初中数学九年级《探究四点共圆的条件》公开课教学设计
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件说课稿
五、板书设计与教学反思
本节课通过引导学生探究四点共圆的条件，让学生掌握四点共圆的基本性质和判定方法，培养学生运用几何知识分析和解决问题的能力。同时，为学生进一步学习圆的性质、圆周角定理等知识奠定基础。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生了解四点共圆的定义和性质，掌握四点共圆的判定方法，能运用四点共圆的知识解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何推理能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备的基本前置知识有：平面几何的基本概念，如点、线、面的关系；四边形的性质；圆的基本性质等。在技能方面，学生需要具备一定的作图能力和逻辑推理能力。
在学习本节课时，学生可能存在的障碍主要包括：对四点共圆的概念理解不清，难以把握其本质特征；对圆的性质和圆周角定理的运用不熟练，难以证明四点共圆。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：首先，让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对四点共圆的理解和应用能力；然后，组织学生进行小组合作探究，让他们运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，培养他们的合作能力和解决问题的能力；最后，让学生结合自己的生活实际，设计一些关于四点共圆的应用问题，提升他们的数学应用能力。
4.设置具有挑战性的练习题，激发学生的好奇心和求知欲，如引导学生运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，提高他们的逻辑推理能力。
《数学活动：探究四点共圆的条件》教案
《数学活动：探究四点共圆的条件》教案知能演练提升一、能力提升1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A.πB.1C.2D.2π32.如图,在扇形OAB 中,已知∠AOB=90°,OA=√2,过AB ⏜的中点C 作CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,则图中阴影部分的面积为( )A.π-1B.π2-1C.π-12D.π2−123.如图,半径为10的扇形AOB 中,∠AOB=90°,C 为AB⏜上一点,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E.若∠CDE 为36°,则图中阴影部分的面积为( )A.10πB.9πC.8πD.6π4.如图,水平地面上有一面积为30π cm 2的扇形OAB ,半径OA=6 cm,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则点O 移动的距离为( )A.20 cmB.24 cmC.10π cmD.30π cm5.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6π m2B.5π m2C.4π m2D.3π m26.如图,△ABC是正三角形,曲线CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中CD⏜,DE⏜,EF⏜……的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF的长是.7.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.以点B为圆心,BO长⏜的长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,则EF为.(结果保留π)⏜是一段圆弧,AC,BD是线段,8.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB⏜相切于点A,B,线段AB=180 m,∠ABD=150°.且AC,BD分别与圆弧AmB(1)画出圆弧AmB ⏜ 的圆心O ; (2)求A 到B 这段弧形公路的长.★9.如图,AB 为☉O 的直径,CD ⊥AB ,OF ⊥AC ,垂足分别为E ,F. (1)请写出三条与BC 有关的正确结论;(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.二、创新应用★10.图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图②是车棚顶部截面的示意图,AB ⏜所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)知能演练·提升 一、能力提升1.C 使用扇形的面积公式S=12lR 可求出其面积,即S=12×2×2=2. 2.B 3.A4.C 点O 移动的距离即扇形OAB 所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S 扇形=nπR 2360求出扇形的圆心角n=300°,再由弧长公式l=nπR180,得l=10π cm .5.A6.4π 关键是确定圆心角和半径.因为△ABC 是边长为1的正三角形,所以CD⏜,DE ⏜,EF ⏜的圆心角都为120°,对应的半径分别为1,2,3. 因此CD ⏜=2π3,DE ⏜=4π3,EF ⏜=6π3=2π.所以曲线CDEF 的长是2π3+4π3+2π=4π. 7.π28.解 (1)如图,过点A 作AO ⊥AC ,过点B 作BO ⊥BD ,AO 与BO 相交于点O ,O 即为圆心.