中考数学专题复习 四点共圆模型 含答案
2024年中考复习-专题13隐圆问题3种模型(解析版)
专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。
当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。
（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
隐圆常与线段最值结合考查。
类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC∠=︒，则ACB∠=AOB==，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若7035︒．如图，Rt ABCAB=．∠=︒，2BCA∆中，90∠=︒，30ABC（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA∠的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足45∠=︒且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，BQA若不存在，说明理由．【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB ∠=︒ ，35ACB ∴∠=︒，故答案为35︒．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，2AB =．4AC ∴=，60BAC ∠=︒，BC =．P 为Rt ABC ∆斜边AC 中点，122BP AC ∴==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，∴四边形ABPE 为菱形，60BAC ∠=︒ ，30BEA ∴∠=︒，//CF BD ，且90ABC ∠=︒，∴四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC ∴=+⨯=⨯⨯=（3）如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足45BQA ∠=︒且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH AD ⊥于H ，则90AHO OHG DQG ∠=∠=∠=︒，45OAH ∠=︒，30GDQ ∠=︒，90ABC ∠=︒ ，30BCA ∠=︒，2AB =，BC ∴=OA OB OQ ===1AH OH ∴==，33HG =，233OG =，3GQ ∴=，23DG GQ ==-，11AD AH HG GD ∴=++=++，1a ∴=+，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：11()112222S BF AD AB =⨯+⨯=⨯++-++⨯=+．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），AE 为ABD ∆的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM AC =；②180MDA DAB ∠+∠=︒；【类比探究】（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：12AE CF =，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动()AD AB >，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若4AB =，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS 证明ABE MDE ∆≅∆，可得AB DM =，再结合AB AC =，即可证得DM AC =；由全等三角形性质可得BAE DME ∠=∠，再运用平行线的判定和性质即可证得180MDA DAB ∠+∠=︒；（2）延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．利用SAS 证得ACF DMA ∆≅∆，可得CF AM =，再由12AE AM =，可证得12AE CF =；（3）延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得()ACF ABM SAS ∆≅∆，利用三角形中位线定理可得//AE BM ，即//AG BM ，利用直角三角形性质可得11222GP AC AB ===，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，可得BG '的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①AE 为ABD ∆的中线，BE DE ∴=，在ABE ∆和MDE ∆中，BE DE AEB MED AE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE MDE SAS ∴∆≅∆，AB DM ∴=，AB AC = ，DM AC ∴=；②由①知ABE MDE ∆≅∆，BAE DME ∴∠=∠，//AB DM ∴，180MDA DAB ∴∠+∠=︒；（2）证明：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM．由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，360DAF BAC BAD CAF ∠+∠+∠+∠=︒，180BAD CAF ∴∠+∠=︒，由（1）②得：180MDA DAB ∠+∠=︒，DM AB AC ==，CAF MDA ∴∠=∠，在ACF ∆和DMA ∆中，AF AD CAF MDA AC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF DMA SAS ∴∆≅∆，CF AM ∴=，12AE AM = ，12AE CF ∴=；（3）如图3，延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，AF AM ∴=，1809090MAF ∠=︒-︒=︒，90BAC ∠=︒ ，MAF CAM BAC CAM ∴∠+∠=∠+∠，即CAF BAM ∠=∠，在ACF ∆和ABM ∆中，AC AB CAF BAM AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ABM SAS ∴∆≅∆，AFC AMB ∴∠=∠，即AFN KMN ∠=∠，ANF KNM ∠=∠ ，90FAN MKN ∴∠=∠=︒，BM CF ∴⊥，E 、A 分别是DB 、DM 的中点，AE ∴是BDM ∆的中位线，//AE BM ∴，即//AG BM ，AG CF ∴⊥，90AGC ∴∠=︒，点P 是AC 的中点，11222GP AC AB ∴===，∴点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，BG ∴'的长为BG 的最大值，在Rt ABP ∆中，BP ==2BG BP PG ∴'=+'=+，BG ∴的最大值为2+．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线23(0)2y ax bx a =+->与x 轴交于点A ，B 两点，OA OB <，4AB =．其顶点C 的横坐标为1-．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D 在抛物线第一象限的图象上，DE AC ⊥垂足为E ，//DF y 轴交直线AC 于点F ，当DEF ∆面积等于4时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B 运动到达点C ，FM FN ⊥交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为N ，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P 经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A 和B 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明CGA ∆和DEF ∆都为等腰直角三角形，利用等面积法求得4DF =，再求得直线AC 的解析式为1y x =-，设点D 的坐标，得到点F 的坐标，然后求解即可；（3）先求得45BDF ∠=︒，推出点P 的运动路径时11H N 的中点绕点F 逆时针旋转90︒得到2N H 的中点之间的弧长，证明四边形2DN FE 为正方形，即可求解．【解答】解：（1） 点A ，点B 两点关于直线1x =-对称，4AB =，(1,0)A ∴，(3,0)B -，代入232y ax bx =+-得，30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．（2）如图1所示：//DF y 轴//GC ，GCA DFE ∴∠=∠，抛物线的解析式为22131(1)2222y x x x =+-=+-，∴顶点(1,2)C --，(1,0)A ，2AG ∴=，2CG =，CGA ∴∆为等腰直角三角形，45GCA DFE ∴∠=∠=︒，DE AC ⊥ ，DEF ∴∆为等腰直角三角形，DE EF ∴=，DF =，142DEF S DE EF ∆=⋅= ，DE ∴=，4DF ∴==，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =-，设点213(,22D x x x +-，则(,1)F x x -，221311(1)42222DF x x x x ∴=+---=-=，解得：3x =或3x =-（舍)，(3,6)D ∴，(3,2)F ．