四点共圆的条件教案资料
新课标苏版《数学》初三上册活动2探究四点共圆的条件
新课标苏版《数学》初三上册活动2探究四点共圆的条件——活动2 探究四点共圆的条件说课课题：探究四点共圆的条件说课流程：说教材说学情说教法与学法说教学过程说教学预期成效说教材地位与作用：本节课是新人教版九年级上册第24章《圆》数学活动2探究四点共圆的条件，是在学生学习了通过一个点的圆、通过两个点的圆、通过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对通过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
通过本节课的活动探究，让学生对四点共圆的问题有了个初步的认识，对某些平面几何问题能转化到圆那个模型中进行解答。
学习目标：认知目标：明白得过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；能力目标通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由专门到一样、转化的数学思想，积存数学活动的体会．情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。
学习重点：四点共圆的条件的探究．（依照本节课的内容和教学目标确定）学习难点：反证法证明命题.（学生用反证法证明几何命题用的专门少，因此对反证法证明几何命题不熟悉，因此用反证法证明那个命题作为本节课的难点）说学情通过学生从七年级以来对几何的性质和判定进行了系统的学习和探究，学生差不多把握了一个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了一定的探究几何问题的数学体会，但学生对曲边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。
三、说教法和学法教法：任务驱动，实践讲练结合教学法（回忆旧知，操作，猜想，验证，引导学生画图，分析，类比完成本节课的教学）学法：观看、类比、归纳、转化，自主学习和小组合作探究相结合。
四、说教学过程教学板块的设计包含如下六个环节：回忆摸索、探究猜想、验证猜想、学以致用、归纳反思、能力延伸。
第一环节：复习回忆1、如何样确定一个圆？2、圆内接四边形有什么性质？设计意图：如此设计一是复习回忆，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。
二是为本节课探究猜想作好垫铺。
四点共圆学案
四点共圆学案【本讲教育信息】⼀、教学内容选修4—1 第⼀章直线、多边形、圆，第⼆节：圆与四边形⼆、教学⽬标1. 使学⽣理解并掌握圆内接四边形的概念以及四点共圆的概念。
2. 使学⽣理解并掌握圆内接四边形的性质和⼀个四边形是圆内接四边形的判定定理。
3. 使学⽣理解并掌握托勒密定理及其应⽤。
三、教学重、难点圆内接四边形的性质和判定是教学的重点也是教学的难点。
四、知识要点分析1. 圆内接四边形的性质：（1）圆内接四边形的对⾓互补。
（2）圆内接四边形的任何⼀个外⾓都等于它的内对⾓。
2. 圆内接四边形（四点共圆）的判定：（1）如果⼀个四边形的内对⾓互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
（2）如果四边形的⼀个外⾓等于它的内⾓的对⾓，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3. 托勒密定理：圆内接四边形ABCD的两对对边乘积之和等于两条对⾓线的乘积。
【典型例题】考点⼀：圆内接四边形的性质和判定例1. 如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。
经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。
求证：CE∥DF题意分析：该题⽬涉及圆内接四边形的性质、平⾏线的判断，显然四边形ABEC和ABFD 分别是⊙O1和⊙O2的内接四边形，可以利⽤圆内接四边形的性质寻求⾓的相等或互补，从⽽证明直线的平⾏。
解题思路：四边形ABEC内接于⊙O1，∠ABF=∠C，⽽四边形ABFD内接于⊙O2，所以∠ABF+∠D=180°，所以可以证明∠C+∠D=180°，从⽽可以证明CE∥DF。
证明：∵四边形ABEC内接于⊙O1，四边形ABFD内接于⊙O2∴∠ABF=∠C，∠ABF+∠D=180°∴∠C+∠D=180°∵A、C、D在⼀条直线上∴CE ∥DF解题后思考：由于题⽬中有两个圆，有的学⽣可能将两个圆混为⼀谈没有头绪，不知道两个圆⼀个利⽤圆内接四边形外⾓等于内对⾓，⼀个利⽤圆内接四边形内对⾓互补。
四点共圆(知识讲解)
四点共圆（知识讲解）【学习目标】1. 理解四点共圆的定义；2. 掌握判断四点共圆的基本方法，并用于解决证明和计算问题。
【要点梳理】四点共圆常用的方法有：1、对角互补的四边形，四点共圆；2、外角等于内对角的四边形，四点共圆；3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。
