圆的切线与切点的性质
2.3、 圆的切线的性质及判定定理
即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线 只有一个公共点，因此l 是圆的切线．由此可得：
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
O
l
AB
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD.
∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线,
D C
A
O
B
P322
思考:切线的性质定理逆命题“经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线．”是否成立?
已知：点A是⊙O与直线l 的公共点,且 l ⊥OA .
求证：圆与直线只有一个公共点 证明：在l 上任取异于点A的点B,则△OAB是Rt△
而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,
C P321
∴OD//AC.
又∵∠DEC=90º ∴∠ODE=90º 又∵D在圆周上,
∴DE是⊙O是切线..E D NhomakorabeaB
A
O
三、 圆的切线的 性质及判定定理
O
r
l A MB
l
.O
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
l
AM
反证法
假设不垂直, 作OM⊥l
因“垂线段最 故OA>OM,
O
即短圆”心, 到直线距离小于半径.
这与线圆相切矛盾.
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所 以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切 点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线判定1.1 引入：通过实际问题引入圆的切线判定定理。
1.2 讲解：讲解圆的切线判定定理，即圆外一点与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
1.3 例题：讲解几个典型的圆的切线判定例题，让学生理解并掌握切线判定定理。
1.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线判定定理进行解答。
第二章：圆的切线性质2.1 引入：通过实际问题引入圆的切线性质。
2.2 讲解：讲解圆的切线性质，即切线与半径垂直，切线长度等于半径长度。
2.3 例题：讲解几个典型的圆的切线性质例题，让学生理解并掌握切线性质。
2.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线性质进行解答。
第三章：圆的切线方程3.1 引入：通过实际问题引入圆的切线方程。
3.2 讲解：讲解圆的切线方程的求法，即利用切点坐标和半径长度求解切线方程。
3.3 例题：讲解几个典型的圆的切线方程例题，让学生理解并掌握切线方程的求法。
3.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线方程进行解答。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 引入：通过实际问题引入圆的切线与圆的位置关系。
4.2 讲解：讲解圆的切线与圆的位置关系的判定方法，即切线与圆相切、相离、相交的判定。
4.3 例题：讲解几个典型的圆的切线与圆的位置关系例题，让学生理解并掌握切线与圆的位置关系的判定。
4.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线与圆的位置关系的判定进行解答。
第五章：圆的切线综合应用5.1 引入：通过实际问题引入圆的切线综合应用。
5.2 讲解：讲解圆的切线在实际问题中的应用，如求解几何问题、设计图案等。
5.3 例题：讲解几个典型的圆的切线综合应用例题，让学生理解并掌握切线在实际问题中的应用。
5.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线综合应用进行解答。
第六章：圆的切线与圆的切点6.1 引入：通过实际问题引入圆的切线与圆的切点。
6.2 讲解：讲解圆的切线与圆的切点的关系，即切线与圆的切点是切线与圆的唯一交点。
圆的切线有哪些性质(九年级上)
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圆的切线有哪些性质
答：圆的切线的性质包括切线的性质定理和它的两个推论．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
切线的性质主要有五个：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于经过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的．切线的判定定理和性质定理容易混淆，应该分清判定定理和性质定理的题设和结论，注意在什么情况下可以用切线的判定，在什么情况下可以用切线的性质．。
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解切线的定义和特点展示圆的切线示意图，让学生理解切线与圆的关系1.2 圆的切线判定条件讲解圆的切线的判定条件通过示例和练习，让学生掌握如何判断一条直线是否为圆的切线第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质介绍圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等展示切线性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质2.2 圆的切线定理讲解圆的切线定理，如切线定理、切线长定理等通过示例和练习，让学生掌握切线定理的应用和证明方法第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义和特点讲解圆的切线方程的定义和特点展示切线方程的示意图，让学生理解切线方程的形式和含义3.2 圆的切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程通过示例和练习，让学生掌握求解切线方程的方法和技巧第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切讲解圆的切线与圆相切的情况和特点展示切线与圆相切的示意图，让学生理解切线与圆的切点、切线与半径的关系4.2 