(2)因为AO ,BO 都是圆弧AmB ⏜ 的半径,O 是其所在圆的圆心, 所以∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°. 所以△AOB 为等边三角形, 即AO=BO=AB=180 m . 所以AB⏜=60×π×180180=60π(m),即A 到B 这段弧形公路的长为60π m . 9.解 (1)答案不唯一,只要合理均可.例如: ①BC=BD ;②OF ∥BC ; ③∠BCD=∠A ; ④BC 2=CE 2+BE 2; ⑤△ABC 是直角三角形;⑥△BCD 是等腰三角形.(2)连接OC (图略),则OC=OA=OB.∵∠D=30°,∴∠A=∠D=30°. ∴∠AOC=120°.∵AB 为☉O 的直径, ∴∠ACB=90°.在Rt △ABC 中,BC=1,∴AB=2,AC=√3. ∵OF ⊥AC ,∴AF=CF. ∵OA=OB ,∴OF 是△ABC 的中位线. ∴OF=12BC=12.∴S △AOC =12AC ·OF=12×√3×12=√34,S 扇形AOC =13π·OA 2=π3.∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =π3−√34.二、创新应用10.分析 车棚的顶棚的展开图是矩形,顶棚的横截面是弓形,求出弓形的弧长,即得到了展开图的宽.解 连接OB ,过点O 作OE ⊥AB ,垂足为点E ,并延长交AB⏜于点F ,如图.由垂径定理,知E 是AB 的中点,F 是AB ⏜的中点,从而EF 是弓形的高. 故AE=12AB=2√3 m,EF=2 m . 设半径为R m, 则OE=(R-2)m .在Rt △AOE 中,由勾股定理, 得R 2=(R-2)2+(2√3)2. 解得R=4(m). 在Rt △AEO 中,AO=2OE ,故∠OAE=30°,∠AOE=60°,∠AOB=120°. 所以AB⏜的长为120×4π180=8π3(m). 即帆布的面积为8π3×60=160π(m 2).。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考探索的能力。
教学内容：1. 四点共圆的定义和性质2. 四点共圆的证明方法3. 四点共圆在实际问题中的应用教学准备：1. 课件和教学素材2. 几何画板或白板3. 练习题和答案教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件或实物展示四点共圆的实例，引导学生观察和思考。
2. 提问：你们能找出这个图形的特征吗？它是如何定义的？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解四点共圆的定义和性质，通过示例和几何画板进行演示。
2. 引导学生思考和讨论四点共圆的证明方法，给出几种常见的证明方法。
三、案例分析（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用四点共圆的知识进行解决。
2. 分组讨论和展示解题过程，互相交流和学习。
四、练习与巩固（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生独立完成。
2. 老师对答案进行讲解和解析，解答学生的疑问。
2. 提出一些思考题，引导学生进行深入思考和探索。
教学评价：1. 学生对四点共圆的定义和性质的理解程度。
2. 学生运用四点共圆知识解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
教学反思：本节课通过实例导入，引导学生观察和思考四点共圆的特征。
通过讲解和演示，让学生理解和掌握四点共圆的定义和性质。
通过案例分析和练习巩固，让学生运用所学知识解决实际问题。
整个教学过程注重学生的参与和思考，培养学生的合作交流能力。
在教学评价中，不仅要关注学生对知识的理解和应用能力，还要关注学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
在今后的教学中，可以尝试更多的实际问题引入，增加学生的思考和探索空间，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、实践操作（15分钟）目标：让学生通过实际操作，加深对四点共圆的理解和应用。
1. 利用几何画板或白板，让学生自己尝试绘制四点共圆的图形。
数学人教版九年级上册探索四点共圆的条件
探索四点共圆的条件广州市第四十中学李立红【教学目的】1、运用课堂四步学习方式：“思、议、导、固”培养学生推理论证的能力，渗透数学的思想方法，发展形象思维。
2、利用几何画板，培养学生的直观操作和逻辑推理能力。
使学生能利用图形性质解决问题，发展学生的数学应用能力。
3、让学生体会圆与四边形的关系，建立良好的知识联系。
【教学难点】确定四点共圆的条件【教学过程】利用几何画板辅助教学一、思：提出问题：下面请大家一起来研究下列的问题，一起思考、讨论一下。
引导学生分情况讨论：【提问，学生口答】1、过平面内任意一点能作几个圆？无数个。
2、过平面内任意两点能作几个圆？无数个，圆心在两点的中垂线上。
3、过平面内任意三点能作几个圆？1) 三点在同一直线上：不能作圆。
2) 三点不在同一直线上：只能作一个圆。
此时即为作三角形的外接圆，圆心是三边中垂线的交点，半径为圆心到顶点的线段的长度。
此时，三个顶点到圆心的距离相等，满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
4、过平面内任意四点能作几个圆？1）．四点在同一直线上：不能作圆。
2）．四点不在同一直线上：三点共线，也不能作圆；任意三点不共线，可能可以作圆。
引导学生思考：把四点顺次连接起来，得到一个四边形，问题转化为是否任意一个四边形都有外接圆。