（3）如图2所示，NFH ∆ 是直角三角形，NFH ∴∆的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△11N FH ，其外心是斜边11H N 的中点，当点M 位于点C 时，得△2N FE ，其外心是斜边22N H 的中点，即2N E 的中点，(3,6)D ，(3,0)B -，33tan 16BDF +∴∠==，45BDF ∴∠=︒，由（2）得，45FDE ∠=︒，45DBA BAC ∴∠=∠=︒，//BD AC ∴，FN BD ∴⊥，DF ∴平分BDE ∠，90BDE ∠=︒，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在2N E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．2290DN F N DH DHF ∠=∠=∠=︒ ，2FN FE =，∴四边形2DN FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且2EP =；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为2P ，且222FP EP ==，由题意，224BN BD DN =-=，BF =2N F =，21//FN DH ，2BFN ∴∆∽△1BH D ，∴21BN BF BD BH =，解得1FH =，1FP ∴=，由勾股定理可得：121P P =，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC=，求BDC∆外一点，且AD AC∠的度数．若∆中，AB AC=，80BAC∠=︒，D是ABC以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=40︒．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）问题拓展：抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ，点P 在抛物线上，直线//PQ BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．①若含45︒角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，求Q 的坐标；②若含30︒角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，点D 与点B ，点Q 不重合，求点P 的坐标．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D 、C 、Q 、E 共圆，得出45CQB OED ∠=∠=︒，求出CQ ，再求点Q 的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，Ⅱ、当60︒的角的顶点与点C 重合时，运用点D 、C 、Q 、E 共圆，求出CQ 即点P 的横坐标，再代入抛物线求出点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1402BDC BAC ∴∠=∠=︒，（2）如图2，90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）①如图3点B 为抛物线21(1)34y x =--+的顶点，∴点B 的坐标为(1,3)，45︒ 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，45CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==，4OQ ∴=，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板30︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，60CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==1OQ ∴=+，∴把1+代入21(1)34y x =--+得94y =，∴点P 的坐标是(1+94Ⅱ、如图5，当60︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板60︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，30CQB CED ∴∠=∠=︒，CQ ∴==，1OQ ∴=+∴把1+21(1)34y x =--+得154y =-，∴点P 的坐标是(1+，154-综上所述，点P 的坐标是(1+94或(1+15)4-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积为问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，BC =，求ABC ∆的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作ABC ∆的外接圆O ，可知点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，求出A H '的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而O 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD BC ⊥于D ，ABC ∆ 是边长为2的等边三角形，1BD ∴=，AD ∴==ABC ∴∆的面积为122⨯=；（2）作ABC ∆的外接圆O ，120BAC ∠=︒ ，BC =，∴点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，60BOA '∴∠=︒，33BH CH ==，3OH ∴=，6OB =，633A H OA OH ''∴=-=-=，ABC ∴∆的最大面积为133932⨯=（3）存在，以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，20AB = 米，10AH OH ∴==米，2OA =米，24BC = 米，14OG ∴=米，10214> ，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，O ∴ 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，10EF OH ∴==米，1102OM =114EM ∴=米，22112OE OM M E ∴-=米，18CM BF ∴==米，同理210212CM BH OE =+=+=（米)，MC ∴的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC ∆为等腰三角形，120C ∠=︒，8AC BC ==，D 是AB 上一点，且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为4．问题探究：（2）如图②，ABC ∆中，120C ∠=︒，10AB =，试分析和判断ABC ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足600BC =米，300CD =米，60C ∠=︒，60A ∠=︒，主办方打算过BC 的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME （宽度忽略不计）其中点E （出口）为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，CD 是ABC ∆的中线，利用等腰三角形的性质推出CD AB ⊥，利用三角函数求解即可解决问题；（2）当ABC ∆的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；（3）连接DM ，BD ．首先证明90BDC ∠=︒，求出BD ，推出BDC ∆的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ABD ∆的面积最大即可，因为BD 为定值，A ∠为定角60=︒，推出当ABD ∆是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出90MDE ∠=︒，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图①，CD 平分ABC ∆的面积，AD DB ∴=，8AC BC == ，CD AB ∴⊥，1602ACD BCD ACB ∠=∠=∠=︒，cos 8cos 604CD AC ACD ∴=∠=︒=，CD ∴的长度为4，故答案为：4；（2）存在．如图②，10AB = ，120ACB ∠=︒都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在 AB 的中点时，ABC ∆的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD AB ⊥，152AD BD AB ===，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴tan AD ACD CD ∠=，53tan 603AD CD ==︒，∴125323ABC S AB CD ∆=⋅=，答：ABC ∆（3）存在．如图③，连接DM ，BD ，M 是BC 的中点，13002CM BC ∴==，CM CD ∴=，又60C ∠=︒ ，CMD ∴∆是等边三角形，60MDC CMD ∴∠=∠=︒，CM DM BM ==，30CBD MDB ∴∠=∠=︒，90BDC ∴∠=︒，tan 60BD CD ∴=⋅︒=米，在ABD ∆中，BD =60A ∠=︒为定值，由（2）可知当AB AD =时，即ABD ∆为等边三角形时ABD ∆的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(BDC ∆的面积不变），21330024max BDC BDA S S S ∆∆=+=⨯⨯=；ABD ∆ 是等边三角形，60ADB ∴∠=︒，90ADM ADB BDM ∴∠=∠+∠=︒，由12EMD CDM max S S S ∆∆+=，得：21130030022DE ⨯+=⨯解得：DE =，AE AD DE ∴=-==)，答：点A 距出口的距离AE 的长为米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使30APB ∠=︒的点P 有无数个；（2）若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】（1）已知点A 、点B 是定点，要使30APB ∠=︒，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60︒即可，显然符合条件的点P 有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是（1）中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要APB ∠最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得APB ∠最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作C ，交y 轴于点1P 、2P ．