圆的切线与圆相离讲解圆的切线与圆相离的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与圆的位置关系第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线与圆的切点应用讲解如何利用切点性质解决问题，如求解切线长度、切线与半径的关系等通过示例和练习，让学生掌握切点性质的应用方法5.2 圆的切线与圆的方程应用讲解如何利用切线方程解决问题，如求解切线方程、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线方程的应用方法第六章：圆的切线与圆的交点应用6.1 圆的切线与圆的交点性质讲解圆的切线与圆的交点的性质，如切线与圆的交点与圆心连线垂直、交点到圆心的距离等于半径等展示切线与圆的交点性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质6.2 圆的切线与圆的交点应用讲解如何利用切线与圆的交点解决问题，如求解交点坐标、判断交点与圆的关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的交点的应用方法第七章：圆的切线与圆的切线应用7.1 圆的切线与圆的切线相交讲解圆的切线与圆的切线相交的情况和特点展示切线与切线相交的示意图，让学生理解切线与切线的交点、切线与半径的关系7.2 圆的切线与圆的切线平行讲解圆的切线与圆的切线平行的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与切线的位置关系第八章：圆的切线与圆的切线综合应用8.1 圆的切线与圆的切线相切讲解圆的切线与圆的切线相切的情况和特点展示切线与切线相切的示意图，让学生理解切线与切线的切点、切线与半径的关系8.2 圆的切线与圆的切线综合应用讲解如何利用切线与切线综合解决问题，如求解切线与切线的交点、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与切线综合的应用方法第九章：圆的切线与圆的应用实例9.1 圆的切线与圆的切割应用实例讲解圆的切线与圆的切割应用实例，如切割线段、切割角度等展示切割应用实例的示意图，让学生理解切割原理和应用9.2 圆的切线与圆的轨迹应用实例讲解圆的切线与圆的轨迹应用实例，如轨迹方程、轨迹图形等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的轨迹的应用方法第十章：圆的切线综合练习10.1 圆的切线综合练习题提供一系列圆的切线综合练习题，让学生巩固所学知识通过解答练习题，让学生提高解题能力和综合运用能力10.2 圆的切线综合练习解答提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握解题方法通过练习解答，让学生巩固知识，提高学习效果重点和难点解析一、圆的切线定义和判定（第一章）重点关注内容：圆的切线的定义和特点，以及如何判断一条直线是否为圆的切线。
圆的切线性质与判定
圆的切线长等于圆外一点到圆心的距 离与圆的半径的差的平方根。
切点在圆上的位置关系
切点在圆周上，且切点与圆心的连线（即半径）与切线垂直 。
若两切线相交，则交点与圆心的连线平分两切线所夹的锐角 。
03
圆的切线判定方法
利用定义判定切线
切线的定义
直线与圆有唯一公共点，则该直线为 圆的切线。
判定方法
05
圆的切线性质与判定的应 用
在几何问题中的应用
切线与半径垂直
利用圆的切线性质，可以 解决与切线和半径垂直相 关的问题，如求角度、证 明线段相等或垂直等。
切线与弦的关系
通过判定切线与弦的位置 关系，可以解决与弦长、 弦心距等相关的几何问题 。
切线与割线的关系
根据切线与割线的性质， 可以推导出与割线长度、 割线与圆的交点等相关的 几何结论。
拓展相关应用领域
除了课堂学习外，我还将积极寻找和拓展圆的切线性质与判定在实际生活中的应用领域 ，如建筑设计、机械制造等。
加强跨学科学习
为了更好地理解和应用圆的切线性质与判定等知识点，我将加强跨学科学习，如数学、 物理、化学等学科的融合学习。这将有助于我形成更加完整和系统的知识体系。
感谢您的观看
THANKS
在实际问题中的应用
1 2 3
工程测量
在工程测量中，经常需要利用圆的切线性质来求 解距离、角度等问题，如道路设计、建筑物定位 等。
航海导航
在航海导航中，可以利用圆的切线性质来确定船 只的航向、距离等参数，实现安全、准确的航行 。
物理学中的应用
在物理学中，许多现象和问题可以通过圆的切线 性质进行建模和解决，如光的反射、折射等现象 。
帮助我更好地理解和掌握知识，但也存在一些不足，如缺乏主动性和创
圆的切线的性质及判定定理
圆的切线的性质及判定定理圆的相切的定义：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
直线与圆的位置关系：相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。
圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形的概念：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形的判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
方法总结：1、在解决与圆内接四边形有关的问题时，要注意观察图形，分清四边形的外角和内对角的位置，正确应用性质.2、当两圆相交时，常常通过连结两圆的公共弦，构建出圆内接四边形，进一步解决问题.圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦•一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角的特点：(1) 角的顶点在圆上；(2) 角的两边在圆内的部分是圆的弦.圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：A A A解题规律：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。
圆的切线的判定(教案)
圆的切线的判定(教案)第一章：圆的切线定义与性质1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解圆的切线是如何与圆相切的。
