数学人教版九年级上册24.探究四点共圆的条件
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件说课稿
五、板书设计与教学反思
本节课通过引导学生探究四点共圆的条件，让学生掌握四点共圆的基本性质和判定方法，培养学生运用几何知识分析和解决问题的能力。同时，为学生进一步学习圆的性质、圆周角定理等知识奠定基础。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生了解四点共圆的定义和性质，掌握四点共圆的判定方法，能运用四点共圆的知识解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何推理能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备的基本前置知识有：平面几何的基本概念，如点、线、面的关系；四边形的性质；圆的基本性质等。在技能方面，学生需要具备一定的作图能力和逻辑推理能力。
在学习本节课时，学生可能存在的障碍主要包括：对四点共圆的概念理解不清，难以把握其本质特征；对圆的性质和圆周角定理的运用不熟练，难以证明四点共圆。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：首先，让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对四点共圆的理解和应用能力；然后，组织学生进行小组合作探究，让他们运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，培养他们的合作能力和解决问题的能力；最后，让学生结合自己的生活实际，设计一些关于四点共圆的应用问题，提升他们的数学应用能力。
4.设置具有挑战性的练习题，激发学生的好奇心和求知欲，如引导学生运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，提高他们的逻辑推理能力。
第24章圆章末数学活动探究四点共圆的条件(教案)2022-2023学年人教版九年级数学上册
然而，我也注意到，在小组讨论中，有些学生显得比较被动，可能是因为他们对自己的想法不够自信，或者是在小组中缺乏发言的机会。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，增强他们的自信心。
4.培养学生的合作交流能力，在小组讨论与分享中，促进学生对四点共圆条件的理解，学会倾听、表达与协作，形成良好的学习习惯和团队精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-四点共圆的定义及其性质：理解四点共圆的概念，掌握其性质，如圆内接四边形对角互补、圆外接四边形对角相等。
-四点共圆的判定方法：掌握利用圆内接四边形、圆外接四边形的性质来判定四点共圆的方法。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与四点共圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示四点共圆的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“四点共圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于四点共圆的概念和性质的理解整体上是积极的。他们在课堂上能够跟随我的思路，对于我提出的案例和问题也能够给出恰当的回应。我尝试通过生动的例子引入新课，这样做的效果不错，学生们明显对于这个话题产生了兴趣。
在讲授过程中，我注意到了一些学生对于四点共圆判定方法的掌握还不够熟练。这可能是因为这个部分需要较强的逻辑思维和空间想象能力。我意识到，对于这样的难点，仅仅通过理论讲解是不够的，还需要结合更多的图形展示和实际操作来帮助他们理解。
数学人教版九年级上册24.探究四点共圆的条件
探究四点共圆阜阳开发区一初王丽 2017/5/1一、内容和内容解析本节内容是探究四点共圆的条件。
四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。
圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。
在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。
同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。
二、学情分析学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。
通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。
另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。
三、教学目标：（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。
四、教学重难点：重点：四点共圆条件的探究。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。
五、教学过程：I、创设情境、引入新课同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。
问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。
数学人教版九年级上册探索四点共圆的条件
