四点共圆的条件
《四点共圆的条件》课件
如何证明四点共圆
01
02
03
塞瓦定理证明法
利用塞瓦定理的逆定理， 通过证明三点共线，进而 证明四点共圆。
反证法
假设四点不共圆，然后通 过一系列逻辑推理，最终 得出矛盾，从而证明四点 必定共圆。
相似三角形法
通过构建相似三角形，利 用相似三角形的性质来证 明四点共圆。
四点共圆的性质与实际应用
性质总结
要点一
总结词
要点二
详细描述
实际应用中的四点共圆问题主要涉及到几何图形在生活中 的实际应用，如建筑、机械等领域。
在建筑设计中，经常需要用到四点共圆的知识来确定建筑 物的位置和角度。在机械设计中，四点共圆的知识也被广 泛应用，例如在齿轮的设计中，需要用到四点共圆的知识 来确定齿轮的位置和角度。此外，在电路板的设计中，也 需要用到四点共圆的知识来确定元件的位置和角度。
02
四点共圆的条件
圆上三点确定一个圆的定理
总结词
三点确定一个圆的定理
详细描述
在平面几何中，任意三个不共线的点可以确定一个唯一的圆，该圆通过这三个点 。这个定理是几何学中一个基本且重要的定理，是研究圆和点关系的基础。
圆内接四边形的性质
总结词
内接四边形的性质
详细描述
圆内接四边形具有一系列重要的性质，如相对边相等、对角互补等。这些性质在证明四点共圆时常常用到，也是 几何学中的重要知识点。
VS
详细描述
如果一个四边形的对角线互相平分，则该 四边形的四个顶点共圆。这个性质可以通 过三角形三边的平方关系来证明。具体来 说，如果一个四边形的对角线互相平分， 则可以将该四边形划分为两个三角形，利 用三角形三边的平方关系，可以证明这两 个三角形的三个顶点与四边形的中心点共 圆。
探究四点共圆的条件
证明：连接CE.
C
∵CD⊥AE且D为AE的中点，
∴ ∠ACD= ∠DCE.
F
∵ ∠CDE+ ∠CFE=180°，A
∴C、D、E、F四点共圆.
D
E
B
∴ ∠DCE= ∠DFE.
∴ ∠ACD= ∠DFE.
点评：本题巧妙地运用了四点共圆知识，避免了繁琐
的证明过程.希望同学们能将所学的知识灵活运用，不 断探索.
图中给出了一些四边形，能否 过它们的四个顶点作一个圆？试 一试！
A
D
A
D D
A
B
CB
C
B
C
探究1
• 我们知道圆内接四边形对角互补，由此可 以猜想，对角互补的四边形的四个顶点可 能在同一个圆上.
如图，四边形ABCD中,∠A+∠C=180°，求证A、 B、C、D四点共圆.ຫໍສະໝຸດ D ABC
1.如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角， 如果∠DCE=∠A，那么同时过点A，B，C,D （ ）（填“能”或“不能”）公圆
• 3、基本方法：找一点到已知四点距离相等.
• 4、由“对角互补”可以推出“同侧角相 等”；反过来，由“同侧角相等”也可以 推出“对角互补”.
典型例题
• 如图，△ABC中， ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高. 在线段DB上取点E，使AD=DE，作EF⊥BC，垂足为F， 连接DF.求证： ∠ACD= ∠DFE.
如图， ∠C= ∠D且在线段AB同侧，求证：A、 B、D、C四点共圆.
证明：
（请同学们参照探究1的“反证法”完成证 明过程.）
归纳总结
• 1、将四点连成一个四边形，若对角互补， 那么这四点共圆.
• 2、连接对角线，若这个四边形的一边同侧 的两个顶角相等，那么这四点共圆.
