=−1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）的值．【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组x+2y=a−33x−y=2a的下列说法中，错误的是（）A．当a=2时，方程的两根互为相反数B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍C．x，y满足关系式x−5y=6D．不存在自然数a使得x，y均为正整数∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识．【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组2x−ay=64x+y=7的解是整数，则整数a的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组mx−3y=92x−y=1无解，则m为（）A．9B．6C．−6D．−9【答案】B【分析】根据二元一次方程组无解的问题可直接进行求解．【详解】解：由mx−3y=9①2x−y=1②可得：①-②×3得：(m−6)x=6，∵二元一次方程组无解，∴m−6=0，解得：m=6；故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（）A．方程3x-4y=1可能无解B．方程3x-4y=1有无数组解，即xy可以取任何数值C．方程3x-4y=1只有两组解，两组解是x=1y=12,x=−1y=−1D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解【答案】D【分析】根据二元一次方程是不定方程，有无数组解；能使方程成立的x，y的数值即是方程的解．反之，则不是方程的解．【详解】解：A、方程3x-4y=1有无数组解，错误；B、方程3x-4y=1有无数组解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错误；C、方程3x-4y=1有无数组解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错误；D、x=3，y=2代入方程3x-4y=1，左边=1=右边，即x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解，正确．故选：D．【点睛】根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程；若不满足，则不是方程的解．关键是会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（）A．5个B．6个C．7个D．无数个【答案】C【分析】将x=0，1，2，…，分别代入2x+y=13，求出二元一次方程2x+y=13的非负整数解有多少组即可．【详解】当x=0时，y=13；当x=1时，y=11；当x=2时，y=9；当x=3时，y=7；当x=4时，y=5；当x=5时，y=3；当x=6时，y=1；当x=7时，y=-1＜0；∴二元一次方程2x+y=13的非负整数解有x=0y=13，x=1y=11，x=2y=9，x=3y=7，x=4y=5，x=5y=3，x=6y=1，共7组．故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为非负整数．【题型4 二元一次方程组的一般解法】【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组:(1)y=2x①3y+2x=8②(2)2x+3y=12①x−2y=−1②【答案】(1)x=1 y=2(2)x=3y=2【分析】（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得6x+2x=8，解得x的值，进而求得y的值即可（2）利用加减消元法，将方程②×2，得2x−4y=−2③，然后与方程①相减即可求得y的值进而将y的值代入方程②求得x的值即可．（1）解：y=2x①3y+2x=8②将①代入②，得6x+2x=8，解得x=1，将x=1代入①，得y=2，∴原方程组的解为x=1y=2；（2）解：2x+3y=12①x−2y=−1②②×2，得2x−4y=−2③①－③，得7y=14，解得y=2，将y=2代入②，得x−4=−1，解得x=3，∴原方程组的解为x=3y=2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键．【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组：(1)x+y=202x+y=38(2)x−y=33x−8y=14(3)用代入法解3x+4y=9x−3y=−10(4)用加减法解7x−2y=−408x−3y=−50【答案】(1)x=18 y=2(2)x=2y=−1(3)x=−1y=3(4)x=−4y=6【分析】（1）根据加减消元法求解即可；（2）根据加减消元法求解即可；（3）根据代入消元法的步骤求解即可；（4）根据加减消元法的步骤求解即可；（1）解：x+y=20①2x+y=38②，由②-①，得：x=18，将x=18代入①，得：18+y=20，解得：y=2，故原方程组的解为：x=18y=2；（2）解：x−y=3①3x−8y=14②由3×①-②，得：5y=−5，解得：y=−1，将y=−1代入①，得：x−(−1)=3，解得：x=2，故原方程组的解为：x=2y=−1；（3）解：3x+4y=9①x−3y=−10②由②得：x=3y−10③，将③代入①，得：3(3y−10)+4y=9，解得：y=3，将y=3代入③，得：x=3×3−10=−1，故原方程组的解为：x=−1y=3；（4）解：7x−2y=−40①8x−3y=−50②由3×①-2×②，得：5x=−20，解得：x=−4，将x=−4代入①，得：7×(−4)−2y=−40，解得：y=6，故原方程组的解为：x=−4y=6；【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解题关键．