数学活动:探究四点共圆的条件学习目标：1、理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．2、通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．学习重点：四点共圆的条件的探究．一、复习回顾1、经过一点A可以作个圆；经过两点A、B可以作个圆,圆心在；经过不在同一直线上的三点A、B、C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，圆心是三角形三条边的.2、一个圆有多少个内接三角形，一个三角形有多少个外接圆？一个圆有多少个内接四边形，一个四边形有多少个外接圆？二、发现问题1、经过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说经过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？2、分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的四个顶点能否作一个圆？三、探究问题四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆？你能找出一个四边形来验证你的猜想吗？四、猜想结论猜想：五、证明猜想六、获得结论结论：七、归纳反思1、本节课你学到了什么知识？学到的知识能解决什么问题？2、回顾本节课的学习过程，你是怎么得到上述的知识的？你还有什么收获？八、目标检测1、如图1，∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角，如果∠DCE=∠A ,那么过点 A 、B 、C 、D （填“能”或“不能”）作一个圆．2、如图2，经过四边形ABCD 的四个顶点可以作一个圆若∠A =115°，则∠C 的度数为 ．3、如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°, ∠CAD =26°, 则∠ABD 的度数为 ．如图3，在四边形ABCD中，如果∠ADB=∠ACB ,那么同时过点 A 、B 、C 、D 能不能作一个圆？为什么？。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
探究四点共圆的条件
人教版数学九年级上册探究四点共圆的条件活动过程设计问题与情境4、按要求画出图形后，为什么有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有哪些不同呢？它们的边长有关系吗？它们的内角有如何呢？5、刚才我们是先画的四边形，再作的圆，得到了这样一个猜想。
还有没有另外的方法也能做到呢？【活动2】1通过活动，同学们推测出了四边形的四个顶点共圆的条件，可我们只画了几个图形，要想运用这个推断，还需要证明，那如何证明呢？2、不在同一条直线上的三点是能共圆的，如果四点不能共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，余下的点与过三点的圆是什么位置关系呢？3、圆周角定理有哪些内容？4、怎样利用圆中的性质定理来解决问题呢?师生行为学生先进行讨论，思考最好的证明方法。
然后引导学生利用反证法进行证明。
在证明的过程中要让学生考虑到所有的图形情况。
证明过程：在四边形ABCD中，若/ B+/ ADC=18(0，那么A、B、C D 四点共圆吗？为什么？解：如图1:假设A、B、C D四点不共圆，过A、B C三点作圆，D点在圆内。
延长AD与圆交于点E,连接CE则：/ B+Z E=180o•••/ ADC >Z E•••Z B+Z ADC >180o这与已知条件Z B+Z ADC=18(0 矛盾，故假设不成立，原结论正确，A、B C、D四点共圆。
如图2,假设A B、C、D四点不共圆，D点在圆外。
证明方法与证明图1时同理。
BAEDC设计意图培养学生和情推理能力。
附图：。
人教版九年级数学上册数学活动《探究四点共圆的条件》说课稿
第二十四章数学活动——活动2探究四点共圆的条件说课课题：探究四点共圆的条件说课流程：说教材说学情说教法与学法说教学过程说教学预期效果一、说教材地位与作用：本节课是新人教版九年级上册第24章《圆》数学活动2探究四点共圆的条件，是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
通过本节课的活动探究，让学生对四点共圆的问题有了个初步的认识，对某些平面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。
学习目标：认知目标：理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；能力目标通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。
学习重点：四点共圆的条件的探究．（根据本节课的内容和教学目标确定）学习难点：反证法证明命题.（学生用反证法证明几何命题用的很少，所以对反证法证明几何命题不熟悉，所以用反证法证明这个命题作为本节课的难点）二、说学情经过学生从七年级以来对几何的性质和判定进行了系统的学习和探究，学生已经掌握了一个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了一定的探究几何问题的数学经验，但学生对曲边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。
三、说教法和学法教法：任务驱动，实践讲练结合教学法（回顾旧知，操作，猜想，验证，引导学生画图，分析，类比完成本节课的教学）学法：观察、类比、归纳、转化，自主学习和小组合作探究相结合。
四、说教学过程教学板块的设计包含如下六个环节：回顾思考、探究猜想、验证猜想、学以致用、归纳反思、能力延伸。
第一环节：复习回顾1、怎样确定一个圆？2、圆内接四边形有什么性质？设计意图：这样设计一是复习回顾，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。
二是为本节课探究猜想作好垫铺。
第二环节：探究猜想1、过不在同一条直线上的四个点，一定能确定一个圆吗？2、在你所熟知的特殊四边形中，哪些有外接圆？设计意图：第2环节我也是提出2个问题，引发学生的思考，从学生熟悉的图形出发，让学生第一认知，四点共圆是需要条件的，不是任意的四边形都有外接圆。
人教版九年级数学上册 第二十四章 数学活动 探究四点共圆的条件
课外探究
在这种图形中，A、B、C、D四点能共圆又需要满足什么条件呢？
D A
B
C
谢谢！
谢谢大家！
A D
C
B
D C
（3）等腰梯形
∠A＋∠C =180°
∠B＋∠D =180°
发现：过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么该四边形的对角之和为180°.
想一想 A
D A
B
B
C
（1）正方形
（2）矩形
四边形的哪些元素决定了:过它的四个顶点可以做一个圆？
A D
C
B
D C
（3）等腰梯形
∠A＋∠C =180°
∠B＋∠D =180°
发现：过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么该四边形的对角之和为180°.