四点共圆条件 课件
已知点A（$- 1$，$- 1$），B（$- 2$，$- 3$），C（$- 3$ ，$- 2$），以点D（$- 1$，$- 2$）为圆心作圆，下列结论 正确的是( )
提高习题
题目：已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$和直线l ：$ax + by - ab = 0(a > 0,b > 0)$，则( )
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点，然后证明所得线段的两端分别平行于相对 两边的中点连线，最后证明该线段等于相对两边的中点连线的一半，从而证明 了四点共圆。
利用角平分线定理证明
总结词
通过角平分线定理，我们可以证明四 点共圆。
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点， 然后证明相对两边的中点连线将相对 的两个角平分，最后证明相对两边的 中点连线与相对的两边垂直，从而证 明了四点共圆。
A.直角三角形 B.等腰 三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
提高习题
题目
在直角坐标系中，$bigtriangleup ABC$三个顶点的坐标分 别是A（$- 3$，$0$），B（$- 1$，$- 2$），C（$- 2$，$1$），则$bigtriangleup ABC$外接圆的方程为____．
圆心是三个不共线点确定的三角形的 外心，而半径等于从圆心到圆上任一 点的距离。
圆的基本性质
圆的对称性
圆是中心对称和轴对称图形，对 称中心是圆心，任何经过圆心的 直线都可以将圆分成两个对称的 部分。
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于该弧所 对的圆心角的一半。
02
四点共圆的条件
证明几何定理
四点共圆的充要条件 矩阵
四点共圆的充要条件矩阵四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中非常常见。
那么，我们如何判断四个点是否共圆呢？这里，我们介绍一种基于矩阵运算的方法。
首先，我们定义一个四阶矩阵 A：$$A=begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1end{bmatrix}$$其中，$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$、$(x_4,y_4)$ 分别是四个点的坐标。
那么，如果这四个点共圆，那么矩阵 A 的行列式等于零，即 $det(A)=0$。
为什么这个矩阵的行列式可以判断四个点是否共圆呢？我们可以用向量叉积的方法来证明。
设有三个向量 $vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$，那么 $vec{a} times vec{b}$ 表示 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 所在平面的法向量，其大小等于 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 所组成平行四边形的面积，方向满足右手定则。
回到四点共圆的问题，我们考虑三个点 $P_1$、$P_2$、$P_3$，它们分别在圆周上，那么这三个点所在的向量可以表示为$vec{a}=overrightarrow{P_1O}$、$vec{b}=overrightarrow{P_2O}$、$vec{c}=overrightarrow{P_3O}$，其中 $O$ 是圆心。
由于三个点在同一圆周上，所以 $vec{a} times vec{b}$ 和 $vec{b} timesvec{c}$ 在同一直线上，即 $(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}=0$。
初、高中数学：四边形的“对角互补”和“四点共圆”知识点总结
四边形的“对角互补”和“四点共圆”知识点总结一、中学数学中的四边形分类四边形包括“平面四边形”和“空间四边形”两种。
二、平面四边形“四点共圆”的等价条件（充要条件）四点共圆的平面四边形的每一个内角都可以看成是其外接圆的圆周角，因此，四点共圆的平面四边形的任意一组对角所对应的两个圆弧的长度和正好是整个圆的周长。
根据“圆周角是圆心角的一半”和“圆弧与所对的圆周角的对应可加性”，可知：满足“四点共圆”的平面四边形的任意一组对角都互补。
进一步地，我们根据“平面四边形的内角和为360度”和“平面上任意三点一定共圆”的性质，容易得到：有一组对角互补的平面四边形，一定满足四点共圆。
【注】平面四边形“四点共圆”是平面四边形“对角互补”的充要条件。
即：“平面四边形四点共圆”与“平面四边形的对角互补”等价。
三、不满足“四点共圆”的平面四边形的重要性质因为“平面四边形四点共圆”与“平面四边形对角互补”等价。
所以我们很容易得到以下两条重要的性质。
1、不满足“四点共圆”的平面四边形的任意一组对角都不互补。
原因：假如平面四边形中有一组对角互补，由“平面四边形内角和等于360度”可知另一组对角也互补。
此时，根据“平面四边形四点共圆”与“平面四边形的对角互补”等价，就会得到“平面四边形四点共圆”。
所以，如果一个平面四边形的四个顶点不满足“四点共圆”，则它的任意一组对角都不互补。
2、如果一个平面四边形中有一组对角不互补，则这个平面四边形一定不满足“四点共圆”原因：如果一个平面四边形中有一组对角不互补，根据“平面四边形的内角和等于360度”可知其另一组对角也一定不互补。
此时，根据平面四边形“四点共圆”的等价条件（“平面四边形四点共圆”与“平面四边形的对角互补”等价）可知，这个平面四边形一定不满足“四点共圆”。
四、空间四边形的“四点共圆”和“对角互补”问题1、空间四边形是不能把所有边和顶点放在同一个平面内的四边形，所以，空间四边形都不满足“四点共圆”。