在优弧1APB 上任取一点P ，如图1，则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒．∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图1．点(1,0)A ，点(5,0)B ，1OA ∴=，5OB =．4AB ∴=．点C 为圆心，CG AB ⊥，122AG BG AB ∴===．3OG OA AG ∴=+=．ABC ∆ 是等边三角形，4AC BC AB ∴===．CG ∴===∴点C 的坐标为(3，．过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接2CP ，如图1，点C 的坐标为(3，，3CD ∴=，OD =1P 、2P 是C 与y 轴的交点，1230APB AP B ∴∠=∠=︒．24CP CA == ，3CD =，2DP ∴== 点C 为圆心，12CD PP ⊥，12PD P D ∴==2(0P ∴，-．1(0P ，+．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：3(0,P -．4(0,P -．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：(0，-、(0，、(0,--、(0,-+．（3）当过点A 、B 的E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大．理由：可证：APB AEH ∠=∠，当APB ∠最大时，AEH ∠最大．由2sin AEH AE∠=得：当AE 最小即PE 最小时，AEH ∠最大．所以当圆与y 轴相切时，APB ∠最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图2．E 与y 轴相切于点P ，PE OP ∴⊥．EH AB ⊥ ，OP OH ⊥，90EPO POH EHO ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形OPEH 是矩形．OP EH ∴=，3PE OH ==．3EA ∴=．90EHA ∠=︒ ，2AH =，3EA =，EH ∴===OP ∴P ∴．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：(0,P ．理由：①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M （不与点P 重合），连接MA ，MB ，交E 于点N ，连接NA ，如图2所示．ANB ∠ 是AMN ∆的外角，ANB AMB ∴∠>∠．APB ANB ∠=∠ ，APB AMB ∴∠>∠．②若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB ∠>∠．综上所述：当点P 在y 轴上移动时，APB ∠有最大值，此时点P 的坐标为和(0,．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知ABC∆内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）:如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ====，（依据1)点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒．（依据2)又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠．同上可得点B，D，P，E四点共圆，⋯⋯任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点P是 BC的中点时，BD CF=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明180FEP DEP∠+∠=︒，可证明结论；（3）连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt PBD Rt PCF∆≅∆，从而得出结论．【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；（2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ ====，∴点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒，又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠，同上可得点B，D，P，E四点共圆，DBP DEP∴∠=∠，180ABP DBP∠+∠=︒，180FEP DEP∴∠+∠=︒，∴点D，E，F在同一直线上；（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，点P 是 BC的中点，∴ BPPC =，BP PC ∴=，PAD PAC ∠=∠，又PD AD ⊥ ，PF AC ⊥，PD PF ∴=，Rt PBD Rt PCF(HL)∴∆≅∆，BD CF ∴=．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt PBD Rt PCF ∆≅∆是解题的关键．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=45︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）根据正方形的性质可得AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得12∠=∠，利用“SAS ”证明ADG ∆和CDG ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得23∠=∠，从而得到13∠=∠，然后求出90AHB ∠=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得112OH AB ==，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒ ，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD ===，根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-=．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆 AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B 在直线l 上，过点B 构建等腰直角三角形ABC ，使90BAC ∠=︒，且AB AC =，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，连接AD ．（1）小亮在研究这个图形时发现，90BAC BDC ∠=∠=︒，点A ，D 应该在以BC 为直径的圆上，则ADB ∠的度数为45︒，将射线AD 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ，可求出线段AD ，BD ，CD 的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC 绕点B 在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD ，BD ，CD 的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD 长为1，当ABD ∆面积取得最大值时，请直接写AD 的长．【分析】（1）由90BAC ∠=︒，且AB AC =，可得45ACB ABC ∠=∠=︒，由90BAC BDC ∠=∠=︒，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，所以45ADB ACB ∠=∠=︒；由题意知EAB DAC ∆≅∆，所以BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，可知ADE ∆是等腰直角三角形，推出2CD DB EB BD DE +=+==；（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ．易证()EAB DAC SAS ∆≅∆，则BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，所以ADE ∆是等腰直角三角形，则2DE =，由BD CD BD BE DE -=-=，推出BD CD-=；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ABD∆的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．=，，且AB AC∠=︒90BACACB ABC∴∠=∠=︒，45，∠=∠=︒90BAC BDC∴、B、C、D四点共圆，A∴∠=∠=︒；45ADB ACB②由题意可知，90∠=∠=︒，EAD BAC∴∠=∠，EAB DAC又AE AD=，AB AC=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DE，+=+=CD DB EB BD DE∴+=；CD DB故答案为45︒，CD DB+=；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD CD-=．