高中数学 圆的标准方程教案

第

四章 圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方

程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程：

1、情境设置

：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件

r = ①

化简可得：222

()()x a y b r -+-= ②

引导学生自己证明2

2

2

()()x a y b r -+-=为圆的

方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222

()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

（1）22

00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22

00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）22

00()()x a y b -+-<2r ，点在圆内

例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用

待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，

所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等

于CA 或CB 。

（教师板书解题过程。）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本130p 习题4.1第2、3、4题 教学反思：

4.1.2圆的一般方程

三维目标：

知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数

特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待

定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x 2＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解

决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，

勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件

确定方程中的系数，D 、E 、F ．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞

教 具：多媒体、实物投影仪王新敞

教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．

把圆的标准方程展开，并整理：

x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．

取2

2

2

,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得

022=++++F Ey Dx y x ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得

4

4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示

圆？

(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2

E

）为圆心,

F E D 42

1

22-+为半径的圆； （2）当042

2

=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2

E y -=，即只表示一个点（-2D ，

-2

E

）; （3）当042

2<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞

综上所述，方程02

2=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆王新敞

只有当042

2>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如02

2=++++F Ey Dx y x 的表示

圆的方程称为圆的一般方程王新敞

()2

2

14x y ++=

我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究：

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

()()2222

14441290

244412110

x y x y x y x y +-++=+-++= 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于()2214441290x y x y +-++=来说，这里的

9

1,3,4

D E F =-==而不是D=-4,E=12,F=9.

例2：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程王新敞

解：设所求的圆的方程为：02

2=++++F Ey Dx y x

∵(0,0),(11

A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，

即??

?

??=+++=+++=02024020

F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D 王新敞

∴所求圆的方程为：0682

2=+-+y x y x 王新敞

542

122=-+=

F E D r ；32,42-=-=-F

D 王新敞

得圆心坐标为（4，-3）.

或将0682

2

=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(2

2=++-y x ,从而求出圆

的半径5=r ，圆心坐标为(4,-3) 王新敞

学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： ①、根据提议，选择标准方程或一般方程；

②、根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； ③、解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程。

例3、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2

2

14x y ++=运动，求线段AB

的中点M 的轨迹方程。

分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程()2

2

14x y ++=。

建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程。 解：设点M 的坐标是（x,y ）,点A 的坐标是

()()00,.B 43M AB x y 由于点的坐标是，

且是线段的重点，所以

000043

,,

22

24,23x y x y x x y y ++=

==-=-于是有 ① 因为点A 在圆()2214x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程()2

214x y ++=,即

()2

20014x y ++= ()

2

2

0014x y ++= ②

把①代入②，得

130p

()()

2

2

241234,

x y -++-=2

2

312y ???

?+-= ? ????

?3整理，得x-2

M ??

???

33所以，点的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆22

课堂练习：课堂练习130p 第1、2、3题 小结 ：

1．对方程02

2=++++F Ey Dx y x 的讨论(什么时候可以表示圆) 王新敞

2．与标准方程的互化王新敞

3．用待定系数法求圆的方程王新敞

4．求与圆有关的点的轨迹。

课后作业：130p 习题4.1第2、3、6题

教学反思：

4.2.1 直线与圆的位置关系

一、教学目标 1、知识与技能

（1）理解直线与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法

设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2

,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．

三、教学设想

教学反思：

4.2.2 圆与圆的位置关系

一、教学目标 1、知识与技能

（1）理解圆与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；

（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

二、教学重点、难点：

重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．三、教学设想

教学反思：

4.2.3 直线与圆的方程的应用

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；

（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．

二、教学重点、难点：

重点与难点：直线与圆的方程的应用．

三、教学设想

教学反思：