【典型例题】类型一、四点共圆的判定1．如图，BD ，AH 分别是ABC 的高，求证：A 、B 、H 、D 四点共圆．【分析】取AB 的中点O ，连接DO 、HO ，根据BD ，AH 分别是△ABC 的高，可得△DAB和△HAB 都是直角三角形，斜边都是AB ，而点O 为斜边中点，则有DO ＝HO ＝12AB ＝AO ＝BO ，也就是说以O 为圆心、OA 为半径的圆，点D 、H 、B 也在这个圆上，即可证明A 、B 、H 、D 四点共圆．证明：如图，取AB 的中点O ，连接DO 、HO ，△BD ，AH 分别是ABC ∆的高，DAB ∴∆和HAB ∆都是直角三角形，且它们的斜边都是AB ，△点O 为斜边中点，12DO HO AB AO BO ∴====，也就是说，点D、H、B在以O为圆心、OA为半径的圆上，即点D、H、B、A都在以O为圆心、以OA为半径的圆上，故可得：A、B、H、D四点共圆．【点拨】本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．举一反三：【变式1】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见分析.【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，△四边形ABCD是菱形，△AB＝AD＝CD＝BC，AC△BD，△点E是AB的中点，△OE＝12AB，同理：OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12AD，△OE＝OF＝OG＝OH，△点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．【点拨】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.【变式2】如图，在Rt ABC中，△BAC＝90°，△ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求△BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见分析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得△C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出△ADC＝△C，最后由外角定理求得△BAD的度数；（2）由旋转的性质得到△ABC＝△AED，由四点共圆的判定得出结论．解：（1）△在Rt ABC中，△BAC＝90°，△ABC＝40°，△△C＝50°，△将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，△AC＝AD，△△ADC＝△C＝50°，△△ADC＝△ABC+△BAD＝50°，△△BAD＝50°－40°＝10°证明（2）△将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，△△ABC＝△AED，△A、D、B、E四点共圆．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．【变式3】如图，在□ABCD中，△BAD为钝角，且AE△BC，A F△CD．(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；(2) 设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．解：（1）△AE△BC，AF△CD，△△AEC=△AFC=90°，△△AEC+△AFC=180°，△A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，圆的直径是AC，连接AC交BD于O，△ABCD是平行四边形，△O为圆心，OB=OD，△OM=ON，△BM=ND.【点拨】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．类型二、利用四点共圆进行证明或求解2．如图，A 、B 、C 、D 四点共圆，且△ACB ＝△ACD ＝60°．求证：△ABD 是等边三角形．【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得出△ADB ＝60°＝△ABD ，再用三角形的内角和定理求出△BAD ，即可得出结论．证明：△△ACB ＝60°，△△ADB ＝△ACB ＝60°，△△ACD ＝60°，△△ABD ＝△ACD ＝60°，在△ABD 中，△BAD ＝180°﹣△ADB ﹣△ABD ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，△△ABD ＝△ADB ＝△BAD ＝60°，△△ABD 是等边三角形．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，圆周角定理，三角形的内角和定理 ，掌握圆周角定理是解答本题的关键；举一反三：【变式】 如图所示中，60NAM ∠=︒，B ，C 分别在边AM 和AN 上，且2BC =，CP AN ⊥，BP AM ⊥垂足分别为C ，B ，求PA 的长.【答案】433PA =【分析】本题关键要建立未知线段PA 和已知线段BC 的关系，由A ，B ，P ，C 共圆，PA 和CE 为直径，于是在Rt CEB △中便可以建立CE 和BC 的关系，求出CE 的长即求出PA 的长.解：连结CD ，BD ，△,CP AN BP AM ⊥⊥，△90PCA PBA ∠=∠=︒△AD BD PD CD ===，△由圆的定义知点A ，B ，C ，P 在以D 为圆心，DA 为半径的圆上，作出辅助圆，延长CD 交圆D 于E ，连结BE ，△60BAC CEB ∠=∠=︒ 30ECB ∠=︒在Rt BCE 中，2BC =，△433EC =△433PA =【点拨】双直角三角形是典型的共圆图，解题中注意灵活应用.