人教版圆的标准方程教案

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高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三

高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三

高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标:1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。

通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。

2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。

4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。

5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求:在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。

在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。

2.能力培养:能运用数学概念、思想方法,辨明数学关系,形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据,并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题,并进行交流,形成数学的意思;从而通过独立思考,会从数学的角度发现和提出问题,进行探索和研究。

3.思想教育:培养高一学生,学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度,勇于探索创新的精神,及欣赏数学的美学价值,并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。

高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作,两班学生共有120人,初中的基础参差不齐,但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好,很多学生不能正确评价自己,这给教学工作带来了一定的难度,为把本学期教学工作做好,制定如下教学工作计划。

高二数学 7.6圆的方程(第一课时)大纲人教版必修

高二数学 7.6圆的方程(第一课时)大纲人教版必修

7.6 圆的方程课时安排3课时从容说课圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程,其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点,且可互化.所以通过对本节的学习,应熟练掌握圆的三种方程,并能相互灵活转化.在初中几何课中己学习过圆的性质,这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.●课题§7.6.1 圆的方程(一)●教学目标(一)教学知识点圆的标准方程.(二)能力训练要求1.掌握圆的标准方程;2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.(三)德育渗透目标1.渗透数形结合思想;2.培养学生的思维素质;3.提高学生的思维能力.●教学重点已知圆的圆心为(a,b),半径为r,则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地,a=b=0时,它表示圆心在原点,半径为r的圆:x2+y2=r2.●教学难点根据条件,利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r,从而求出圆的标准方程.●教学方法引导法引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.●教具准备投影片两张第一张:§7.6.1 A第二张:§7.6.1 B例:如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的高度.(精确到0.01 m).●教学过程Ⅰ.课题导入我们知道,平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点就是圆心,定长就是半径.那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?Ⅱ.讲授新课(打出投影片§7.7.1 A)请同学们试着来求一下圆心是C (a ,b ),半径是r 的圆的方程. [师](引导学生分析):根据圆的定义,不难得出圆C 就是到圆心C (a ,b )的距离等于定长r 的所有点所组成的集合.[师]这个集合是怎样的一个集合呢?是否可用数学语言把它描述出来?[生]圆C 就是集合P ={M ||MC |=r }.[师]这样的话,不妨设M (x ,y )是圆上任意一点,由两点间的距离公式,点M 适合的条件可表示为……[生](回答):r b y a x =-+-22)()(.[师]整理此式,可得到……[生](x -a )2+(y -b )2=r 2.[师]这个方程就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点,这时a =0,b =0,则圆的方程是……[生]x 2+y 2=r 2.[师]看来,只要已知圆心坐标和半径,便可写出圆的标准方程.下面,我们看一些例子.[例1]求以C (1,3)为圆心,并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程.分析:要想写出圆的方程,需知圆心坐标和半径,圆心为C (1,3),而半径需根据已知条件求得,因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切,所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离,而后可写出圆C 的方程.解:已知圆心是C (1,3),∵圆C 和直线3x -4y -7=0相切,∴半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.由点到直线距离公式,可得r =516)4(3734132=-+-⨯-⨯. ∴所求的圆的方程是(x -1)2+(y -3)2=25256. [例2]已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M (x 0,y 0)的切线的方程.分析:欲求过M 的直线方程,只要求出此直线斜率即可.解:设切线的斜率为k ,半径OM 的斜率为k 1,∵圆的切线垂直于过切点的半径,∴k =-11k . ∵k 1=00x y .∴k =-00y x .∴经过点M 的切线方程是:y -y 0=-00y x (x -x 0),整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.又∵点M (x 0,y 0)在圆上,∴x 02+y 02=r 2.∴所求切线方程是x 0x +y 0y =r 2.当点M 在坐标轴上时,切线方程为: x =x 0或y =y 0.可看出上面方程也同样适用.(打出投影片§7.7.1 B)[例3]这是一实际应用例子.分析:首先我们应建立恰当的坐标系,将这一问题转化为数学问题.解:建立坐标系,圆心在y 轴上,设圆心的坐标是(0,b ),圆的半径是r ,那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2.∵P 、B 都在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解.∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得:b =-10.5,r 2=14.52∴圆方程为:x 2+(y +10.5)2=14.52.把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程,得(-2)2+(y +10.5)2=14.52,∵P 2的纵坐标y >0∴y +10.5=22)2(5.14--即y =22)2(5.14---10.5≈14.36-10.5=3.86 (m)答:支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.Ⅲ.课堂练习[生]课本P 77,练习1,2,3,4.1.写出下列各圆的方程:(1)圆心在原点,半径是3;解:x 2+y 2=9.(2)圆心在点C (3,4),半径是5;解:(x -3)2+(y -4)=5.(3)经过点P (5,1),圆心在点C (8,-3)解:r =|PC |=5)31()85(22=++-圆方程为:(x -8)2+(y +3)2=252.已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x +3y -70=0相切,求圆的方程.解:∵圆的半径r 为原点到直线4x +3y -70=0的距离. ∴r =14347022=+.∴圆方程为:x 2+y 2=196.3.写出过圆x 2+y 2=10上一点M (2,6)的切线的方程. 解:利用例2结论可得:切线方程为2x +6y =10.4.已知圆的方程是x 2+y 2=1,求:(1)斜率等于1的切线的方程.(2)在y 轴上截距是2的切线的方程.解:(1)设切点坐标为M (x 0,y 0)则k OM =-1=0x y又∵x 02+y 02=1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222222220000y x y x 或∴切线方程为y +22=x -22或y -22=x +22即:y =x ±2.(2)设切点M (x 0,y 0),切线与y 轴交点B (0,2)则:k OM ·k BM =-1 即00002x y x y -⋅=-1x 02+y 02-2y 0=0又∵x 02+y 02=1(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 [例3] ∴或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222200x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222200x y ∴切线方程为y =±x +2.Ⅳ.课时小结 通过本节学习,首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.其次,根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.另外,还要会变通一些条件,从而求得圆的半径或圆心坐标,以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程为:x 0x +y 0y =r 2.最后,还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 81习题7.6 1,2,3,4.(二)1.预习内容:课本P 77~792.预习提纲:(1)圆的一般方程有何特点?(2)圆的标准方程和圆的一般方程如何互化?●板书设计§7.6.1 圆的方程(一)一、圆的标准方程[例1][例2]。