二、议：观察、探索四点共圆的条件1、观察下面的四边形，想一想，试一试，看看它们的四个顶点是否共圆？若共圆，请作出它们的外接圆？正方形矩形等腰梯形菱形平行四边形直角梯形你发现了什么？引导学生利用几何画板，实验探究、思考：连接正方形、矩形的对角线，因为对角线的交点到四个顶点的距离相等，所以满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
对角线就是外接圆的直径，圆心为对角线的交点，可以作出它们的外接圆。
作等腰梯形一腰和一底的中垂线，两中垂线的交点到四个顶点的距离相等，也满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上【板书】。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
人教版九年级数学上册数学活动《探究四点共圆的条件》说课稿
第二十四章数学活动——活动2探究四点共圆的条件说课课题：探究四点共圆的条件说课流程：说教材说学情说教法与学法说教学过程说教学预期效果一、说教材地位与作用：本节课是新人教版九年级上册第24章《圆》数学活动2探究四点共圆的条件，是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
通过本节课的活动探究，让学生对四点共圆的问题有了个初步的认识，对某些平面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。
学习目标：认知目标：理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；能力目标通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。
学习重点：四点共圆的条件的探究．（根据本节课的内容和教学目标确定）学习难点：反证法证明命题.（学生用反证法证明几何命题用的很少，所以对反证法证明几何命题不熟悉，所以用反证法证明这个命题作为本节课的难点）二、说学情经过学生从七年级以来对几何的性质和判定进行了系统的学习和探究，学生已经掌握了一个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了一定的探究几何问题的数学经验，但学生对曲边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。
三、说教法和学法教法：任务驱动，实践讲练结合教学法（回顾旧知，操作，猜想，验证，引导学生画图，分析，类比完成本节课的教学）学法：观察、类比、归纳、转化，自主学习和小组合作探究相结合。
四、说教学过程教学板块的设计包含如下六个环节：回顾思考、探究猜想、验证猜想、学以致用、归纳反思、能力延伸。
第一环节：复习回顾1、怎样确定一个圆？2、圆内接四边形有什么性质？设计意图：这样设计一是复习回顾，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。
二是为本节课探究猜想作好垫铺。
第二环节：探究猜想1、过不在同一条直线上的四个点，一定能确定一个圆吗？2、在你所熟知的特殊四边形中，哪些有外接圆？设计意图：第2环节我也是提出2个问题，引发学生的思考，从学生熟悉的图形出发，让学生第一认知，四点共圆是需要条件的，不是任意的四边形都有外接圆。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。
二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。
2. 四点共圆的性质及其应用。
3. 运用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。
2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。
2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。
3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。
4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。
5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。
2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。
b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。
c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。
d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。
七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。
b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。
c. 教学内容的难易程度是否适合学生。
d. 课堂管理和学生提问的处理情况。
2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。
探究四点共圆的条件-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
探究四点共圆的条件-公开课-优质课(人教版教学设计精品)本文介绍了数学活动探究四点共圆的条件。
在这个过程中，学生通过对特殊的四边形，共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现了过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆的一般规律。