【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组(1)y=2x3y+2x=8；(2)x+3y=7x−3y=1；(3)x−3y=−22x+y=3；(4)m5−n2=22(m+n+5)−(−m+n)=23．【答案】(1)x=1 y=2(2)x=4y=1(3)x=1y=1(4)m=5n=−2【分析】（1）利用代入法解方程组；（2）利用加减法解方程组；（3）利用代入法解方程组；（4）先将方程组化简，再利用加减法解方程组．（1）解：y=2x①3y+2x=8②，将①代入②，得6x+2x=8，解得x=1，将x=1代入①，得y=2，∴方程组的解为x=1y=2；（2）x+3y=7①x−3y=1②，①+②得，2x=8，解得x=4，将x=4代入①，得4+3y=7，解得y=1，∴方程组的解为x =4y =1 ；（3）x−3y =−2①2x +y =3②，由①得，x =3y -2③，将③代入②得，2（3y-2）+y =3，解得y =1，将y =1代入③，得x =3-2=1，∴方程组的解为x =1y =1 ；（4）将原方程组化简为2m−5n =20①3m +n =13②，①+②×5，得17m =85，解得m =5，将m =5代入②，得15+n =13，解得n =-2，∴方程组的解为m =5n =−2 ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减法，并能根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组：(1)3x−y =55y−1=3x +10+7y =22x−y 6=−1【答案】(1)x =3y =4 (2)x =−5y =1【分析】（1）先整理方程组，再用加减消元法进行求解；（2）先整理方程，再用加减消元法进行求解．（1）解：整理得：3x−y=5①−3x+5y=11②①+②得：4y=16，y=4把y=4代入①得：3x-4=5 x=3∴原方程组的解为：x=3y=4．（2）解：整理得：x+7y=2①x+2y=−3②①-②得：5y=5y=1把y=1代入①得：x+7=2 x=-5∴原方程组的解为：x=−5y=1．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，正确地将方程组进行整理以及熟练掌握消元的思想是解题的关键．【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2y=3，那么关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m−n)=7b(m+n)+a(m−n)=9的解为_____．【变式5-1】（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x，y满足x+2y=5，且3x+7y=5m−32x+3y=8求m的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8再求m的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．乙同学：先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；丙同学：先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．【答案】我最欣赏乙同学的解法，m=4，理由见解析【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出m的值，分析简便的原因．【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，3x+7y=5m−3①2x+3y=8②，①+②得：5x+10y=5m+5，整理得：x+2y=m+1，代入x+2y=5得：m+1=5，解得：m=4，这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式5-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知关于x，y的方程组x−2y=8−k ，2x−y=4−5k的解满足x−y=10，则k的值为_____．【答案】−3【分析】把二元一次方程组中的两个方程相加即可求得x－y的值，然后利用x−y=10即可得出答案．【详解】x−2y=8−k2x−y=4−5k①②由①+②得3x−3y=12−6k，x−y=4−2k，∵x−y=10，∴4−2k=10，解得k=−3．【点睛】本题主要考查一元二次方程组解法中的加减消元思想，熟练掌握一元二次方程组的解法是解题的关键．【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组x-y-1=0①4（x-y）-y=5②.由①，得x－y＝1.③把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝0.∴原方程组的解为x=0 y=-1.这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：【题型6 构建二元一次方程组】【例6】（2019·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（）A．x=3，y=2B．x=2，y=3C．x=0，y=5D．x=5，y=0【答案】D【分析】根据相反数的意义可得关于x、y的二元一次方程，继而根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可.