通过图形和实例，让学生理解圆的切线的特点。
1.2 圆的切线性质讲解圆的切线的性质，包括切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等。
提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。
第二章：圆的切线判定定理2.1 第一判定定理讲解第一判定定理，即如果一条直线与圆相切，这条直线的斜率等于过切点的半径的斜率。
提供定理的证明和相关的例题，让学生能够理解和应用。
2.2 第二判定定理讲解第二判定定理，即如果一条直线与圆相切，这条直线与圆的切点处的切线垂直于直线。
提供定理的证明和相关的例题，让学生能够理解和应用。
第三章：圆的切线方程3.1 切线方程的定义讲解切线方程的定义，即切线的一般式和点斜式。
引导学生理解切线方程与圆的切线的关系。
3.2 切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程，包括给定圆的方程和切点的坐标等。
提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 切线与圆相离讲解切线与圆相离的情况，即切线与圆没有交点。
提供相关的例题和练习题，让学生能够理解和应用。
4.2 切线与圆相切讲解切线与圆相切的情况，即切线与圆只有一个交点。
提供相关的例题和练习题，让学生能够理解和应用。
第五章：圆的切线综合应用5.1 切线与圆的交点问题讲解如何求解切线与圆的交点，包括切线与圆的方程联立等。
提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。
5.2 切线与圆的切点问题讲解如何求解切线与圆的切点，包括切线的斜率和切线方程等。
提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。
第六章：圆的切线与圆的性质6.1 切线与圆的切点性质讲解切线与圆的切点的性质，如切点处的切线与半径垂直。
提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。
6.2 切线与圆的切线性质讲解切线与圆的切线的性质，如切线与圆心连线垂直。
提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。
直线与圆的切线与切点知识点总结
直线与圆的切线与切点知识点总结直线与圆的切线与切点是几何学中重要的概念和知识点。
在本文中，我们将对直线与圆的切线、切点进行总结和归纳，以加深对这一概念的理解。
没有“小节一”、“小标题”之类的词语，但会分段和编号，以方便阅读。
1. 直线与圆的关系在几何学中，直线和圆是两个基本的图形元素。
直线是没有弧度的，而圆形则是一个完美的闭合曲线。
直线与圆之间的关系主要有以下三种情况：1.1 直线在圆的内部当直线与圆相交，并且直线的两个交点都在圆的内部时，直线与圆有两个交点。
此时，直线不是切线。
1.2 直线经过圆当直线与圆相交，并且直线穿过圆，即直线与圆有两个交点，但这两个交点中至少有一个在圆外时，这条直线称为圆的弦。
1.3 直线与圆相切当直线与圆相切时，即直线与圆只有一个交点，此时的交点称为切点，而直线称为切线。
2. 直线与圆的切线性质直线与圆的切线有一些重要的性质需要了解。
2.1 切线垂直于半径切线与圆的半径垂直。
这是因为在切点处，切线只与圆相切，不与圆内其他点相交。
而在任何一个点上，切线与圆的半径构成的角度均为90°，即切线与圆的半径垂直。
2.2 切点与半径的关系切点是切线与圆相切时的交点。
切点与圆心及切线的切点构成的线段构成一个直角三角形，其中切线就是直角边，半径就是斜边。
根据勾股定理可知，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。
所以，切点与圆心及切线切点构成的线段两段长度之积等于直径平方：|PC| × |PA| = |PB|²。
3. 直线与圆的切线构造方法在几何学中，有两种方法来构造直线与圆的切线。
3.1 以切点作圆心画切线这种方法是以切点为圆心，切点到圆的半径为半径，画一个圆。
然后，以圆心为点，切点到圆心的距离为半径，画一个圆弧与原圆相交于两个点。
连接这两个点与切点，即可得到切线。
3.2 以直线与圆心的交点画切线这种方法是以直线与圆心的交点为圆心，交点到圆心的距离为半径，画一个圆。
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圆的切线与切点的性质
圆是几何学中非常重要的一个概念，在我们的日常生活中也经常会遇到圆形物体。
而今天，我们将要探讨的是圆的切线与切点的性质。
一、切线的定义
在几何学中，切线是指与圆相切的直线。
具体而言，对于一个给定的圆，如果直线与圆相交于唯一一点，并且这个点在圆上，那么我们就称这条直线为该圆的切线。
二、切点的性质
切点是指切线和圆相交的点。
在圆的切线与切点的性质中，我们将会讨论三种特殊情况。
1. 切线与半径的关系
在圆的切线与切点的性质中，我们首先来看切线与半径的关系。
在任意一点，如果连接该点与圆心的线段，我们称之为半径。
根据几何学的定理，切线与半径所夹的角为直角。
这意味着切线与半径垂直相交。
2. 切线的切点位置
在给定的圆中，切线与圆相交的点是唯一确定的。
这是因为在圆任意一点画一直线，这条直线与圆相交的点的数量为两个。
但是，如果这条直线同时是圆的切线，那么与圆相交的点数量为一个，即切点。
所以可以得出结论，切线与圆最多只有一个切点。
3. 切线的斜率
切线的斜率是切线与圆相切点处的切线斜率。
对于一个给定的圆，
以及通过圆上的切点的切线，这条切线的斜率等于该切点处切线的斜
率的负倒数。
换句话说，如果切线的斜率为k，则该切点处切线的斜率为-1/k。
这是因为切线与半径垂直相交，斜率的乘积为-1。
综上所述，圆的切线与切点有着一些重要的性质。
首先，切线与半
径垂直相交，即切线与半径夹角为直角。
其次，一个圆和一条切线之
间最多只有一个切点。
最后，切线的斜率与该切点处切线的斜率满足
互为倒数的关系。
通过研究圆的切线与切点的性质，我们可以更好地理解圆的几何特性，并且在解决相关问题时能够更加灵活地运用这些性质。
因此，掌
握切线与切点的性质对于几何学的学习和应用具有重要的意义。
总结：圆的切线与切点是几何学中的重要概念，其性质包括切线与
半径垂直相交、一个圆最多只有一个切点以及切线斜率和切点处切线
斜率互为倒数。
通过研究和应用这些性质，我们能够更好地理解和应
用圆的几何特性。
对于几何学的学习和解决相关问题具有重要的帮助。