人教版高中数学必修2-4.1《圆的标准方程》教学设计

人教版高中数学必修2-4.1《圆的标准方程》教学设计

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程(熊用兵)一、教学目标(一)核心素养通过本节课的学习,掌握圆的定义,并根据此定义得出圆的标准方程.(二)学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程,会利用条件求圆的标准方程.(三)学习重点利用各种条件求圆的标准方程.(四)学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务读一读:阅读教材第118页到119页,填空:确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径;圆心为点(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测(1)圆心在点(1,2),半径为5的圆的标准方程为( )A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===,代入标准方程得:22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程,明确各字母的具体含义.【答案】D(2)若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上,则实数a =( )A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件,将点M 的坐标代入圆的方程得21a =,故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C :222()()x a y b r -+-=的位置关系:(1)点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=;(2)点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<;(3)点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->;【答案】B(3)已知点(1,1),(1,1)A B --,则以线段AB 为直径的圆的标准方程为( )A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径,所以圆心为(0,0),半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C(二)课堂设计1.知识回顾:(1)在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些?两点可以确定一条直线;一点和倾斜角可以确定一条直线;横、纵截距可以确定一条直线等等.(2)直角坐标平面中两点间的距离公式:设点1122(,)(,)A x y B x y 、,则这两点间2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中,如何确定一个圆?显然,当圆心位置和半径大小确定后,这个圆也就唯一确定了.因此,确定一。

数学:7.7.1 圆的标准方程(一)教案(旧人教版高二上)

数学:7.7.1 圆的标准方程(一)教案(旧人教版高二上)

7.7。

1 圆的标准方程(一)教学要求:理解圆的轨迹定义,掌握简单条件下求圆的标准方程,掌握圆与点、直线的位置关系。

教学重点:掌握圆的标准方程。

教学过程:一、复习准备:求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0个3x2+3y2+2x+y=0的交点的直线方程。

分析:用曲线系解答,即设过交点的曲线为F1(x,y)+λF2(x,y)=0二、讲授新课:1。

教学标准方程:①回顾:圆是怎样定义的?(平面内到定点的距离等于定长的点的集合)②出示例:求以(a,b)为圆心,r为半径为圆的方程.③学生试讲述解答过程。

④提出定义:圆的标准方程。

⑤指出下列圆的圆心的坐标、半径:(x+1)2+(y-2)2=4 (x+3)2+(y+1)2=m2(2x+1)2+(2y-2)2=4⑥写出下列已知条件的圆的标准方程: 圆心在(0,0),半径为r;圆心在(-3,4),半径为5; 圆心在(0,-2),且与x轴相切。