证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。
2、利用三角形的关系 (1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆； (2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
已知C 、D 在线段AB 的同侧，且∠ACB=∠ADB 。
求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-39，过A ，B ，C 三点作⊙O 。
(1)如果D 点在⊙O 内部，则延长BD 交⊙O 于D '，连A D '。
∵∠D '=∠C ，且∠ADB ＞∠D '。
∴∠ADB ＜∠C ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此D 点不可能在⊙O 的内部。
(2)如图7-40，如果D 点在⊙O 的外部，连AD ，BD 。
则必有一条线段与⊙O 相交，设BD 与⊙O 交于D '，连A D '。
∵∠A D 'B=∠ACB ，且∠D ＜∠A D 'B 。
∴∠D ＜∠ACB ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此，D 点不可能在⊙O 的外部。
综上所述，D 点必在⊙O 上。
3、利用四边形的关系 (1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42) 4、利用线段的乘积式的关系(1)线段AB ，CD 相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-43，连AD ，BC ，AC 。
在△APD 和△BPC 中，∵PA ·PB=PC ·PD ，∴PBPDPC PA =。
又∠APD=∠BPC ，∴△APD ∽△BPC 。
∴∠B=∠D ，又B ，D 在线段AC 同侧。
因此，A ，C ，B ，D 四点共圆。
(2)两线段AB ，CD 的延长线相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆(图7-44)。
相似三角形四点共圆条件
相似三角形四点共圆条件哎呀，今天咱们聊聊一个有趣的话题，叫做“相似三角形四点共圆条件”。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们就把它简单化，轻松聊聊。
想象一下，你和朋友在公园里玩三角形拼图，突然你发现这三角形不仅好看，而且有个神奇的特性，那就是如果这三个三角形是相似的，那么它们的四个顶点竟然可以在同一个圆上，这可是个了不起的事情呢！先说说什么叫相似三角形。
其实就是那些形状一样但大小不同的三角形，比如你把一块比萨饼切得小一点，再切得小一点，这不就是相似三角形吗？无论你怎么缩放，这些小三角形和原来的大三角形都是“心有灵犀”的，形状上绝对不打架。
你知道吗？数学界可是很喜欢这种“心有灵犀”的关系，没事就爱研究。
然后啊，咱们再说说四点共圆条件。
这听起来就像是个数学的魔法。
想象一下，在一个圆圈里，有四个小朋友，他们拉着手，围成一个大圈，哈哈，是不是感觉特别温馨？四点共圆的意思就是，四个点能够同时在一个圆上，形成一种神奇的联系。
这个时候，你可能会想，这些点是怎么凑到一起的呢？关键就在于这些点之间的角度关系。
咱们进入核心。
你想啊，如果四个点都可以在一个圆上，那么它们之间的角度就得有个特殊的关系，才能让它们手拉手不散架。
这就需要满足一种条件：那就是如果一个三角形的内角和另一个三角形的内角相等，那么这四个点就可以共圆了。
简单说，就是这几个三角形之间的比例关系得好，才能齐心协力，找到同一个圆圈。
就像好朋友一起去旅游，得有个统一的计划，才能玩的开心！数学里还有个有趣的现象，就是这些相似三角形如果在一起聚会，它们的边长比也是一致的。
就像一群身高不一的朋友，只要他们之间的比例相同，不管个子高矮，都能一起玩得不亦乐乎！这种感觉太赞了，几何也变得生动有趣起来。
咱们可以用这个条件来推导出各种各样的结果，就像解谜一样，越解越上瘾。
你可能会好奇，这有什么实际应用呢？很多设计、建筑都离不开这个原理。
就像设计师在画图的时候，常常用相似三角形来确保结构的稳固。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型(解析版)
专题31圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。
相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。
本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。
这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
【答案】2【分析】首先连接OE，由角器上对应的读数．【详解】解：连接OE，A ．13B ．52∵在ABC 中，90BAC【答案】30【分析】连接AC 与BD 又易知在Rt ACD △中，【详解】解：连接AC 与∵四边形形ABCD 是矩形，12OA OB OC OD AC又∵DE BF 于E ，即是直角三角形，∴12OE BD ，∴OA OC OD OE ，∴点A B 、、，由旋转的性质可知：AF AB ，【答案】122【分析】（1）根据条件，证明AOD COD△△△△，代入推断即可.（2）通过AOG ABC证明ODF CBF△△，代入推断即可.又∵∵CE CF∴CEF CFE模型2、定边对双直角共圆模型C同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足90ABD ACD，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足90ABC ADC，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为【点睛】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，求出线段．