【详解】∵(x+y-5)2与│3y-2x+10│互为相反数，∴(x+y-5)2+│3y-2x+10│=0，∴x+y−5=03y−2x+10=0，解得x=5y=0，故选D.【点睛】本题考查了相反数的意义，非负数的性质，解二元一次方程组等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【变式6-1】（2022·吉林松原·七年级期中）已知y=kx+b，当x=2时，y=−3；当x=−1时，y=3．（1）求k，b的值；（2）当x取何值时，y的值为−4？【变式6-2】（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如1⊗3=2×1+3=5．（1）求4⊗(−3)的值；（2）若x⊗(−y)=−2，(2y)⊗x=−1，求x+y的值．【答案】（1）5；（2）x+y=−1【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；(2)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可.【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2×4+(−3)=8−3=5；故答案为：5.（2）根据题中的新定义化简得：{2x−y=−2x+4y=−1，两式相加得：3x+3y=−3，则x+y=−1．故答案为：−1.【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法.【变式6-3】（2022·山东聊城·七年级期中）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝________．a、b的运算a＋b a－b（a＋2b）3运算的结果59m【答案】27【分析】先根据表格得出方程组a+b=5a−b=9，求出方程组的解，再代入m=(a+2b)3求出m即可．【详解】解：根据题意得：a+b=5a−b=9，解得a=7b=−2，∴m=(a+2b)3=[7+2×(−2)]3=27；故答案为：27．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和代数式求值，理解题意并列出二元一次方程组求出a、b的值是解此题的关键．【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】【例7】（2022·广东揭阳·八年级期末）若关于x,y的二元一次方程组x+2y=5k+1x−y=2k−5的解满足x+y=7,则k的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用加减法，先用含k的代数式表示出x+y，根据x+y=7，得到关于k的一元一次方程，求解即可．【详解】解：x+2y=5k+1 （1）x−y=2k−5 （2）（1）×2+（2），得3x+3y=12k-3，∴x+y=4k-1，∴4k-1=7，解得k=2．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x+y．【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）关于x,y的方程组2x−3y=11−4m3x+2y=21−5m的解也是二元一次方程x+3y+7m=20的解，则m的值是( )A．2B．1C．0D．12【变式7-2】（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-y=4，求m的值．【答案】-12【变式7-3】（2022·四川·天府四中七年级期中）已知方程组x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x−y=1的一个解，则a=________________．【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】【例8】（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组3x−y=54ax+5by=−26与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，则a+b=______．【变式8-1】（2019·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组3x−y=6ax−by=2的正确解与乙求关于x、y的方程组3x+y=6bx−ay=20的正确的解相同．则a2018+(−110b)2018的值为_____.【变式8-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求a,b的值．【答案】a=5,b=−1【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案．【详解】3x+y=5①4x−5y=−6②，①×（-5）－②得，-19x=−19，解得x=1，把x=1代入①得，3+y=5，解得y=2，所以方程组3x+y=54x−5y=−6的解是x=1y=2，把x=1y=2代入方程组ax−2y=43x−by=5，得a−4=13−2b=5，解得a=5b=−1，故答案为：a=5,b=−1．【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组．【变式8-3】（2022·山东潍坊·七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组ax+by=m cx+dy=n与(a+1)x+(b+2)y=m+2(c+3)x+(d+4)y=n+5有相同的解，则这个解是_________．【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】【例9】（2022·四川·射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组cx−3y=−2ax+by=2，小明正确解得x=1y=−1，小文抄错了c，解得x=2y=−6，已知小文抄错了c外没有发生其他错误，则a−b−c＝______．