⑦出示例:已知P1(4,—9)和P2(-6,1),求以P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(—1,6)、N(5,10)、Q(-3,—10)与它的位置关系。

⑧学生试练→订正→小结。

⑨出示例:求以点C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-1=0相切的圆的方程。

⑩先由学生分析思路→试练→讨论其他解法。

2.练习:求下列各圆的标准方程:①与圆(x-2)2+(y+3)2=2同心,且过点(—1,1)②以点(0,2)为圆心,且与直线y=x相切③以A(2,5)、B(-4,1)为直径三、巩固练习:1。

求过点A(—1,3)、B(—6,-2),圆心在直线x-y-4=0上圆。

2。

已知圆C1:(x-1)2+(y-3)2=1,C2:(x-3)2+(y-1)2=9,直线L:3x+4y-9=0,判别C1与C2、C1与L的位置关系。

3。

课堂作业:书P77 2、3、4题。

人教版高中数学教案圆的标准方程

人教版高中数学教案圆的标准方程

人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标:1. 理解圆的标准方程的概念和意义。

2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。

3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。

教学内容:1. 圆的标准方程的定义和意义。

2. 圆的标准方程的推导过程。

3. 圆的标准方程的应用实例。

教学步骤:第一章:圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念:引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念,复习圆的性质和特点。

1.2 圆的标准方程的定义:介绍圆的标准方程的定义,解释圆的标准方程的意义。

1.3 圆的标准方程的意义:引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用,以及它在实际问题中的应用。

第二章:圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程:介绍圆的参数方程的概念,引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。

2.2 圆的标准方程的推导:引导学生通过转化思想,将圆的参数方程转化为标准方程。

2.3 圆的标准方程的简化:引导学生学会简化圆的标准方程,理解圆的标准方程的不同形式。

第三章:圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质:引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质,如半径、直径等。

3.2 圆的方程与圆的位置关系:引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系,如相离、相切等。

3.3 圆的方程与圆的面积:引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积,理解圆的面积与半径的关系。

教学评价:1. 通过课堂讲解和练习,评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。

2. 通过课后作业和练习题,评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。

3. 通过小组讨论和问题解答,评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。

教学资源:1. 教学PPT:制作精美的教学PPT,展示圆的标准方程的概念和意义,以及推导和应用过程。

2. 练习题库:准备丰富的练习题库,包括不同难度和类型的题目,以供学生课后练习和巩固知识。

3. 教学案例:提供一些与圆的标准方程相关的实际案例,引导学生将理论知识应用于实际问题中。

最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教学设计

最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教学设计

教学设计4.1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1.教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线,而且是一种对称、和谐的图形,具有很多优美的几何性质.本节内容首先通过圆的定义,求解圆的标准方程,进而变化出圆的一般方程,其次运用代数的方法探讨直线与圆,圆与圆的位置关系,进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解.2.教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.本节内容安排在学生学习直线方程之后,旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系,为后继学习做好准备.同时有关圆的问题,特别是圆和直线的位置关系问题,是解析几何的基本问题.这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.圆的方程也属于解析几何学的基础知识,是研究二次曲线的开始,对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习,无论在知识上还是方法上都有积极的意义.所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用.3.学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质,在高中又掌握了求直线方程的一般方法,但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质,而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅,尚未建立牢固的数形结合的思想,对于解析法运用还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探索问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.4.教学目标(1)知识目标:①在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;②会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.(2)能力目标:①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;③增强学生用数学的意识.(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.5.教学重点、难点(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.二、教法分析高一学生,在教师的引导下,已经具备一定探究与研究问题的能力.所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性,采用对比、启发、探究等方式,师生共同探讨,共同参与、共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采取小组讨论法,向学生提供具备启发性和思考性的问题.因此,要求学生在课堂上小组讨论,然后小组汇报讨论成果,提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力.因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上,再对圆进行代数研究.针对学生的学习过程、认知水平,在遵循参与式教学的基础上,调动全班学生积极参与,认真思考,努力体现学生学习的主体性地位.在学习过程中让学生积极思考,动手计算,不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”,养成主动性的学习习惯.三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力.因此,要求学生在学习中遇到问题时,不要急于求成,而是通过求圆的标准方程,理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过推导圆的标准方程,加深用解析法求轨迹方程的理解.还要会根据问题提供的信息回忆所学知识,采用转化思想、数形结合的思想,选择最佳方案解决.四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上,应发挥主观能动性,对教材资源进行再加工、再创造,这样教学方法更有利于学生的认知结构,也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程.(二)、在整个教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机结合起来,教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境,动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会,激发学生求知欲望,促使学生在不知不觉中掌握知识,解决问题.(三)、培养思维,提高能力,激励创新在问题的设计中,利用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生注意,使能力与知识的形成相伴而行.五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用.首先,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.本节课设计了六个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。