猜想 过对角互补的四边形的四个顶点可以做一个圆
已知：在四边形A BCD中，∠A＋∠C =180°，∠B＋∠D =180° 求证：过A 、B、C、D四点可以做一个圆
A O ·
B
C
A D
O ·
D A
B B
C 点C在不在⊙O上？？
A
D
B
C
（1）正方形
A
D
B
C
（3）等腰梯形
A
D
B
C
（2）矩形
A
D
B
C
（4）菱形
想一想 A
D A
B
B
C
（1）正方形
（2）矩形
四边形的哪些元素决定了:过它的四个顶点可以做一个圆？
A D
C
B
D C
（3）等腰梯形
想一想 A
D A
B
B
C
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探究四点共圆
阜阳开发区一初王丽 2017/5/1
一、内容和内容解析
本节内容是探究四点共圆的条件。
四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。
圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。
在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。
同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。
二、学情分析
学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。
通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的
四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。
另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。
三、教学目标：
（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。
四、教学重难点：
重点：四点共圆条件的探究。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。
五、教学过程：
I、创设情境、引入新课
同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。
问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？
设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同
一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。
问题2：如果要经过A、B、C、D三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？
为了解决这个问题，本节课我们就来探究四点共圆的条件。
II、合作探究、获得猜想
探究：（小组1）平行四边形的四个顶点是否在同一个圆上？
（小组2）矩形的四个顶点是否在同一个圆上？
（小组3）等腰梯形的四个顶点是否在同一个圆上？
（小组4）有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点是否在同一个圆上？
教师引导学生画图、思考交流过矩形、等腰梯形和有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点是做一个圆上；过一般的平行四边形的四个顶点不一定能做一个圆，教师让学生展示自己作图的依据和想法。
师：前面我们已经学过圆的内接四边形有什么性质？
生：圆的内接四边形对角互补。
师：这句话反过来还成立吗？请同学们拿出自己的量角器动手测量验证自己的猜想，并与同桌间交流自己的想法。
生：动手测量与同桌交流自己的想法，并得出猜想：“对角互补的四边形的四个顶点共圆”
师：教师根据学生的作图情况进行适时的指导。
设计意图：让学生经历从特殊到一般，从学生动手作图到发现部分四边形四点共圆再到猜想、动手测量验证猜想的过程，学生经历了几何教学的一般流程，一步一步的向目标靠近。
有利于学生从四边形的边和角等方面去猜测、探究。
有利于学生在解决数学问题的过程中思考、积淀，从而积累数学活动经验。
III 、证明猜想 获得结论
猜想：经过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆。
已知：在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°
求证：四边形ABCD 内接于一个圆（即A 、B 、C 、D 四点共圆）
证明：（反证法）过A 、B 、C 三点做⊙O ，假设D 不在⊙O 上则点D 在圆内或圆外。
若D 在圆外，设CD 与⊙O 交于D ′，连接A D ′
B
根据圆内接四边形的性质得：∠B+∠C D ′A=180°
又∵∠B+∠D=180°，∴∠C D ′A=∠D 。
这与三角形外角的性质相矛盾，故D 不可能在圆外。
类似的可以证明D 不可能在圆内。
∴D 在⊙O 上，即A 、B 、C 、D 四点共圆。
IV 、回归问题
如果要经过A 、B 、C 、D 三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？
设计意图：学生经历了解决数学问题的过程，让他们知道数学来源于生活又应用于生活。
通过交流让学生明确一个问题的解决方案；在推测之后要进行验证，通过证明，让学生感受思想的严谨性，感受思想结论的确定性和证明的必要性，培养学生的推理能力。
V 、例题分析
例1、发现四点共圆
图1、PA 、PB 与⊙O 相切于A 、B 两点
P
图2、⊙O中，点C是弧AB的中点过分别作CD垂直OA，CE垂直OB, 垂足分别为D、E
图3、∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠DCE=∠A
设计意图：让学生用发现的眼光去从多边形中寻找圆，并感受到圆与多边形之间的联系，感受几何图形之间并不是孤立的，解决几何问题的方法也是多样的。
例2、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°
（1）A、B、C、D四点能否在同一个一个圆上？
（2）当∠ABD=70°，则∠CAD是多少度？
设计意图：考查学生对对角互补的四边形的四个顶点的应用，以及圆
的内接四边形对角互补情况的掌握。
例3：（八年级教材习题改编）
如图，四边形ABCD是一个正方形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE=DF，连接BE、AF
（1）图中哪四个点在同一个圆上？
（2）连接CG、BF.求证：∠FBC=∠FGC
设计意图：引导学生去用刚学习的四点共圆知识解决八年级已经学过的四边形问题，体会数学解题的殊途同归，从新的高度进行反思理解同一个题。
同时这两个例题也这学生感受到数学“转化”思想的重要性。
五、归纳反思、总结提升
启发学生思考：如果你遇到证明多点共圆，可以从以下几个方面思考：
1、从圆的定义出发，证明各点都与某一定点的距离相等。
2、如果证明四点共圆，可以先任选三点做一个圆，再证明另一个
点也在这个圆上。
3、若能证明四边形对角互补，或证明其中一个外角等于其邻补角
的内对角，即可证明这四点共圆。
4、本节课体现了几个重要的数学思想“从特殊到一般的思想”、“转
化的思想”、“数形结合的思想”
设计意图：通过小结使学生总结学生本节课所学到的知识、技能、研究方法，并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握，提升学生对数学思想方法的认识和运用。
增强学生的数学能力和对数学的积极情感。
六、作业布置
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且AE=DF，连接BE、AF交于M点。
（1）小南经过思考发现点E、M、F、D在同一个圆上。
请判断小南的发现是否正确。
如果正确在图中作出该圆的直径，如果不正确说明理由。
（2）连接CM、BF，若∠FBC=35°，求∠FMC的度数。
（3）挑战：延长AF、BC交于点N，若点B、M、D、N在同一个圆上，求证：E为AD的中点
B
设计意图：作业设置不同的难度，让不同的学生得到不同的发展。