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90︒交直线l于点E．则90∠=∠=︒，DAE CAB∴∠=∠，DAC EAB又AD AE=，AC AB=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，2DE，-=-=BD CD BD BE DE∴-=；2BD CD（3）由（2）知，CDA BEA∆≅∆，∴∠=∠，CDA AEB，∠=︒DEA45∴∠=︒-︒=︒，AEB18045135∴∠=∠=︒，135CDA AEB∴∠+∠=︒+︒=︒，13545180CDA ABC∴、B、C、D四点共圆，A于是作A、B、C、D外接圆O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ABD∆的面积最大．作DG AB ⊥，则DG 平分ADB ∠，DB DA =，在DA 上截取一点H ，使得1CD DH ==，45ADB ACB ∠=∠=︒ ，22.5GDB ∴∠=︒，67.5DBG ∠=︒，67.54522.5DBC ∴∠=︒-︒=︒，4522.522.5HCB DHC HBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，HCB HBC ∴∠=∠，HB CH ∴==，1AD BD DH BH ∴==+=．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
圆锥曲线综合压轴,点轨迹、共线、四点共圆问题,含详细参考答案
圆锥曲线综合(一)1.交轨法2.三点共线3.四点共圆4.定值问题典型例题例1双曲线12222=-by a x 的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.例2抛物线)0(22>=p px y ，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，过O 作OP ⊥AB 交AB 于P ，求P 点轨迹方程.例3已知抛物线：x y 42=焦点为F ，过点K(-1，0)的直线l 与C 交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，证明点F 在直线BD 上.例4已知椭圆在焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率为52，过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m ，0)是线段OF 上的一个动点，且→→→⊥+AB MB MA )(，求m 的取值范围.(3)设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由.例5已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：1222=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足→→→→=++0OP OB OA (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.例6设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的中垂线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？例7已知椭圆1422=+y x 的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心离为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直接AP 与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C 的方程；(2)设P 、T 两点的横坐标分别为x 1、x 2,证明：x 1x 2=1例8已知椭圆E:)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点为F 1(3-,0),而且过点H(213，)(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1、A 2,P 是椭圆上异于A 1、A 2的任一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值.练习1已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y a x 的右焦点，点M(m ,0)、N(0,n )分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0NF MN =⋅→→，若点P 满足→→→+=POON 2OM (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x=-a 分别交于点S 、T(O 为坐标原点)，试判断→→⋅FT FS 是否为定值？若是求出这个定值；若不是，说明理由.参考答案例1设点P(00,y x ),Q(x,y ),易知A 1(-a ,0)、A 2(a ,0),由已知可得10000-=+-⋅+-a x y a x y ①10000-=--⋅--ax y a x y ②，由①②可得ya x y x x 2200,-=-=，而P(00,y x )在双曲线上，代入可得42222a y b x a =-(a x ±≠)例2设P(x,y ),A(11,y x ),B(22,y x ),设直线AB 的解析式为x=my+b ,与抛物线联立得0222=--pb mpy y 得pb y y mp y y 2,22121-==+，222221214b py y x x ==，而OA ⊥OB 得02121=+y y x x 可得b =2p ，OP ⊥AB 得1100-=⋅--m x y 得x y m -=,P 在直线AB 上，代入可得p y xy x 2+⋅-=即222)(p y p x =+-；另法：由b=2p 知直线AB 过定点M(2p,0),△OMP 为直角三角形，OM=2p ，故点P 在以OM 为直径的圆上，故P 点的轨迹方程为222)(p y p x =+-例3设A(11,y x )、B(22,y x )设直线AB 的方程为)1(+=x k y ，与抛物线联立得0)42(222=+-+k x k x k 得1,2421221=-=+x x k x x ，易知D(11,y x -),,4414121211111--=--=--=y y y y x y k DF 441411412111111221--=-=-=-=y y x y x x y x y k BF BF DF k k =，故F 在BD 上例4(1)1522=+y x ；(2)设直线AB 解析式为)2(-=x k y 与椭圆联立得052020)51(222=-+-+k x k x k 得2221222151520,5120k k x x k k x x +-=+=+，))4(,2(),2(MB MA 21212121-+-+=+-+=+→→x x k m x x y y m x x ，))(,(),(AB 12121212x x k x x y y x x --=--=→，故0)]4(2)[())(4())(2()(2122112122121221=-++-+-=--++--+=⋅+→→→x x k m x x x x x x x x k x x m x x AB MB MA 得0582>-=m m k 得580<<m (3)易知C(11,y x -),直线BC 的方程为)(112211x x x x y y y y --+=+，令y=0，则254)2)(()4()]2()[()(211121211121211121=-+--+=-+--+=+-+=x x x x x x x x k x k x x x y y y x x x x ，故点N(25,0)例5(1)设A(11,y x ),B(22,y x )直线AB 方程为12+-=x y 与椭圆联立得012242=--x x ，1,222121=+=+y y x x 得P(122--),代入验证可知点P 在椭圆上；(2)易知点Q(122，),AB 的中垂线为4122+=x y ，PQ 的中垂线为+-=x y 22，两直线的交点为M(8182，-),而易验证MA=MQ,故A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上例6(1)设A(11,y x ),B(22,y x ),则有12,1222222121=-=-y x y x 两式相减得1221212121=++⋅=--y y x x x x y y 故直线AB 的方程为1+=x y (2)易知A(-1,0),B(3,4),AB 的中垂线为3+-=x y ，与双曲线联立得01162=-+x x ,CD 的中点为M(-3,6),CD=410,MA=MB=210,故A 、B 、C 、D 四点共圆例7(1)1422=-y x (2)P(11,y x ),T(22,y x ),设直线PT 方程为)1(+=x k y 与双曲线联立得0)4(2)4(222=+---k kx x k 得22144k k x -+=，同理与椭圆联立得042)4(2222=-+-+k x k x k 得22144kk x +-=，故121=x x 例8(1)1422=+y x (2)设P(00,y x ),A 1P 方程为1100+-=x x y y 可得N(100--y x ,0),同理A 2P 方程为1100-+=x x y y ，M(0100，+y x )由切割线定理得OT 2=OM ·ON=411120200000=-=+--y x y x y x ，故OT=2练习1(1)设点P(y x ,),易知,0),)(,(=--n a n m 即有02=+ma n ，同时m =),(),0(2y x n --+即有y n x m =-=2,代入得axy 42=(2)设A(11,y x ),B(22,y x ),直线AB 的解析式为a my x +=联立得04422=--a amy y ，221214,4a y y am y y -==+，可知OA 方程为1114y ax x x y y ==得S(124,y a a --)；同理OB 方程为2224y ax x x y y ==,T(224,y a a --),044164)4,2)(4,2(FT FS 2221222212=-=+=----=⋅→→a a y y a a y a a y a a。