同时，学生还将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法。
通过这个数学活动，学生可以积累数学活动经验，并且能够理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
教学重点是四点共圆的条件的探究，目标是让学生理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件，通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。
达成目标的标志是学生能够应用反证法证明对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，能够应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆。
同时，学生还能够通过画图、观察、测量、比较、分析特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论，并能将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明。
教学问题诊断分析需要考虑如何引导学生积极思考，勇于质疑，发现问题，解决问题，有效地呈现活动结果等过程，这是数学活动的基本过程。
2)平行四边形；3)矩形；4)菱形；5)等腰梯形；6)共斜边的两个直角三角形组成的四边形．通过对这些特殊四边形的探究，学生发现四边形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，与四边形的内角是否是直角无关，与四边形是否存在一组对边平行无关，从而得到猜想：四边形的四个顶点共圆．设计意图：通过小组合作探究，引导学生从具体的图形出发，寻找共性条件，获得猜想，为后续证明做好准备．同时，也锻炼了学生的合作探究能力和表达能力．3．猜想的证明师生活动：教师引导学生通过反证法证明猜想．首先，学生需要将四边形的四个顶点标记为A、B、C、D，假设它们不共圆，即不存在圆可以同时经过这四个点．接着，学生需要利用圆内接四边形对角互补的性质，证明假设不成立，即四边形的四个顶点必然共圆．设计意图：通过引导学生运用反证法证明猜想，既锻炼了学生的逻辑思维能力，又让学生更加深入地理解了圆内接四边形对角互补的性质．4．拓展应用师生活动：教师引导学生通过拓展应用，巩固和拓展所学知识．例如，学生可以探究圆内接正方形、圆内接正三角形等图形的性质，或者通过应用四点共圆的性质解决相关问题．设计意图：通过拓展应用，让学生更加深入地理解所学知识，同时也提高了学生的问题解决能力和创新思维能力．本文介绍了关于四边形的一些特殊情况，包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形等。
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第24章活动2 《探究四点共圆的条件》教学设计
班级姓名座号
一、课型：综合活动课
二、活动目标：
1、探究四边形四个顶点共圆的条件。
2、通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，提高学生识图能力，发展学生合情推理和演绎推理的能力。
3、在探究四边形四个顶点能够共圆的问题中，学会运用从特殊到一般的数学思想，能利用转化思想来解决问题，感受解决问题的多样性。
三、重点：通过活动探究四点共圆的条件。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
四、学情分析：经历《圆》的全章单元学习后，学生对圆的相关知识点还未能透彻贯通，需要加强能力方面的训练。
让学生自己结合线索推理发现、得出结论，课堂教学既要重视数学结论的探索过程，又要强化各种技能之间的综合运用。
五、教具：多媒体设备（含几何画板、PPT、投影展台）
六、教学反思：四点共圆研究方法具有多样性和灵活性，理解点和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的相互转化，体现知识的普遍联系和深入发展特性，丰富学生的研究方法。
通过观察、实验操作、归纳猜想、验证活动，使不同层次学生思维水平和推理水平有不同的提高。
表格式梳理对照，自学复习相关知识点，以数学活动为契机，培养探索精神，调动全章圆的知识的相关储备，串联综合运用的能力猜想并加以验证。
七、课堂过程
活动一、考题片段引入
如图，已知矩形ABCD,，动点E 从点B 沿线段BC 运动到点C 停止，连结AE,以AE 为边作矩形AEFG,使边FG 过点D.直接写出点G 所经过的路径长。
关键：点G 路径是什么样的轨迹？
★（设计意图）从考题片段引入，清晰给出学习目标，引发学生思考。
在完成表格二猜想一后再进
行展开，结合几何画板演示动态过程，运用新结论，形成基本数学图形模式。
活动二、复习旧知类比迁移
表格一
三个顶点到定点（ 心）的距离都等于定长（即 ） 即：OA=OB=OC
个顶点到定点（ 心）的距离都等于定长（即 ） 即：OA=OB=OC=OD
定点（外心）任意两边 交点 任意两边 交点
思考：过任意一个四边形的四个顶点也一定可以作一个圆吗?你打算怎样去尝试呢？
如果能共圆，四边形的四个顶点应满足什么条件？
★（设计意图）学生联系对比复习链接的知识定义，为后续探究打下基础，对照巩固原有思维水平。
6AB BC ==
活动三、从性质到判定逆向猜想
表格二：与圆周角有关的性质定理在四边形里的逆向猜想 文字语言：
半圆或直径所对的圆周角都等于 . 图形语言：
几何语言：的直径是0⊙BC
∴ = = 0
猜想一：
若 = = 0
则A 、B 、C 、D 四点共圆.
文字语言：圆的内接四边形对角 。
图形语言：
几何语言：
=∠+∠C A =∠+∠D B
猜想二： 的四边形的四个顶点共圆。
图形语言：
几何语言： =∠+∠C A =∠+∠D B
∴A 、B 、C 、D 四点共圆.