高二数学圆的标准方程教案 人教版 教案

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高二数学圆的标准方程教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程.(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导,培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力.(三)学科渗透点圆基于初中的知识,同时又是初中的知识的加深,使学生懂得知识的连续性;通过圆的标准方程,可解决一些如圆拱桥的实际问题,说明理论既来源于实践,又服务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育.二、教材分析1.重点:(1)圆的标准方程的推导步骤;(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程.(解决办法:(1)通过设问,消除难点,并详细讲解;(2)多多练习、讲解.)2.难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.(解决办法:使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意,再建立适当的直角坐标系,使圆的标准方程形式简单,最后解决实际问题.)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读.四、教学过程(一)复习提问前面,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答?问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆?平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆).问题2:图2-9中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?求曲线方程的一般步骤为:(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意点M的坐标,简称建系设点;图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|},简称写点集;(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式,简称化简方程;(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明.其中步骤(1)(3)(4)必不可少.下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.(二)建立圆的标准方程1.建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为C是定点,可设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).2.写点集根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r}.3.列方程由两点间的距离公式得:4.化简方程将上式两边平方得:(x-a)2+(y-b)2=r2. (1)方程(1)就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程.这时,请大家思考下面一个问题.问题5:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要a,b,r 三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决.(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程:(请四位同学演板)(1)圆心在原点,半径是3;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.教师纠错,分别给出正确答案:(1)x2+y2=9;(2)(x-3)2+(y-4)2=5;指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5;(2)(x+4)2+(y+3)2=7;(3)(x+2)2+ y2=4教师指出:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径.例3 (1)已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程;(2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?解(1):分析一:从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可用待定系数解决.解法一:(学生口答)设圆心C(a,b)、半径r,则由C为P1P2的中点得:又由两点间的距离公式得:∴所求圆的方程为:(x-5)2+(y-6)2=10分析二:从图形上动点P性质考虑,用求曲线方程的一般方法解决.解法二:(给出板书)∵直径上的四周角是直角,∴对于圆上任一点P(x,y),有PP1⊥PP2.化简得:x2+y2-10x-12y+51=0.即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程.解(2):(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离:因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.这时,教师小结本题:1.求圆的方程的方法(1)待定系数法,确定a,b,r;(2)轨迹法,求曲线方程的一般方法.2.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d,圆半径为r:(1)点在圆上d=r;(2)点在圆外d>r;(3)点在圆内d<r.3.以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到).此例由学生阅读课本,教师巡视并做如下提示:(1)先要建立适当直角坐标系,使圆的标准方程形式简单,便于计算;(2)用待定系数法求圆的标准方程;(3)要注意P2的横坐标x=-2<0,纵坐标y>0,所以A2P2的长度只有一解.(四)本课小结1.圆的方程的推导步骤;2.圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)轨迹法.五、布置作业1.求下列条件所决定的圆的方程:(1)圆心为 C(3,-5),并且与直线x-7y+2=0相切;(2)过点A(3,2),圆心在直线y=2x上,且与直线y=2x+5相切.2.已知:一个圆的直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).证明:圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.3.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.4.赵州桥的跨度是,圆拱高约为,求这座圆拱桥的拱圆的方程.作业答案:1.(1)(x-3)2+(y+5)2= 322.因为直径的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得:x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04.如图2-11建立坐标系,得拱圆的方程:≤y≤0)六、板书设计。

圆的标准方程

圆的标准方程

《圆的标准方程》教学设计人教版高二上学期数学必修2《圆的标准方程》教学设计课标依据本节是普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》第四章第一节的内容。

本章将学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究直线与圆、圆与圆的位置关系,体会数形结合的思想。

圆是学生比较熟悉的曲线,在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及直线方程内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与直线的位置关系及应用同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定基础。