2024年中考数学复习 圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型(原卷+答案解析)
圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。
它亦是该多边形内部最大的圆形。
内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
【常见模型及结论】1)三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O 为三角形ABC 的内切圆(即O 为三角形ABC 的内心)，⊙O 的半径为r 。
结论：①点O 到三角形ABC 的三边距离相等；②∠BOC =90°+12∠BAC ；③r =2S ΔABC C ΔABC。
图1图2图32)直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O 为Rt ΔABC 的内切圆(即O 为三角形ABC 的内心)，⊙O 的半径为r 。
结论：①点O 到三角形ABC 的三边距离相等；②∠BOC =90°+12∠BAC ；③r =AC +BC -AB2；3)四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆。
结论：AB +CD =AD +BC 。
1(2023·黑龙江鸡西·校考三模)如图，在△ABC 中，∠A =80°，半径为3cm 的⊙O 是△ABC 的内切圆，连接OB ,OC ，分别交⊙O 于D ，E 两点，则DE的长为．(结果用含π的式子表示)2(2022秋·安徽·九年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB =BC ，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，P 是△ABC 内一点，且∠BPC =108°，连接CP 交BD 于点E ，若点P 恰好为△ABE 内心，则∠PEB 的度数为()A.36°B.48°C.60°D.72°3(2023秋·河南漯河·九年级统考期末)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是．4(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，点O是△ABC的内心，∠A=60°，OB=3，OC=6，BC= 37，则⊙O的半径为．5(2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习)如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若AD=3，BC= 6，则AB+CD的值是．6(2023·成都市九年级期中)如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB=18cm，BC=20cm，AC=12cm，MN切⊙O交AB于M，交BC于N，则△BMN的周长为()A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm7(2023·四川宜宾·九年级专题练习)如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M(3，1)与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA=MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1=3-1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，⋯，按此规律，则⊙O2014的半径r2014=．内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD=()A.4+23B.3+33C.3+43D.5+23模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
初中数学共圆问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题(含解析汇报)
适用文档初中数学共圆问题提升练习与常考难题和培优题压轴题(含分析 )问题研究：一个班级的学生正在做投圈游戏，他们呈“一〞字型排开，这样的队形对每一个人公正吗？你以为他们应该排成什么样的队形？如何排？四点共圆是平面几何证题中一个十分有益的工具，四点共圆这种问题一般有以下两种形式：（1〕证明某四点共圆或许以四点共圆为根基证明假定干点共圆；（2〕经过某四点共圆获得一些重要结论，从而解决问题下边给出与四点共圆相关的一些根本知识（1〕假定干个点与某定点的距离相等，那么这些点在一个圆上；（2〕在假定干个点中有两点，其余点对这两点所成线段的视角均为直角，那么这些点共圆；（3〕假定四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，那么这四点共圆；〔 4〕假定点 C、D在线段 AB 的同侧，且ACB ADB ，那么 A、B、C、D 四点共圆；〔 5〕假定线段 AB、CD 交于 E 点，且 AE EB CE ED ，那么 A、B、C、D 四点共圆；〔 6〕假定订交线段 PA、 PB 上各有一点 C、 D ，且 PA PC PB PD ，那么 A、B、 C、 D 四点共圆。
四点共圆问题不只是平面几何中的重要问题，并且是直线形和圆之间胸怀关系或许地点关系互相转变的媒介。
1．如图，把直角三角板的直角极点O 放在损坏玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 M、 N，量得 OM=8cm，ON=6cm，那么该圆玻璃镜的半径是〔〕A．cm B． 5cm C．6cm D．10cm2．正方形的四个极点和它的中心共 5 个点能确立个不一样的圆．3．如图，假定AD、 BE 为△ ABC 的两条角均分线， I 为心里，假定C，D，I，E 四点共圆，且文案大全4．如图，在△ ABC 中， AD，BE 分别是∠ A，∠ B 的角均分线， O 是 AD 与 BE 的交点，假定C， D， O，E 四点共圆， DE=3，那么△ ODE的内切圆半径为．5．如图， A， B， C， D 四点共圆，且 AC=BC．求证： DC均分∠ BDE．6．如图， BD，AH 分别是△ ABC的高，求证： A、B、H、D 四点共圆．7．等腰梯形 ABCD中， AD∥BC，求证： A， B， C， D 四个极点共圆．9．以下列图， I 为△ ABC的心里，求证：△ BIC的外心 O 与 A、 B、 C 四点共圆．10．如图，在△ ABC中， AD⊥BC， DE⊥AB，DF⊥ AC．求证： B、 E、F、C 四点共圆．11．O 和 H 分别是△ ABC的外心和垂心，假定∠ BAC=60°，求证： B、 0、 H、 C 的共圆．12．如图， AB 为⊙ O 直径， BF⊥AB，E 为 BF 上一点， AE 和 AF 交⊙ O 于 C 和 D，求证： C、D、 F、 E 四点共圆．13．如图，在△ ABC中， AB=AC，延伸 CA 到 P，延伸 AB 到 Q，使 AP=BQ，求证：△ ABC的外心 O 与 A，P， Q 四点共圆．14．如图，点 F 是△ ABC 外接圆的中点，点D、E 在边 AC 上，使得 AD=AB，BE=EC．证明： B、E、D、F 四点共圆．15．如图，点 E，F 分别在线段 AC，BC 上运动〔不与端点重合〕，并且 CE=BF，O 是△ ABC 的外心，证明 C，E， O，F 四点共圆．16．设△ ADE内接于圆 O，弦 BC分别交 AD、 AE边于点 F、 G，且 AB=AC，求证： F、D、E、G四点共圆．参照答案1．〔 2021?常州〕如图，把直角三角板的直角极点O 放在损坏玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 M 、N，量得 OM=8cm ， ON=6cm，那么该圆玻璃镜的半径是〔〕A．cm B． 5cm C． 6cm D． 10cm【解答】解：如图，连结MN，∵∠ O=90°，∴ MN 是直径，又OM=8cm ， ON=6cm，∴ MN===10〔 cm〕．∴该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm ．应选： B．2．〔 2006?黄石〕正方形的四个极点和它的中心共 5 个点能确立5个不一样的圆．【解答】解：正方形的四个极点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点能够确立一个圆，正方形有四条边，因此有四个圆；而正方形的四个极点都在以中心为圆心的圆上，因此能确立 5 个不一样的圆．3．如图，假定 AD、 BE 为△ ABC 的两条角均分线，I 为心里，假定C， D， I， E 四点共圆，且DE=1，那么ID=．【解答】解：连结CI，∵ AD、 BE为△ ABC的两条角均分线，∴∠ BAI=∠ BAC，∠ IBA=∠ ABC，∵∠ AIB=180°﹣∠ BAI﹣∠ IBA，∴∠ AIB=180°﹣〔∠ CAB+∠ CBA〕，又∵∠ ABC+∠ CBA+∠ ACB=180°，∴∠ AIB=90°+∠ C，∵ C，D，I，E四点共圆，∴∠EID+∠ ACB=180°，又∵∠ AIB=∠ EID，∴ 90°+∠ C+∠ C=180°，∴∠ ACB=60°，∵ I 为心里，∴∠ICD=30°，∵ DE=1，∴=2R，∴ R=，∴，∴ ID=，故答案为：．4．〔 2005?温州校级自主招生〕如图，在△ABC 中， AD， BE 分别是∠ A，∠ B 的角均分线， O 是 AD 与 BE的交点，假定C，D， O， E 四点共圆， DE=3，那么△ ODE的内切圆半径为3﹣．