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电磁感应中双杆模型问题

一、 在竖直导轨 上的“双杆滑动”问题

1.等间距型

如图 1 所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒

a 和

b 和

导轨紧密接触且可自由滑动，先固定 a ，释放 b ，当 b 速度达到 10m/s 时，再释放 a ，经 1s 时间 a

的速度达到 12m/s ，则：

A 、 当 va=12m/s 时， vb=18m/s

B 、当 va=12m/s 时， vb=22m/s

C 、若导轨很长，它们最终速度必相同

D 、它们最终速度不相同，但速度差恒定

【解析 】因先释放 b ，后释放 a ，所以 a 、 b 一开始速度是不相等的，而且 b 的速度要大于 a 的速度，这就使 a 、 b 和导

轨所围的线框面积增大，使穿过这个线圈的磁通量发生变化，使线圈中有感应电流产生，利用楞次定律和安培定则判

断所围线框中的感应电流的方向如图所示。 再用左手定则判断两杆所受的安培力，

对两杆进行受力分析如图 1。开始两

者的速度都增大，因安培力作用使

a 的速度增大的快，

b 的速度增大的慢，线圈所围的面积越来越小，在线圈中产生了

感应电流；当二者的速度相等时，没有感应电流产生，此时的安培力也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作 用下向下做加速度为 g 的匀加速直线运动。

在释放 a 后的 1s 内对 a 、 b 使用动量定理，这里安培力是个变力，但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的，

设在 1s 内它的冲量大小都为 I ，选向下的方向为正方向。

当 棒先向下运动时，在

和 以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是

棒受到向下的安培力， 棒受到向

上的安培力，且二者大小相等。释放

棒后，经过时间 t ，分别以

和

为研究对象，根据动量定理，则有：

对 a 有： ( mg + I ) t ·=m v a0,

对 b 有： ( mg － I ) t ·= m v b － m v b0

联立二式解得： v b = 18 m/s ，正确答案为： A 、 C 。

在 、 棒向下运动的过程中， 棒产生的加速度

， 棒产生的加速度 。当 棒的

速度与 棒接近时，闭合回路中的

逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐

渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为 g 的匀加速运动。

2.不等间距型

图中

a 1

b 1

c 1

d 1

和

a 2

b 2

c 2

d 2

为在同一竖直平面内的金属导轨， 处在磁感应强度为

B 的匀强磁场中，

磁场方向垂直导轨所在的平面 ( 纸面 ) 向里。导轨的

a 1b

1 段与 a 2b

2 段是竖直的．距离为小 l 1 ，c 1d

1

段与

c 2

d 2

段也是竖直的，距离为 l 2 。

x 1

y 1

与

x 2

y 2

为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细

杆，质量分别为

m 1

和

m 2

，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回

路的总电阻为 R 。F 为作用于金属杆 x 1 y 1

上的竖直向上的恒力。 已知两杆运动到图示位置时，

已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

(04 全国 2) 【解析 】设杆向上运动的速度为 v ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小 E B(l 2 l 1) v

①

回路中的电流

I

E

R

②

电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆

x 1 y 1

的安培力为

f 1

Bl 1 I

③

方向向上，作用于杆

x 2 y 2

的安培力

f 2

Bl 2 I

方向向下。当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有

F m 1 g m 2 g f 1

f 2

⑤

解以上各式，得

I

F

(m 1 m 2 ) g

B(l 2 l 1)

⑥

v

F

(m 1 m 2 ) g R

B 2 (l 2 l 1 )2

⑦

作用于两杆的重力的功率的大小

P

(m 1 m 2 ) gv

⑧

电阻上的热功率

Q I 2 R

⑨

由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得

P

F

( m 1 m 2 ) g R(m 1 m 2 ) g

B 2 (l 2 l 1 )2

2

Q

F (m 1

m 2 ) g

B(l 2

l 1)

R

二、在 水平导轨 上的“双杆滑动”问题

一、等间距水平导轨，无水平外力作用

（安培力除外）

够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为

l ，导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd ，构成

矩形回路，如图 2 所示，两根导体棒的质量皆为

m ，电阻皆为 R ，回路中其余电阻不计，整个导轨平面内都有竖直向

上的匀强磁场，磁感应强度为 B ，设两导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行，开始时棒

cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速

度 v 0, 若两导体棒在运动中始终不接触，求：

1、运动中产生焦耳热最多是多少？

2、当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时， cd 棒的加速度是多少？

【解析 】ab 棒向 cd 棒运动时， 两棒和导轨构成的回路的面积变小， 穿过它的磁通量也变小， 在回路中产生了感应电流，用楞次定律和安培定则判断其方向如图 3 所示，又由左手定则

可判断 ab 棒受到的与运动方向相反的安培力作用，

作减速运动， cd 棒受到安培力作用作加

速运动，在 ab 棒速度大于 cd 棒的速度时，两棒间的距离总会减小，回路中总有感应电流， ab 会继续减速， cd 会继续

加速，当两棒的速度相等时，回路的面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒此时不受安培力作用，以相同的速度向右作匀速直线运动。

1、从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒组成的系统受外力之和为零，系统的总动量守恒，有：

mv 0 = 2mv ，

所以最终作匀速直线运动的速度为：

v = v 0 /2

两棒的速度达到相等前，两棒机械能不断转化为回路的电能，最终电能又转化为内能。两棒速度相等后，两棒的机械能不变化，根据能量守恒定律得整个过程中产生的焦耳最多时是两棒速度相等时，而且最多的焦耳热为两棒此时减小的机械能：

Q

1

mv 02

1

(2 m)v

2

1

mv 02

2

2

4

2、设 ab 棒的速度变为初速度的

3/4 时， cd 棒的速度为 v ' ，又由动量守恒定律得：

mv 0

m 3

v 0 mv '（ 1）

4

因 ab 和 cd 切 割 磁 感 线 产 生 的 感 应 电 动 势 方 向 相 反 ， 所 以 此 时 回 路 中 的 感 应 电 动 势 为 ：