【答案】7【分析】把x=1y=−1代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a与b的值，即可求出a−b−c的值．【详解】把x=1y=−1代入cx−3y=−2，得c+3=-2，解得：c=-5，把x=1y=−1与x=2y=−6分别代入ax+by=2，得a−b＝22a−6b＝2，【变式9-1】（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组3x+ay=13,①bx−3y=9.②甲因看错①中的a得解为x=6,y=7,乙因看错了②中的b解得x=1，y=5，求a，b的值.【答案】a=2，b=5.【分析】把x＝6，y＝7代入方程②可求出b，把x＝1，y＝5代入方程①可求出a.【详解】把x=6,y=7代入②，得6b−21=9，b=5．把x=1,y=5代入①，得3+5a=13，a=2.【点睛】本题考查了方程组解的定义，根据条件得到关于a，b的方程是关键．【变式9-2】（2019·江苏徐州·七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组2x+ay=6(1)bx−7y=16(2)，甲解得x=13y=7 ，乙解得x=9y=4.甲仅因为看错了方程(1)中y的系数a，乙仅因为看错了方程(2)中x的系数b，求方程组正确的解.【答案】{x=6 y=2.【分析】由题意可求出a与b的值，然后代回原方程组中即可求出方程组的解．【详解】解：根据题意可知：{13b−49=16 18+4a=6解得：{a=−3 b=5，把a=-3，b=5分别代入原方程组，得{2x−3y=6 5x−7y=16解得：{x=6 y=2.【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．【变式9-3】（2019·全国·八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方程组3x+□y=11,□x+2y=−2中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是x=1,y=2,则原来的方程组为____________.【答案】3x+4y=11,−6x+2y=−2【分析】设第一个方程中y的系数为a，第二个方程的x系数为b，把该方程组的解{x=1y=2代入原方程组，再来解关于a、b的方程组即可．【详解】设第一个方程中y的系数为a，第二个方程中x的系数为b，则原方程组可写成{3x+ay=11 bx+2y=−2，把{x=1y=2代入二元一次方程组{3x+ay=11bx+2y=−2，得{3+2a=11 b+4=−2，解得{a=4 b=−6所以原方程组为{3x+4y=11−6x+2y=−2.故答案为{3x+4y=11−6x+2y=−2.【点睛】本题要求同学们不仅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．。
《二元一次方程组的解法》课件—第一课时
4．写出方程组的解．
x+y=20 ①
1．解方程组
2x+4y=50 ②
解：由①得：y＝20－ x ③ 将③代入②得： 2ｘ＋4（20－ｘ）＝50 解得：ｘ＝15. 把ｘ＝15.代入③得：ｙ＝５ 所以原方程组的解为： x=15 y=5
2．解方程组
将y=2代入③，得x=5 所以原方程组的解是 x=5
y=2
将下列方程变形，用含一个未知数的代数式表
示另一个未知数．
(1) 3x - 4y = 1
(2) 6x - 2y + 7 = 0
y 1 (3x 1) 4
或 x 1 (1 4 y) 3
y 1 (6x 7) 2
或 x 1 (2 y 7) 6
把③代入②得：
5·1 2y -4y = 31
代
3
解这个方程，得
y= – ４
将y= – x=３
４代入③，得
求
所以
x =３
y = -４ 写
1．将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的式子 表示另一个未知数；
2．用这个式子代替另一个方 程中相应的未知数，得到一个 一元一次方程，求得一个未知 数的值；
将方程组中的一个方程的某一个未知数，用关于 另一未知数的代数式表示出来，然后将它代入到另一 个方程中，从而转化为解一元一次方程，方程组的这 种解法叫做代入消元法．简称代入法。
3x=1-2y 例1 解方程组 5x-4y=31
① ②
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
解：由①得：x = 1 2y ③ 变 3
x = y -1
2y – 3y + 3 = 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
二元一次方程组的概念及解法
知识点梳理
知识点一 二元一次方程组的概念
含有两个 未知数，并且含有未知数的相的次数都是 1，像这样的方
程叫做 二元一次方程。
把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组， 像这样的方程组
叫做二元一次方程组。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程
的解。
一般地， 二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组
的 解 。
典例分析
例 1、在方程组 、 、 、 、
、 中，是二元一次方程组的有 个；
例 2、已知二元一次方程 2x－y＝ 1，若 x＝ 2，则 y＝ ;若 y＝0，
则 x＝ ．
变式 1：方程 x＋ y＝2 的正整数解是 .
变式 2、在方程 3x－ay＝ 8 中，如果
么 a 的值为
x 3
是它的一个解，那
y
1