文案大全【解答】解：作 OF⊥ ED 于点 F，∵ AD，BE 分别是∠ A，∠ B 的角均分线，∴∠AOB=90°+ ∠C， CO均分∠ ACB，又∵∠ DOE=∠ AOB，∠ DOE+∠ C=180°，∴∠ C=60°，∠ DOE=∠ AOB=120°，又∵ OD=OE，∴∠ OED=∠ ODE=30°，∴ FD=，tan30°==，∴ FO=，OD=OE=，∴△ ODE的周长为： 2+3，∴△ ODE的面积为：× 3×=，∴△ ODE的内切圆半径为=3﹣．故答案为：3﹣．5．如图，A， B，C，D 四点共圆，且AC=BC．求证： DC均分∠ BDE．【解答】证明：∵ A， B， C， D 四点共圆，∴∠2=∠1，∠ 3=∠ ABC，∵ AC=BC，∴∠ 1=∠ ABC，∴∠ 2=∠ 3，∴ DC均分∠ BDE．6．如图， BD， AH 分别是△ ABC 的高，求证： A、 B、 H、 D 四点共圆．【解答】证明：取AB 的中点 O，连结 DO、 HO，∵ BD， AH 分别是△ ABC的高，∴△ DAB 和△ HAB 都是直角三角形，且它们的斜边都是AB，∵点 O 为斜边中点，∴ DO=HO= AB=AO=BO，也就是说，点D、H、 B 在以 O 为圆心、 OA 为半径的圆上，即点 D、 H、 B、A 都在以 O 为圆心、以OA 为半径的圆上，故可得：A、 B、H、 D 四点共圆．7．等腰梯形ABCD中， AD∥ BC，求证： A， B， C，D 四个极点共圆．【解答】证明：如图：∵ABCD是等腰梯形，且AD∥ BC，∴∠ A=∠ D，∠ B=∠ C，∠ A+∠ B=180°．∴∠ A+∠ C=∠B+∠ D=180°．依据对角互补的四边形是圆的内接四边形，因此A，B， C， D 四点共圆．8．如图，四边形ABCD中，∠ B=∠ D=90°，点 E 为 AC 的中点，那么A， B，C， D 四点共圆吗？【解答】解： A， B， C，D 四点共圆，原因以下：连结DE．∵在 Rt△ ABC 中，∠ ABC=90°，点 E 为 AC的中点，∴ EB=EA=EC= AC，∵在 Rt△ ADC 中，∠ ADC=90°，点 E 为 AC 的中点，∴ ED=EA=EC= AC，∴EA=EB=EC=ED，∴ A、B、 C、 D 四个点在以 E 为圆心， AC 为直径的圆上，即 A， B，C， D 四点共圆．9．以下列图， I 为△ ABC的心里，求证：△BIC的外心 O 与 A、B、 C 四点共圆．【解答】证明：连结OB、 BI、 OC，由 O 是外心知∠ IOC=2∠ IBC．由 I 是心里知∠ ABC=2∠ IBC．从而∠ IOC=∠ ABC．同理∠ IOB=∠ ACB．而∠ BAC+∠ ABC+∠ACB=180°，故∠ BOC+∠BAC=180°，于是 O、 B、 A、 C 四点共圆．10．如图，在△ ABC中， AD⊥ BC， DE⊥ AB， DF⊥ AC．求证： B、 E、 F、C 四点共圆．【解答】解：∵ AD⊥BC， DE⊥ AB，∴∠ AED=∠ ADB=90°．又∵∠ DAE=∠ BAD，∴△ AED∽△ ADB，∴=，即 AD2 =AE?AB．同理可得 AD2=AF?AC，∴ AE?AB=AF?AC，即=．又∵∠ EAF=∠CAB，∴△ AEF∽△ ACB，∴∠ AEF=∠ ACB，∴ B、 E、 F、 C 四点共圆．11．O 和 H 分别是△ ABC的外心和垂心，假定∠BAC=60°，求证： B、0、 H、 C的共圆．【解答】证明：连结BH 并延伸交AC于 E，连结 CH并延伸交AB 于 F，连结 OB、 OC，以下列图：∵O 是三角形的外心，∠ BAC=60°，∴∠ BOC=2∠ BAC=120°〔同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍〕又∵垂心为点 H，∴ BE⊥AC，∴∠ ABE=90°，∴∠ ABE=90°﹣∠ BAC=90°﹣ 60°=30°，同理：∠ ACF=30°，∴∠ HBC+∠ HCB=180°﹣〔∠ BAC+∠ ABE+∠ ACF〕 =60°，∴∠ BHC=180°﹣〔∠ HBC+∠ HCB〕 =180°﹣ 60°=120°，∴∠ BOC=∠ BHC，又∵ O， H 在 BC边同侧，∴ B， C， O， HI 四点共圆．12．如图， AB 为⊙ O 直径， BF⊥AB， E 为 BF 上一点， AE 和 AF 交⊙ O 于 C 和 D，求证： C、 D、 F、 E 四点共圆．【解答】明：接BC、 CD，如所示：∵AB ⊙ O 直径，∴∠ ACB=90°，∴∠ BCE=90°，∴∠ BEC+∠EBC=90°，∵ BF⊥AB，∴∠ ABF=90°，即∠ ABC+∠ EBC=90°，∴∠ABC=∠BEC，∵∠ ABC+∠ ADC=180°，∴∠ BEC+∠ ADC=180°，∵∠ CDF+∠ADC=180°，∴∠ BEC=∠ CDF，∴ C、 D、 F、 E 四点共．13．如，在△ ABC 中， AB=AC，延 CA 到 P，延 AB 到 Q，使 AP=BQ，求：△ ABC的外心 O 与 A，P，Q 四点共．【解答】明：如，作△ABC 的外接⊙ O，作 OE⊥AB 于 E， OF⊥ AC 于 F，接 OP、OQ、 OB、 OA，∵O 是△ ABC的外心，∴ OE=OF， OB=OA，由勾股定理得： BE2=OB2 OE2，AF2=OA2 OF2，∴BE=AF，∵ AP=BQ，∴ PF=QE，∵ OE⊥ AB， OF⊥ AC ∴∠ OFP=∠ OEQ=90°，在 Rt△ OPF和 Rt△ OQE中，，∴ Rt△ OPF≌ Rt△OQE，∴∠ P=∠ Q，∴ O、 A、P、Q 四点共，即：△ABC的外心 O 与点 A、 P、 Q 四点共．14．〔 2021? 黄校自主招生〕如，点 F 是△ ABC 外接的中点，点D、 E 在AC 上，使得AD=AB， BE=EC．明： B、 E、 D、 F 四点共．【解答】明：接 FC， FB， FC=FB．⋯〔 2 分〕接 EF，△ CEF≌△ BEF，∴∠ BFE=∠ CFE．⋯〔 5 分〕∵ A， B， F， C 共，∴∠ CAB+∠ CFB=180°⋯〔 7 分〕∴∠ CAB+2∠ BFE=180°．∵ AB=AD，∴∠ ABD=∠ ADB⋯〔 8 分〕∴∠CAB+2∠ ADB=180°．∴∠ ADB=∠ BFE．⋯〔10 分〕∴ B、 E、 D、 F 四点共．⋯〔 12 分〕15．如，点 E， F 分在段 AC， BC 上运〔不与端点重合〕，并且 CE=BF， O 是△ ABC 的外心，明C， E， O，F 四点共．初中数学共圆问题知识点与常考难题和培优提升练习压轴题(含分析报告)适用文档在△ ECO与△ FBO 中，，∴△ ECO≌△ FBO〔SAS〕，∴∠ EOC=∠ FOB，又∠ AOC=∠ BOC，∴∠ EOF=∠ COB，又∵ EO=OF，∴∠ OEF=∠ OCF，∴ C，E， O， F 四点共圆．16．设△ ADE 内接于圆 O，弦 BC 分别交 AD、 AE 边于点 F、G，且 AB=AC，求证： F、 D、 E、 G 四点共圆．【解答】解：连结EF， CD，∴∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE，∵∠ ADC=∠ABC，∠ CDE=∠CAE，∴∠ ADE=∠ ABC+∠ CAE，∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ ACB，∴∠ ADE=∠ ACB+∠ CAE，∵∠ AGF=∠ ACB+∠ CAE〔三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和〕，∴∠ ADE=∠ AGF，∵∠ ADE+∠ EDF=180°，∠ AGF+∠ FGE=180°，∴∠ EDF=∠ EGF，∴ F、D、 E、 G 四点共圆〔共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，那么可推出四个极点共圆〕．文案大全。
“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)
经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。
五．“隐圆”题型知识储备3六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB =2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB =∠ACP ，则线段 P B 长度的最小值为_ 。
简答：因为∠PAB =∠PCA ，∠PAB +∠PAC =60°，所以∠PAC +∠PCA =60°，即∠APC =120°。
因为 A C 定长、∠APC =120°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC =120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC =60°，故以 AC 为边向下作等边△AOC ，以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，P 在⊙O 上。
当 B 、P 、O 三点共线时，BP 最短（知识储备一：点圆距离），此时 B P =2 -22. 如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD =30°， 顶点 A在射线 O D 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为 。
2024年广东九年级中考数学专题复习课件专题七+++隐圆与四点共圆
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，现有一根 长为2的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终在矩 形的边上)，按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中 点P在运动过程中所产生 的运动轨迹长度为__2_π_＋__2__．
11．(2023·广州)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上 的动点(不与点A，D重合)，边BC关于BE对称的线段 为BF，连接AF.
解：∵∠ADE＝∠ABE＝90°， ∴A，D，B，E四点共圆，AE为四点所在圆的直径． 又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠AED＝∠ABD＝45°. ∴△DAE为等腰直角三角形．
∴AE＝ 2 AD＝2 2 .