文字语言：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等。
图形语言：
几何语言：对弧BC,有 = 猜想三：
若 =
则A 、B 、C 、D 四点共圆.
（可借鉴猜想二的反证法，课后尝试证明）
★（设计意图）让学生从无从下手到主动探究，从逆向思维的角度获得可能的条件的方向，一步步
接近探究的目标。
同时也注意渗透几何语言、文字语言、图形语言三种语言的熟练转换。
活动四、验证猜想一、猜想二
验证猜想一、如图，ABC Rt ∆与ADC Rt ∆共斜边，问D 点是否在ABC Rt ∆的外接圆上？你找到了
A 、
B 、
C 、
D 四点共圆的方法吗？
同侧 异侧
★分析：从圆的定义出发，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，从而得到
OD OC OB OA ===,D C B A ,,,∴落在以AC 为直径的同一圆圆周上。
从特殊到一般，也趁势将其发散到四点共圆或者N 点共圆的情况上。
猜想二、1、能否分别画一个圆，使下图中的（1）—（6）四边形的四个顶点在同一个圆上？尝试一下。
2、学生测量四边形的边和角，四点共圆的四边形都具有怎样的共同特征呢？ 共圆有：对角 ；不共圆的图形：对角 ；
3、学生猜想： 的四边形的四个顶点共圆。
4、验证。
已知：在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D ＝180°求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。
思考1：四点共圆可转化成可以先作出过 个点的圆，再考虑第 个点是否在过 点的圆上。
思考2：如果第 个点（点D)不在圆上，会在哪里呢？ （注意分类思想）
教师巡视学生的解题规范表达，对过程进行点到指导补充。
关注学生参加活动的态度，是否能熟练运用已学知识解决问题。
★（设计意图）在学生动手活动的过程中，通过交流和沟通，明确解决一个问题的方案路径。
在猜想之后要进行严谨的验证，感受数学结论的确定性和证明的必要性。
深入理解运用点和圆的位置关系进行分类讨论，运用反证法使学生懂得证明可以从两个方向进行突破。
活动五、总结归纳
1、通过这节课，你学到了哪些知识呢？
2、回顾本节课的学习过程，你是怎样得到上述知识的？你还有什么收获呢？
★（设计意图）师生共同从知识技能、数学思想等方面小结本节课的活动，并关注不同层次学生的理解差异。
学生在积极的数学活动中，达到知识与技能、过程与方法，情感态度价值观等多维度的全面落实。
留置表格二的第三个猜想作为新的学习任务，继续激发学生的学习热情。
建议学生可查询资料——四点共圆的条件都有什么呢？达到初高中的衔接、课堂内外的延伸。
活动六、当堂作业或检测
1、下列四个命题中，正确的一个是（）
A、过两点一定可以作一个且只可以作一个圆;
B、过三点一定可以作一个且只可以作一个圆;
C、过不在同一直线上的三点一定可以作一个且只可以作一个圆;
D、过不在同一直线上的四点一定可以作一个且只可以作一个圆.
2、下列四边形中，一定有外接圆的是（ ） A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、梯形
3、 如图，点A 、B 、 C 、D 都是⊙O 上的点,则正确的选项是（ ） A 、∠1+•∠2＞∠A B 、 ∠1+•∠2=∠A C 、 ∠1+•∠2＜∠A D 、不能确定
4、在四边形ABCD 中，如果∠A= 115°，∠B= 30°，那么当∠C=_____时， 四边形ABCD 能四点共圆。
5、如图，∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角，如果∠DCE=∠A,那么同时过点A,B,C,D_____(能或不能）作一个圆。
6、如图，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，F E ,分别为AC AB ,上的点，且
0180=∠+∠EAF EDF 求证：DF DE =
★（设计意图）本节课采用先学后教、当堂训练的课堂教学模式。
教师指导—学生自学—小组交流
—当堂反馈，达到减负增效。
检测第6小题也指引学生一种证明的新方向：可以结合图形的边角特征，尝试给平面几何基本图形四边形加上一个圆的背景，从圆的角度关系看四边形的特殊性。