类型三、四点共圆综合应用3．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，△E 是△ABC 中△A 的遥望角．△若△A ＝40°，直接写出△E 的度数是 ；△求△E 与△A 的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD 中，△ABC ＝△ADC ＝90°，点E 在BD 的延长线上，连CE ，若△BEC 是△ABC 中△BAC 的遥望角，求证：DA ＝DE ．【答案】（1）△20°；△12∠=∠E A ，理由见分析；（2）证明见分析 【分析】 （1）△根据题目定义推出△E ＝12△A ，从而得出结论；△直接根据求解△过程证明即可； （2）首先根据题意推出A 、B 、C 、D 四点共圆，然后作四边形ABCD 的外接圆交CE 于点F ，连接AF ，DF ，再根据圆的内接四边形的性质等推出△AFD ＝△DFE ，然后根据“遥望角”的定义推出△E＝△DAF，即可证△DAF△△DEF，从而得出结论．（1）解：△△△E是△ABC中△A的遥望角，△△EBC＝12△ABC，△ECD＝12△ACD，△△E＝△ECD﹣△EBD＝12（△ACD﹣△ABC）＝12△A，△△A＝40°，△△E＝20°．故答案为：20°；△12∠=∠E A，理由如下：△△E是△ABC中△A的遥望角，△△EBC＝12△ABC，△ECD＝12△ACD，△△E＝△ECD﹣△EBD＝12（△ACD﹣△ABC）＝12△A；（2）证明：△△ABC＝△ADC＝90°，△A、B、C、D四点共圆，作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，△四边形FBCD内接于△O，△△DFC+△DBC＝180°，△△DFC+△DFE＝180°，△△DFE＝△DBC，△BD平分△ABC，△△ABD＝△DBC，△△ABD＝△AFD，△△AFD＝△DFE，△△BEC 是△ABC 中△BAC 的遥望角，由（1）得△E ＝12△BAC ，△△BAC ＝△BDC ，△△E ＝12△BDC ，△△E +△DCE ＝△BAC ，△△E ＝△DCE ，△△DCE ＝△DAF ，△△E ＝△DAF ，△DF ＝DF ，△AFD ＝△DFE ，△△DAF △△DEF （AAS ），△DA ＝DE ．【点拨】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．举一反三：【变式】在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：ABC ∆是等边三角形，点D 是ABC ∆内一点，连接CD ，将线段CD 绕C 逆时针旋转60︒得到线段CE ，连接BE ，DE ，AD ，并延长AD 交BE 于点F ．当点D 在如图所示的位置时：（1）观察填空：△与ACD ∆全等的三角形是________；△AFB ∠的度数为（2）利用题干中的结论，证明：C ，D ，F ，E 四点共圆；（3）直接写出线段FD ，FE ，FC 之间的数量关系．____________________．【答案】（1）△BCE ∆：△60︒；（2）见分析；（3）FD FE FC +=．【分析】（1）△根据旋转的性质和等边三角形的性质可证△ACD△△BCE ；△根据已推导出的全等三角形和三角形内角和进行角度转化，可得△AFB 的大小； （2）根据△ACD△△BCE 得ADC BEC ∠∠=，推导得出四边形CDFE 中180BEC FDC ∠+∠=︒，从而证共圆；（3）先推导出△BDF 是等边三角形，可证△ABD△△CBP ，得出AD=FC ，从而得出数量关系．解：（1）△△△ABC 是等边三角形△AB=AC=BC ，△BAC=△ACB=△ABC=60°△将线段CD 绕C 逆时针旋转60︒得到线段CE△CE=CD ，△DCE=60°△△DCE 是等边三角形△△DCE=60°△△ACD+△DCB=60°，△BCE+△DCB=60°△△ACD=△BCE△△ACD△△BCE(SAS)△△△ACD△△BCE△△EBC=△DAC△△DAC+△BAD=△BAC=60°△△FBC+△BAD=60°△△AFB=180°－△ABC －△FBC －△BAF=180°－60°－60°=60°（2）△()ACD BCE SAS ∆∆≌．△ADC BEC ∠∠=，△180ADC FDC ∠+∠=︒，△180BEC FDC ∠+∠=︒．△C ，D ，F ，E 四点共圆； （证明不唯一）（3）结论：FD FE FC +=,如下图,连接BD△△ACD△△BCE△△CBE=△CAD ，AD=BE△△CAD+△BAD=60°，△BAD+△FBC=60° △△BAD+△ABD=△BDF=60° △△AFB=60°△△BDF 是等边三角形 △DF=BF,△FD+FE=BE△△ABD△△CBF(SAS)△AD=FC△FD+FE=FC【点拨】本题属于几何综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．。
初三【数学(人教版)】数学活动：探究四点共圆的条件 教学设计
教学难点：四点共圆的条件的证明.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、创设情境，提出问题
【创设情境】
（1）经过一点A，可以在平面内作无数个圆.