5 对角互补的四边形的顶点共圆 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝
1 到定点距离相等的各点共圆 几何语言：如图，∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴A，B，C，D四点共圆．
2 同斜边的两个直角三角形的顶点共圆 几何语言：如图，∵∠B＝∠D＝90°，∴A，B，C，D 四点共圆．证明提示：取斜边中点，
连接OD，OB.
3 对角互补的四边形的顶点共圆 几何语言：如图，∵∠A＋∠C＝180°，∴A，B，C， D四点共圆．
＝∠CBN＋∠ABN ∴∠AGC＝＝9900°°.. ∴A，B，C，D，G五点共圆． ∵△GBF≌△GBC，
∴当G为 AD 的中点时，边BC上的高最大，S△GBC最 大．如图，过点G作GH⊥BC于点H.
则GH过圆心O，即过正方形中心O.
∴GH＝OH＋OG＝
1 2
AB＋
2 2
AB.
∴S△BGF＝S△GBC＝
60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存 在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说 明理由．
难关必刷04圆的综合题(2种解题模型专练)(解析版)
难关必刷04圆的综合题（2种解题模型专练）【模型梳理】题型一：四点共圆模型中考中经常会利用四点共圆来导角，如果知道某个角的大小，我们就可以说明边与边的大小关系，或者我们就可以利用导角来证明某些三角形是等腰三角形。
这样不需要繁杂的几何辅助线，也不需要证明全等，就能得到答案，让同学们真正能够做到高效解题.题型二：垂径定理垂经定理是中考必考的一个知识点.命题老师可以在选择题，填空题、解答题任何一个位置出有关重经定理的题，作为学生，如果看到弦的问题，首先要想的是有没有用到重经定理，是否需要作弦的垂线段，怎么去计算，有了这个基本意识，解题效率会大大提高.【题型专练】题型一：四点共圆模型1．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．【解答】解：（1）点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由：连接EM，DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵M是BC的中点，∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，∴EM＝BM＝DM＝CM，∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，∴AG⊥BC，∵BH是⊙O的直径，∴∠BAH＝∠BCH＝90°，∴BA⊥AH，BC⊥CH，∴AG∥CH，∵CE⊥AB，∴AH∥CE，∴四边形AFCH是平行四边形，∴CF＝AH＝6，在Rt△BAH中，AB＝8，∴BH＝＝＝10，∴△ABC外接圆的半径长为5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，确定圆的条件，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2022秋•建湖县期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．（1）若∠DAE＝75°，则∠DAC＝ °；（2）过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明；（3）若AB＝6、AE＝2，求BD2﹣AD2的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE＝∠BCD，∵BD＝CD，∴∠CBD＝∠DCB，∵弧CD所对的圆周角分别为∠CAD、∠CBD，∴∠CBD＝∠CAD，∵∠DAE＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝∠DAC＝75°，故答案为：75；（2）过点D作DF⊥AC于点F，∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，AE＝CF，∴∠ADE＝∠ADF，又∵∠E＝∠AFD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∴AC＝AF+FC＝AE+BE＝AE+AE+AB＝2AE+AB，即AC＝2AE+AB；（3）在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，在Rt△AED中，AD2＝AE2+ED2，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝8，∴BD2＝64+DE2，AD2＝4+ED2，∴BD2﹣AD2＝60．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，直角三角形勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．3．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．（1）在图1、2中，取AC的中点O，根据 得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆；（2）在图3中，画⊙O经过点A，B，D（图5）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得 ＝180°，所以∠BED＝ ，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．求证：AF是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图7，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上．【解答】解：（1）在图1、2中，取AC的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆；故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）在图3中，画⊙O经过点A，B，D（图5）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得∠BED+∠A＝180°，∴∠BED＝180°﹣∠A，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．故答案为：∠BED+∠A；180°﹣∠A；（3）如图6，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE＝∠ECB，由点A、D、H、E四点共圆得∠BDE＝∠BAF，∴∠ECB＝∠BAF，∵∠BEC＝90°，∴∠ECB+∠ABF＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠BFA＝90°，∴AF为△ABC的边BC上的高．（4）如图7，连接BP和CP，由点A，E，P，F四点共圆可得∠BEF＝∠BPF，由点C，P，D，F四点共圆可得∠CDF＝∠CPF，∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE＝∠CPF，∵∠BAC＝∠BEF+∠ADE，∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∴∠BAC＝∠BPC，∴点A，B，C，P四点共圆，即点P在△ABC的外接圆上．【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第（3）（4）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等．题型二：垂径定理1．（2022秋•大丰区期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D．（1）若∠AOD＝50°，求∠DOB的度数；（2）若AB＝2，ED＝1，求⊙O的半径长；【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD＝50°，∴∠DOB的度数是50°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AE＝AB＝，设⊙O的半径长为r，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+（）2，∴r＝3，∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．2．（2022秋•上城区校级期中）已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，＝＝α°，AE交CD于点F，连接AD、DE．①求∠E的度数（用含α的代数式表示）．②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝CD，∴，即，∴，∴∠A＝∠D，∴AM＝DM；（2）解：①连接AC，如图2，∵弧BE＝弧BC，∴∠CAB＝∠EAB，∠CDE＝α，∵AB⊥CD，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E，∴∠E＝∠DFE＝（180°﹣∠CDE）＝（180°﹣α）＝90°﹣α；②∵∠DFE＝∠E，∴DF＝DE＝7，∵AM＝DM，∴AM＝MF+7，∵AM+MF＝17，∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，∴AM＝12，＝×7×12＝42．∴S△ADF【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．3．（2022秋•梁溪区校级期中）关于x的方程ax2+cx+b＝0，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题：（1）请写出一个“顾神方程”： ；（2）求证：关于x的“顾神方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）如图，已知AB、CD是半径为6的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程ax2+6 x+b＝0是“顾神方程”，请直接写出∠BAC的度数．【解答】（1）解：写出一个“顾神方程”：6x2+10x+8＝0 （答案不唯一），故答案为：6x2+10x+8＝0 （答案不唯一）；（2）证明：∵关于x的方程ax2+cx+b＝0是“顾神方程”，∴a2+b2＝c2且c≠0，①当a≠0时，Δ＝（c）2﹣4ab，＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab，＝2（a2+b2﹣2ab），＝2（a﹣b）2≥0，∴方程有两个实数根，②当a＝0时，方程为cx+b＝0，c≠0，∴该方程有实数根，∴“顾神方程”必有实数根；（3）解：∠BAC＝45°，理由如下：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，∵DC∥AB，∴EF⊥CD，∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，∵BE2+OE2＝OB2，∴a2+OE2＝62，∵ax2+6x+b＝0是“顾神方程，∴a2+b2＝62，∴OE＝b＝CF，∵OB＝OC，∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），∴∠FOC＝∠OBE，∵∠OBE+∠EOB＝90°，∴∠FOC+EOB＝90°，∴∠COB＝90°，∴∠A＝∠BOC＝45°．