模型3、定边对定角共圆模型条件：如图1，平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ADB ACB ，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆．条件：如图2，AC 、BD 交于H ，AH CH BH DH ，结论：A B C D 、、、四点共圆.例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝40°，将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，使D 点落在BC 边上．（1）求∠BAD 的度数；（2）求证：A 、D 、B 、E 四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见解析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C 的度数，由旋转的性质得出AC ＝AD ，即可得出∠ADC ＝∠C ，最后由外角定理求得∠BAD 的度数；（2）由旋转的性质得到∠ABC ＝∠AED ，由四点共圆的判定得出结论．【详解】解：（1）∵在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠C ＝50°，∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，使D 点落在BC 边上，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠C ＝50°，∴∠ADC ＝∠ABC +∠BAD ＝50°，∴∠BAD ＝50°－40°＝10°证明（2）∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，∴∠ABC ＝∠AED ，∴A 、D 、B 、E 四点共圆．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE 绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【答案】804##4【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H，如图：∵△ACE ≌△BCD ∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD 4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32，∴FE =DF =cos 30DG∴AF =AE -FE 80；【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC 同侧有两点B ，D ，连接AD ，AB ，BC ，CD ，如果B D ，那么A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A ，C ，D 的O ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE 则180AEC D （依据1）B D ∵180AEC B点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O 上（依据2）点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD 中，12 ，345 ，则4 的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知ABC 是等腰三角形，AB AC ，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接AD ．作点C 关于AD 的对称点E ，连接EB 并延长交AD 的延长线于F ，连接AE ，DE ．①求证：A ，D ，B ，E与判定，掌握以上知识是解题的关键．模型4、对角互补共圆模型P条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足ABC ADC，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，PA PB PD PC，结论：A、B、C、D四点共圆.A．2B．22【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得,,,A B E D四点共圆，在以BE为直径的圆上，连接【答案】43/113【分析】过点B作BH AM交F，点A,M,B,C四点共圆，得法求解，12AMBS AM DE△【详解】解析：过点B作BH 于点，如图所示：【答案】52 2【分析】连接BD并延长，利用四点共圆的判定定理得到的性质和圆周角定理得到DBF性质解答即可得出结论．(1)求证：A ，E ，B ，D 四点共圆；(2)如图2，当AD CD 时，O 是四边形AEBD O 的切线；(3)已知1206BC ，，点M 是边BC 的中点，此时P 是四边形出圆心P 与点M 距离的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)32（3）解：如图所示，作线段AB 的垂直平分线，分别交∵120AB AC BAC ，，∴B课后专项训练1．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【详解】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D．【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．，．