（2）经过两点A，B，可以在平面内作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
（3）经过三点：若A，B，C三点共线，则不能作出过三点的圆；若A，B，C三点不共线，可以作出一个圆.即：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，也就是说过任意பைடு நூலகம்个三角形的三个顶点都能作一个圆.
图1图2
【猜想3】过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.
三、证明猜想，得出结论
已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.
求证：A，B，C，D四点共圆.
证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外.
1若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B+∠E=180°.
已知：如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长交BC于F.
求证：AF⊥BC.
【例】如图，∠ABC=∠ADC.求证：A，B，C，D四点共圆.
五、总结提升
【课堂小结】
1.你可以用哪些方法证明四点共圆？
2.如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？
【布置作业】
1.如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使A，B，C，D四点共圆的是（）.
（4）经过平面内四点：若四个点中有任意三点共线，则不能作出过四点的圆；若其中任意三点都不共线，能否作出过四点的圆呢？
【提出问题】过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件说课稿
五、板书设计与教学反思
本节课通过引导学生探究四点共圆的条件，让学生掌握四点共圆的基本性质和判定方法，培养学生运用几何知识分析和解决问题的能力。同时，为学生进一步学习圆的性质、圆周角定理等知识奠定基础。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生了解四点共圆的定义和性质，掌握四点共圆的判定方法，能运用四点共圆的知识解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何推理能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备的基本前置知识有：平面几何的基本概念，如点、线、面的关系；四边形的性质；圆的基本性质等。在技能方面，学生需要具备一定的作图能力和逻辑推理能力。
在学习本节课时，学生可能存在的障碍主要包括：对四点共圆的概念理解不清，难以把握其本质特征；对圆的性质和圆周角定理的运用不熟练，难以证明四点共圆。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：首先，让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对四点共圆的理解和应用能力；然后，组织学生进行小组合作探究，让他们运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，培养他们的合作能力和解决问题的能力；最后，让学生结合自己的生活实际，设计一些关于四点共圆的应用问题，提升他们的数学应用能力。
4.设置具有挑战性的练习题，激发学生的好奇心和求知欲，如引导学生运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，提高他们的逻辑推理能力。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考探索的能力。
教学内容：1. 四点共圆的定义和性质2. 四点共圆的证明方法3. 四点共圆在实际问题中的应用教学准备：1. 课件和教学素材2. 几何画板或白板3. 练习题和答案教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件或实物展示四点共圆的实例，引导学生观察和思考。
2. 提问：你们能找出这个图形的特征吗？它是如何定义的？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解四点共圆的定义和性质，通过示例和几何画板进行演示。
2. 引导学生思考和讨论四点共圆的证明方法，给出几种常见的证明方法。
三、案例分析（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用四点共圆的知识进行解决。
2. 分组讨论和展示解题过程，互相交流和学习。
四、练习与巩固（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生独立完成。
2. 老师对答案进行讲解和解析，解答学生的疑问。
2. 提出一些思考题，引导学生进行深入思考和探索。
教学评价：1. 学生对四点共圆的定义和性质的理解程度。
2. 学生运用四点共圆知识解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
教学反思：本节课通过实例导入，引导学生观察和思考四点共圆的特征。
通过讲解和演示，让学生理解和掌握四点共圆的定义和性质。
通过案例分析和练习巩固，让学生运用所学知识解决实际问题。
整个教学过程注重学生的参与和思考，培养学生的合作交流能力。
在教学评价中，不仅要关注学生对知识的理解和应用能力，还要关注学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
在今后的教学中，可以尝试更多的实际问题引入，增加学生的思考和探索空间，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、实践操作（15分钟）目标：让学生通过实际操作，加深对四点共圆的理解和应用。
1. 利用几何画板或白板，让学生自己尝试绘制四点共圆的图形。
数学活动——探究四点共圆的条件的教学设计
数学活动探究四点共圆的条件一、内容和内容解析1．内容：四点共圆的条件．2．内容解析四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究．在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形)的探究，进行猜想，并将猜想的结果在一般性情况下进行严密的推理验证，体现了特殊到一般的思想．同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法．另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累．基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究．二、目标和目标解析1．目标(1)理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．(2)通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．2．目标解析达成目标(1)的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆．达成目标(2)的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极思考，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程．本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明．四、教学过程设计1．创设情境，发现问题引言在前面的学习中，我们学习了经过一点A可以作无数个圆(图1(1))；经过两点A，B可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上(图1(2))；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆(图1(3))．(1) (2) (3)图1问题1过平面内四点能作一个圆吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题．设计意图：①体会到分类思想：平面内4点可分为四点共线；其中有三点共线；任意三点都不共线三种情况；②由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向．同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题．为后继猜想的证明作适当的知识准备．2．合作探究获得猜想师生活动：学生分成小组，在事先准备好的练习纸上对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这几个特殊四边形进行试验探究，共同探究教师提出的问题(过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗)，教师重点关注学生自主探究的步骤和方法．教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件．教师可以带领学生从边、角等方面进行分析。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
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探究四点共圆的条件
猜想：如果一个四边形 四个顶点位于同一圆上， 那么这个四边形对角互补。
证明猜想
猜想：如果一个四边形四个顶点位于同 一圆上，那么这个四边形对角互补。
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证： ∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º
D
提示：利用圆周角定理证明
A
O
思考
如果过某个四边形的四个顶点不 能作一个圆，那么∠B+∠D与180º有何 关系？
A
D
O·
B
C
F
E
∠B+∠D < 180º
A
D
O·
B
F
E
C
∠B+∠D > 180º
证一证
假设D点在圆内 延长AD与圆交于点E，连接CE。 则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E
∴∠B+∠ADC >180º. 这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，故假 设不成立，D点不在圆内.