【点评】本题考查“顾神方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“顾神方程”的定义．4．（2022秋•桐乡市期中）[概念引入]在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．[概念理解]（1）如图1，在⊙O中，半径是5，弦AB＝8，则这条弦的弦心距OC长为 ．（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求证：OM＝ON．[概念应用]如图3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直径为20，且弦AB垂直于弦CD于E，请应用上面得出的结论求OE的长．【解答】[概念理解]（1）解：连接OB，∵CO⊥AB，∴BC＝AC，∠BCO＝90°，∵AB＝8，∴BC＝4，∵BO＝5，∴CO＝＝3，故答案为：3；（2）证明：连接BO、OC，∵OM⊥AB，∴BM＝AM，∠BMO＝90°，∵ON⊥CD，∴CN＝DN，∠CNO＝90°，∵AB＝CD，∴BM＝CN，∵BO＝CO，∴Rt△BOM≌Rt△CON（HL），∴OM＝ON；[概念应用]解：过点O作OG⊥CD交于G，过点O作OH⊥AB交于H，连接DO，∵AB＝CD＝16，∴GO＝OH，∵AB⊥CD，∴∠GEH＝90°，∴四边形GEHO是正方形，∴GE＝GO，∵CD＝16，∴DG＝8，∵⊙O的直径为20，∴DO＝10，∴GO＝＝6，∴GE＝GO＝6，∴EO＝6．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定及性质，正方形的性质是解题的关键．5．（2022秋•闽清县校级期中）如图1，AB是⊙O的直径，AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，连接BC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过D作DF⊥AB，交⊙O于点F，直线AC交⊙O于点G，连接FG，DG，BF．①如图2，证明：FG∥BD；②当AC旋转到如图3的位置，在BF上取一点H，使得DH＝DF．若BF⊥DG，证明：D，O，H在同一条直线上．【解答】（1）证明：如图1，连接OD、AD，∵AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∴BD＝CD且AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）①证明：如图2，连接BG、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BGA＝∠BDA＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∴BD＝GD，∴＝，∵DF⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠1＝∠2，∴FG∥BD；②证明：如图3，连接OD，∵DF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴＝，∴∠3＝∠4＝∠5，∵AB＝AC，∴∠3＝∠C，∴∠5＝∠C，∴FG∥DB，∴＝，∴∠DBF＝∠BDG，∵BF⊥DG，∴∠DBF＝∠BDG＝45°，＝，∴∠3＝∠4＝∠DBF＝22.5°，∴∠7＝90°﹣∠4＝67.5°，∵DF＝DH，∴∠6＝∠7＝67.5°，∴∠BDH＝∠6﹣∠DBF＝22.5°，∵OB＝OD，∴∠3＝∠BDO＝22.5°，∴∠BDH＝∠BDO，∴D，O，H在同一条直线上．【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，圆周角、弧、弦的关系等，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系及圆的性质是解题关键．6．（2022秋•盐都区期中）请仅用无刻度的直尺作图．（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且＝．画出△ABC中∠BAC的平分线；（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．画出△ABC中∠BAC的平分线；（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，E是弦AB上一点，且DE ∥AC，请画出△ABC的内心I．【解答】解：（1）连接AP，∵＝，∴∠BAP＝∠CAP，∴AP是∠BAC的角平分线；（2）连接OD并延长与圆交于点E，连接AE，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE是∠BAC的平分线；（3）连接OD并延长与圆交于点G，连接OE并延长与圆交于点F，连接CF、AG相交于点J，∵D是BC的中点，DE∥AC，∴E是AB的中点，由（2）可知，CF是∠ACB的平分线，AG是∠BAC的平分线，∴J点是△ABC的内心．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内心的定义是解题的关键．。
中考数学压轴题破解策略专题20《简单的四点共圆》
专题20《简单的四点共圆》破解策略如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．四点共圆常用的判定方法有：1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．D【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．D【答案】（1）略；（2）AD＝3DE；（3）AD＝DE·tanα．【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．（2）同（1），可得A ，D ，B ，E 四点共圆，∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以AD DE＝ tan30°，即AD ＝3DE ． 3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．【答案】略4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．【来源：21·世纪·教育·网】如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．D【答案】略诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．例题讲解例1 如图，在△ABC 中，过点A 作AD ⊥BC 与点D ，过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．求证：B ，E ，F ，C 四点共圆．证明 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以∠AED ＋∠AFD ＝180°，即A ，E ，D ，F 四点共圆．A B C D EF AB CD E F G连结EF ，则∠AEF ＝∠ADF ．因为AD ⊥BC ，DF ⊥AC ，所以∠FCD ＝∠ADF ＝∠AEF ，所以B ，E ，F ，C 四点共圆．例2 在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 的中点．若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 与点N ，射线EN 与AB 相交于点P ，证明：∠APE ＝2∠MA D ．证明 如图，连结DE ．因为AD ⊥BC ，CN ⊥AM ，E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝CE ＝NE ，从而A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心、AC 为直径的圆上，所以∠DEN ＝2∠DAN ．由题意可得D 为BC 的中点，所以ED ∥AB ，所以∠APE ＝∠DEP ＝2∠MA D ．进阶训练1．已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径，P 是BC 上任意一点，过点P 分别作AB ，CD 的垂线，垂足分别为N ，M ．（1）如图1，若直径AB 与CD 相交成120°角，当点P （不与B ，C 重合）从B 运动到C 的过程中，证明MN 的长为定值；（2）如图2，求当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．答案：（1）略（2）AB ，CD 相交成90°时，MN 取最大值，最大值为2．【提示】（1）如图，连接OP ，取其中点O ′，显然点M ．，N 在以OP 为直径的⊙O ′上．连结NO ′并延长，交⊙O ′于点Q ，连结QM ，则∠QMN ＝90°，QN ＝OP ＝2．而∠MQN ＝180°－∠BOC ＝60°，所以可求得MN 的长为定值．A B C D E PN M AB C D EP N M AB C D O MN P图1 图2 A B C D P M N O（2）由（1）知，四边形PMON 内接于⊙O ′，且直径OP ＝2．而MN 为⊙O ′的一条弦，故MN 为⊙O ′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN ＝90°．2．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连结AE ．（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AD ＝DE ；（2）如图2，当∠ABC ＝30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？请说明理由；（3）当∠ABC ＝α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系（用含α的三角函数表示）．答案：（略）；（2）ADDE ；（3）AD ＝DE ·tan α． 【提示】（1）证A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝45°，所以AD ＝DE ．（2）同（1）可得A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以AE DE＝tan30°，即ADDE ． AB C D O MN QO ′ P图1 图1AB C DEFG 图2 A B C D E M N。