《圆的标准方程》教学设计

《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

《圆的标准方程》是在认识《直线与方程》等知识的基础上对解析几何进一步深入认识，提高学生运用坐标法、几何法、数形结合的思想研究解析几何的能力，为后来进一步学习圆锥曲线奠定基础。

圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。

在义务教育阶段，学生已经学习了圆的定义和一些性质。前面又刚刚学习了直线的方程，接触解析几何也有一段时间，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。还有我校学生普遍计算能力较弱，对于解析几何中将几何问题转化为代数问题，计算环节上常常会出现困难。

另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强，课堂上应尽量给学生自主思考的时间，以及合作交流的机会。

二、教学目标

1、掌握圆的标准方程；能够根据圆的标准方程写出圆心和半径；能够根据条件求出圆的标准方程；

2、进一步培养学生利用代数方法解决几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解和对待定系数法的运用；

3、通过学生的自主学习和探索，培养学生自主学习的能力；培养学生研究

问题的能力和对问题敏锐、细致的观察能力；提高学生“应用”数学的能力和“应用”数学的意识。

三、教学重点与难点

教学重点：圆的标准方程及其应用。

教学难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程.

四、授课类型：新课

五、课时安排：1课时

六、教学方法：引导、探究

七、教学准备：直尺、圆规、多媒体

八、教学过程

（一）新课引入

下图是一张心理测试的图片，让学生观察，回答看到了什么？

【设计意图】用一道心理学测试题来调动一下学生的积极性，调节一下课堂气氛。同时可以很快引出“圆”。

其实除去花纹，图中是一些圆组成的图形。

环节1<温故知新、引入新课>

提问学生：圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？圆的定义是什么？

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?——引出课题

（二）讲授新课

环节2<师生合作、探究新知>

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为

A a b，半径为r（其中a、b、r都是常数，0

(,)

r>）．设

M x y为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）(,)

==,由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

{}

P M MA r

22

x a y b r

-+-=

()()

化简可得：222

x a y b r

-+-=(1)

()()

【设计意图】适当的引导，让学生主动思考，逐步得出方程。

若点M(x,y)在圆上，则由上述过程知，点M的坐标满足方程（1）,反之，若点M x y的坐标满足方程（1），则说明点M与圆心A的距离为r，即点M在圆(,)

心为A的圆上。

【设计意图】类比直线方程的讲解，让学生感知方程与曲线的关系，即此处的方程与圆的关系。

于是把222

-+-=称为是圆心为A（a,b），半径长为r的圆的

x a y b r

()()

方程，把它叫做圆的标准方程。

环节3<热身练习、小试牛刀>

练习1、口答：说出下列各圆的圆心和半径

(1)

22(1)9y +-=（x-1） (2)

22(4)2y ++=（x-2） (3)

222(2)y m ++=（x+1） 【设计意图】刚刚认识了圆的标准方程，先让学生简单地由方程说出圆心和半径。

练习2、写出下列各圆的方程

(1)圆心在点C （-3,4），半径长为5

(2)圆心在点C （0,0），半径长为r

(3)经过点P （5,1），圆心在点C （8，-3）

(4)已知两点P(4,9),Q(6,3),以线段PQ 为直径的圆

【设计意图】通过口答渐进状态，然后让学生由一些简单的条件写圆的方程。题目设置，层层递进，后两道需要学生绕过一个小障碍得到答案，体会小小的成就感。

小结：

1、由圆的标准方程可知圆心坐标和半径长；

由圆心坐标和半径长可求出圆的标准方程；

2、圆心是圆的定位条件；半径是圆的定形 条件。

环节4<典例分析、新知应用>

例1：已知圆的方程是

22(2)(3)25x y -++=，试判断点1(5,7)M -，2M （-2，-1），3M （3，2）是否在这个圆上．

解：圆的标准方程是

22(2)(3)25x y -++=．

把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=，左右两边相等，点1M 的坐标适合圆的方程，所以点1M 在这个圆上；把点2M ，3M 的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=，左右两边不相等，点2M ，3M 的坐标不适合圆的方程，所以点2M ，3M 不在这个圆上．

【设计意图】本题让学生体会点在圆上，则点的坐标一定满足方程，反之，不满足。

追问：点2M ，3M 不在圆上，那在圆内还是圆外？

用点到圆心的距离来分析，得出2M 在圆内，3M 在圆外。

【设计意图】让学生进一步思考如果点不在圆上，则在圆内或圆外，如何判断呢？学生很自然地想到用点到圆心的距离和半径比较。

师生共同探究得出结论：

小结：设点),00y x M （到圆心（a,b ）的距离为d ，圆的半径长为r,则

d>r ⇔点在圆外⇔

22020)r b y a x >-+-（）（； d=r ⇔点在圆上⇔

22020)(r b y a x =-+-（）； d

2020)r b y a x <-+-（）（。 例2：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --,求它的外接圆的方程．

分析：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。 让学生动手画图，能否用学过的知识画出该三角形的外接圆？

教师适时适当引导点拨。

【设计意图】本道题想通过让学生画图，回忆初中关于圆的知识，思考如何画出