可以说本节在教材中起到了承上启下的作用。

学情分析学生在初中已经对圆的概念以及圆的性质有所了解,而在前一章直线的方程中又学习了建立平面直角坐标系求直线的方程,这为本节课的学习做好的铺垫。

但学生接触解析几何的时间不长,学习的程度较浅,故在学习本节内容也会遇到一定的困难。

设计思路本节以生活中常见的实例—圆作为研究对象,因为已经有了前面直线的相关知识做铺垫,因此学生在探究过程中不会遇到太大的障碍,在合作探究的基础上基本能完成导学案。

本节主要采取的是启发式教学和问题—探究式的教学方法。

教学目标1、知识与技能(1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

(2)会用待定系数法求圆的标准方程。

2、过程与方法(1)培养学生用坐标法研究几何问题的能力(2)使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解。

3、情感态度与价值观目标(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识;(2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

教学重难点及突破方法教学重点:(1)圆的标准方程的推导步骤;(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程。

突破方法:(1)通过设问,突破难点,并详细讲解;(2)多多练习、讲解。

教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。

运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。

突破方法:使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意,再建立适当的直角坐标系,使圆的标准方程形式简单,最后解决实际问题。

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圆的标准方程
教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标
1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;
2. 通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法,提高学生运算能力、逻辑思维能力.
(三)情感目标
充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点
圆的标准方程的应用。

教学过程
Ⅰ.复习提问、引入课题
师:前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。

请同学们考虑:如何求适合某种条件的点的轨迹?
生:①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y);
②写出适合某种条件p的点M的集合P={M ︳p(M)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。

⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。

[多媒体演示]
师:这就是建系、设点、列式、化简四步曲。

用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。

[给出标题]
师:前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:x2+y2=52即x2+y2=25.
若半径发生变化,圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程?
生:x2+y2=r2.
师:你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?
生:圆上的任一点到圆心的距离等于半径。

即,亦即 x2+y2=r2. 师:x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊:圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图),方程又是怎样的?
生:此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合,
由两点间的距离公式得
即:(x-a)2+(y-b)2= r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师:方程(x-a)2+(y-b)2= r2叫做圆的标准方程.
特别:当圆心在原点,半径为r时,圆的标准方程为:x2+y2=r2.师:圆的标准方程由哪些量决定?
生:由圆心坐标(a,b)及半径r决定。

师:很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。

由此可见,要确定圆的方程,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、写出下列各圆的标准方程:[多媒体演示]
①圆心在原点,半径是3 :________________________
②圆心在点C(3,4),半径是:______________________
③经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3):_______________________
2、变式题[多媒体演示]
①求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

答案:(x-1)2 + (y-3)2 =
②已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。

答案: C(a,0), r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
[例1]已知圆的方程是 x2+y2=17,求经过圆上一点P(,)的切线的方程。

师:你打算怎样求过P点的切线方程?
生:要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。

师:斜率怎样求?
生:。

师:已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)
生:切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1=,所以切线的斜率 K=-=-
所以所求切线方程:y-= -(x-)
即:x+y=17 (教师板书)
师:对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想?
生:。

师:由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P(,)有何关系?
(若看不出来,再看一例)
[例1/]圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。

答案:2x+3y=13 即:2x+3y-13=0
师:发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)
生:分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。

师:若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(x o,y o),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!
生:x o x+y o y=r2.
师:这个猜想对不对?若对,可否给出证明?
生:。

[例2]已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点P(x o,y o)的切线的方程。

解:如图(上一页),因为切线与过切点的半径垂直,故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径OP的斜率 K1=,∴切线的斜率 K=-=-
∴所求切线方程:y-y o= -(x-x o)
即:x o x+y o y=x o2+y o2亦即:x o x+y o y=r2. (教师板书)
当点P在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。

归纳总结:圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标x o、y o替换,可得到切线方程
[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M,拱高OP=4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度。

(精确到0.01M)
引导学生分析,共同完成解答。

师生分析:①建系;②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。

解:以AB所在直线为X轴,O为坐标原点,建立如图所示的坐标系。

则圆心在Y轴上,设为
(0,b),半径为r,那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上,于是得到方程组:
解得:b=-10.5 ,r2=14.52
∴圆的方程为 x2+(y+10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y>0
得:y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答:支柱A2P2的长度约为3.86M。

Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本P77练习2,3
师:通过本节学习,要求大家掌握圆的标准方程,理解并掌握切线方程的探求过程和方法,能运用圆的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P(x o,y o)在圆(x-a)2+(y-b)2= r2上时,試求过P点的圆的切线方程。

课本P81习题7.7 : 1,2,3,4
(二)预习课本P77~P79。

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