下2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC BD列结论不一定成立的是（）A ．12B ．3=4C ．180ABC ADCD ．AC 平分BAD【答案】D 【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可．【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知：OA OB OC OD ．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．∵ AB AB ，∴12 ，故A 不符合题意；B ．∵ BCBC ，∴3=4 ，故B 不符合题意；C ．∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ，故C 不符合题意；D ．∵ BC 和CD不一定相等，∴BAC 和DAC 不一定相等，∴AC 不一定平分BAD ，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，3BC ，4AC ，点P 为平面内一点，且CPB A ，过C 作CQ CP 交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为（）【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点接AC，BD．请写出图中任意一组互补的角为【答案】DAB【分析】首先判断出点【答案】130【分析】根据题意得到四边形【详解】解：由题意得到∴四边形ABCD为圆∵∠ABC＝50°，∴∠【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．6．（2023·浙江金华·A．3B．1∵PE AB 于点E ，PD AC 于点，∴90AEP ADP ，∴180AEP ADP ，∴A 、E 、D 四点共圆，PA 是直径，在Rt PDC 中，45C ，∴△是等腰直角三角形，45APD ∴APD △也是等腰直角三角形，45PAD ，∴PED PAD ∴45AED ，∴AED C ，∵EAD CAB ，∴AED ∽设2AD x ，则2PD DC x ，22x ，如图2，取AP 的中点O 则2AO OE OP x ，∵604515EAP BAC PAD ，过E 作EM AP 于M ，则EM x，cos30OM OE ，∴36222OM x x ，∴6226222AM x x x ，由勾股定理得： 222226222AE AM EM x x ＋【答案】3632 /323 【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点【详解】解：如图旋转，连接以BC 为直径作O ，以AE 为半径作在ABD △和ACE △中AB AC AD AE BAD CAEPBC PBA ACB PBC 90BAC BPC EAD ∵，122AB ∵，A 的半径为62∴又∵90BAC EAD ，CAD，∵33BC ，OP BC∵MQ，MC与圆O相切，1QOM COM COP 【答案】(1)见详解（2）证明：如下图所示由题意可知AC 逆时针旋转90得到边AE ，90E ACB ，则90ACB ∵，AE BF ∥，90 ∵，90EFC ，，F ，E 四点共圆．．∵四边形ABCD是菱形，AC，且 GOC GCO90＝＝∵， 点90DHC DOC＝BDF OCH＝，且BF OM ∵， 点＝＝90AED AOD尝试应用如图2，点D 为等腰Rt ABC △外一点，AB AC ，BD CD ，过点A 的直线分别交DB 的延长线和CD 的延长线于点N ，M ，求证：12ABN ACM S S AN AM △△．问题拓展如图3，ABC 中，AB AC ，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，60BDA BEA ，AE ，BD ，直接写出BE 的长度（用含a ，b 的式子）∵ABC 为等腰直角三角形，∴AB AC ， 又∵BD CD ，即：=90BDC ，∴A 、B 在ABN 与ACE △中，AB AC ABN ACE BN CE，∴∴BAN BAE CAE BAE BAC ∴1122AME AMC S AE AM AN AM S S △△∴60AFB BAF ABF ，AB AF AC ，∵60BDA BEA ，∴A 、D 、E 、B 、F 五点共圆，则：13 ，24 ，60BEF AEB ，【答案】问题情境：见解析；问题解决：（1）102；（2）13522【分析】[问题情境]连结AC ，取AC 的中点O ，连结OB 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OD OA OC OB ，以此即可证明；[问题解决]（1）根据题意可得225AE AD DE ，由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、据圆周角定理以及正方形的性质可得45PDE PAE ，则PAE △为等腰直角三角形，设AP 长为a ，根据勾股定理列出方程，求解即可；（2）由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、P 四点共圆，过点O 作OG AD 于点G ，作OH 接OB 交O 于点P ，连接PB ，根据题意可得四边形MBNP 为矩形，则要求MN 的最小值，即求值，根据平行线的性质和中点的定义可得OG 为ADE V 的中位线，得1AG ，12OG ，同理可证四边形1【翻折】(1)如图1，将DEF 沿线段AB 翻折，连接CF ，下列对所得四边形ACBF 的说法正确的是平分CBF 、CAF ，②AB 、CF 互相平分，③12ACBF S AB CF 四边形，④A 、C 、B 、F 四点共圆．