中位线与面积

中位线与面积

〖知识点〗

平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折） 〖考查要求〗

1． 掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一

边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理； 2． 使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的

面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；

3． 使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。 〖考查重点与常见题型〗

1． 考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应

用，如：

一个等腰梯形的周长是100cm ，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是 2． 考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：

三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米2

3． 考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现 〖预习练习〗

1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ） （A ） 矩形 （B ）等腰梯形 （C ）菱形 （D ）正方形

2．在四边形ABCD 中，AC ＝BD ，厘米顺次连结四边形ABCD 各边中点所得的四边形一定是（ ）

（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）菱形

3．正方形的对角线的长为6cm ，则正方形的面积是 cm 2

4．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是15厘米2

，则两条对角线的长分别是 厘米和 厘米

5．一个三角形和一个梯形的面积相等，它们的高也相等，已知三角形德国底边为18厘米，厘米梯形的中位线的长等于 厘米

6．△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则S △ACD ＝ ＝1

2 ；若BD ：DC ＝3：2，

则S △ABD ：S △ACD ＝

考点训练：

1．等腰三角形腰长为2，面积为1，则顶角大小是（ ） (A) 90° (B) 30° (C) 60° (D) 45° 2．如图，G 是△ABC 的重心（三角形中线的交点）， 若S △ABC ＝6，则的面积是（ ） (A) 43 (B) 1 (C) 2 (D) 34

3．如图，AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,则图中和△ABD 面积相等的三角形个数（不包括△ABD ）

A

B

C

D

G A

B

C

D

E

为（ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

4. 矩形两邻边的长是4cm ，6cm ，顺次连结它的四边中点所得的四边形面积是______cm 2

. 5．若等边三角形的边长为a ，则它的面积为____________.

6．菱形的边长为5cm ，一条对角线长为8cm ，则它的面积是__________.

7．等腰梯形的中位线长为m ，且对角线互相垂直，则此梯形的面积为____.

8．四边形ABCD 为平行四边形，P,Q 分别是AD,AB 上的任意点，则S △PBC 与S △QCD 有什么关

系？它们与原平行四边形的面积之间有什么关系？

9．在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝5 5 ，AC ＝5，求∠A 的平分线的长。

10．如图,在△ABC 中，AD 为角平分线，CE ⊥AD ，F 为BC 中点， 求证：EF ＝1

2

(AB – AC).

解题指导：

1．已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 上的中线，E 是AD 中点，BE 的延长线交AC 于F 。求证：EF ＝1

3

BE.

2．已知：如图，△ABC 中，BD,CE 分别平分∠B 和∠C ，P 是DE 中点，过点P 作BC,CA,AB

的垂线，垂足分别为L,M,N ，求证：PL ＝PM+PN.

3．证明以梯形一腰的中点及另一腰的两个端点为顶点的三角形面积等于原梯形面积的一半。

4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，N 是AD 中点，M 是BN 中点，P 是MC 的中点。求证：S △MNP ＝1

8

S △ABC .

独立训练：

1． 如图，△ABC 中，DE ∥BC,且S △ADE ∶S △ABC ＝1∶2， 则AD ∶DB 等于（ ）。

(A) 12 (B) 1

2

(C) 2 – 1 (D) 2 + 1

2．已知三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边和为1＋ 3 ，

则此三角形面积为（ ）。 (A) 3 (B)

2 2 (C) 3

2

(D) 2 A B

C

D

E

F A

B C D F

E A B D

E

L

P M N

A

B

C

D

P

M

N A

B

C

E D

3．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝12，O 为对角线AC,BD 的交点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，则S △OCE ＝____________.

4. 已知∠POQ 内有一点A ，求作△ABC ，使△ABC 的周长最小，且顶点B,C 分别在OP,OQ

上。

5.如图，AB ＝DE ，直线AE,BD 相交于点O ，∠B 与∠D 相等， 求证：AO ＝EO.

6．如图，ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，过E 作EF ，使∠AEF ＝∠BAE ，EF 交BC 于，

求证：CF ＝2BF.

7．如图，在平行四边形ABCD 中,E 是BC 的中点，DE,AB 的延长线交于点F ，求证：S △ABE

＝S △EFC .

O

P A

B

D E O A B

C D E F A B

C D

E F