又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上
∴ ∠A + ∠B C´D = 180° ∴∠A+∠BCD＜180°
A
D
O·
B
C´ F
E C
由上面的探究，你能归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一 个圆的条件吗？
对角互补的四边形的四个顶点共圆
通过我们的证明我们知道：
四边形的对角之和小于180º， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。
作一个圆需确定 圆心 和 半径
忆一忆
过一个点可以作 无数个圆 过两个点可以作 无数个圆
过三个点
分类讨论
若三点在同一直线上 不能作圆
若三点不在同一直线上 确定一个圆
回顾思考
不在同一直线上的三点确定一个圆的方法：
确定圆心 （垂直平分线的交点） 确定半径 （圆心到任意一点的长）
探究四点共圆的条件
分类讨论
过任意四点能作一个圆么？
•四点在同一直线上
不能
•三点在同一条直线上，另一点不在这条
直线上
不能
•四点中任意三点都不在同一直线上
不确定
试一试 探究四点共圆的条件
图中给出了一些四边形，能否 过它们的四个顶点作一个圆？试 一试！ADA源自D DAB
CB
C
B
C
思考
探究四点共圆的条件
你能用圆与点的位置关系解释这种现象么？
(C) ∠1+ ∠2＜∠A
(D)不能确定
C B
证明猜想
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证：∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º D
证明： 连结OB、OD
A
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
O
∴弧BAD和弧BCD所对圆心角之和是360°
C
∴ ∠A+∠C=180º
B
同理可证 B D 180
所以圆内接四边形的两对角互补
∠B= 30°，那么∠C=___6__5, °∠D=_____1_5. 0°
2、如图所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC= 100° ，
则∠BAC= 50 度，∠BDC= 130 度. A
O
B 12 C
3 如图,A、B、 C、D、都是⊙O上的点D,则正确的选项是（B ）
（A）∠1+ ∠2＞∠A
(B) ∠1+ ∠2=∠A
四边形的对角之和大于180º， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。
四边形的对角之和等于 180º（对角互补），四边形的四 个顶位点于同一圆上。
这节课你有什么收获？
一个方法：类比操作的方法。 一个条件：四点共圆的条件。 一种思想：从特殊到一般的思想。
我会做
1、已知四边形ABCD四个顶点都在⊙O上，如果∠A= 115°，
四边形中任意三个点确定一个圆，则
第四点在圆内 四点不共圆 第四点在圆外 四点不共圆 第四点在圆上 四点共圆
量一量
探究四点共圆的条件
分别测量上面各四边形的内角，如果过 某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其 相对的两个内角之间有什么关系？
D
A
D
A
B
C
∠A＋∠C=180°
C B
∠B＋∠D=180°
发现：这两个四边形的对角互补
E
C
D
B
A
另一种D点在圆外的情况证明同理可证.
即当四边形的两对角和是180°时，其四个顶点在同一个 圆上
连接AC交⊙O与点C´，连接BC´和DC´ 有 ∠A C´B ＞∠A C B
∠A C´D ＞∠A C D
∠A C´B +∠A C´D ＞ ∠ACB+ ∠ACD 所以 ∠BCD ＞∠B C´D
所以 ∠A+∠BC/D＞∠BCD + ∠A