AB 垂直平分CF ，故②ABC ABF ACBF S S S 四边形1122AB AB FG 12AB CG 取AB 的中点O ，连接CO FO ，ABC ABF △、△均为直角三角形，∴OB OC OA OF ，∴A 、B 、F 四点共圆，故（）沿线段向左平移，∴AB CF ，CF BE 的中点，∴BE BD BF特殊情况分析：(1)如图1，正方形ABCD 中，点P 为对角线时针旋转ADC 的度数，交直线BC 于点Q ．小明的思考如下：连接DQ ，∵AD CQ ∥，90ADC DCQ ，∴ACQ DAC ∵90DPQ ，∴180DPQ DCQ ，∴点D P Q 、、PDQ PCQ DQP PCD∵在菱形ABCD 中BC AD ∥，180ADC DCQ ，DPQ ADC ，∵180DPQ DCQ ，∴点P C Q 、、、共圆，∴DQP ACD ，ACB PDQ ，∵AC 为菱形ABCD 的对角线，ACB ACD ，∴PDQ DQP ，∴ DP PQ ；（3）解：3PQ 或3．由于点P 为对角线AC 上一个动点，分两类情况讨论如下：所示：180302ADC ACD，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四边形中任意三个点确定一个圆，则 第四点在圆内 第四点在圆外 第四点在圆上
四点不共圆 四点不共圆 四点共圆
量一量
探究四点共圆的条件
分别测量上面各四边形的内角，如果过 某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其 相对的两个内角之间有什么关系？
D
A D A
B
C
B
C
∠A＋∠C=180°
∠B＋∠D=180°
A O
B
1 2
C
3 如图,A、B、 C、D、都是⊙O上的点,则正确的选项是（ B） （A）∠1+∠2＞∠A (B) ∠1+∠2=∠A (C) ∠1+∠2＜∠A (D)不能确定
D
发现：这两个四边形的对角互补
探究四点共圆的条件
猜想：如果一个四边形 四个顶点位于同一圆上， 那么这个四边形对角互补。
证明猜想
猜想：如果一个四边形四个顶点位于同 一圆上，那么这个四边形对角互补。
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证： ∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º
D
分类讨论
过任意四点能作一个圆么？
•四点在同一直线上
不能
•三点在同一条直线上，另一点不在这条 直线上 不能 •四点中任意三点都不在同一直线上
不确定
试一试
探究四点共圆的条件
图中给出了一些四边形，能 否过它们的四个顶点作一个圆？ 试一试！
D A D A D
A
B
C
B
C
B
C
思考
探究四点共圆的条件
你能用圆与点的位置关系解释这种现象么？
作一个圆需确定 圆心 和 半径
忆一忆
过一个点可以作 无数个圆 过两个点可以作 无数个圆 过三个点
分类讨论
若三点在ห้องสมุดไป่ตู้一直线上 若三点不在同一直线上
不能作圆
确定一个圆
回顾思考
不在同一直线上的三点确定一个圆的方法：
确定圆心 （垂直平分线的交点）
确定半径 （圆心到任意一点的长）
探究四点共圆的条件
一个条件：四点共圆的条件。
一种思想：从特殊到一般的思想。
我会做
2、如图所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC= 100° ， 则∠BAC= 50 度，∠BDC= 130 度.
1、已知四边形ABCD四个顶点都在⊙O上，如果∠A= 115°， 150° ∠B= 30°，那么∠C=_____, 65° ∠D=______.
提示：利用圆周角定理证明
A
O
C B
证明猜想
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证：∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º D
证明： 连结OB、OD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
A
O
∴弧BAD和弧BCD所对圆心角之和是360°
∴
C B
∠A+∠C=180º
同理可证
B D 180
所以圆内接四边形的两对角互补
思考
如果过某个四边形的四个顶点不 能作一个圆，那么∠B+∠D与180º 有何 关系？
A A O· B C E D O· B E C F D
F
∠B+∠D < 180º
∠B+∠D > 180º
证一证
假设D点在圆内 延长AD与圆交于点E，连接CE。 则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E
∠A C´B +∠A C´D ＞ ∠ACB+ ∠ACD 所以 所以
∠BCD ＞∠B C´D ∠A+∠BC/D＞∠BCD + ∠A
A
D O·
B
E
C´ F C
又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上
∴ ∠A + ∠B C´D = 180° ∴∠A+∠BCD＜180°
由上面的探究，你能归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一 个圆的条件吗？
对角互补的四边形的四个顶点共圆
通过我们的证明我们知道：
四边形的对角之和小于180º ， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。 四边形的对角之和大于180º ， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。
四边形的对角之和等于180º （对角互补），四边形的四个顶 点 位于同一圆上。
这节课你有什么收获？
一个方法：类比操作的方法。
E
C
D
B
∴∠B+∠ADC >180º .
这与已知条件∠B+∠ADC=180º 矛盾，故假 设不成立，D点不在圆内. 另一种D点在圆外的情况证明同理可证. 即当四边形的两对角和是180°时，其四个顶点在同一个 圆上
A
连接AC交⊙O与点C´，连接BC´和DC´
有
∠A C´B ＞∠A C B
∠A C´D ＞∠A C D