高等数学辅导材料

《高等数学》辅导材料

第一章、 函数与极限

1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域，两个函数相等的条件；

2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点；

3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是0x x →时的情况；

4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10)；

5、函数极限的运算；

6、极限存在定理；

7、两个重要极限；结构和使用方法 p23

8、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断（两类）

9、初等函数的连续性——5个性质

连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理；

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第二章、 导数与微分

1、 导数的定义0lim x y dy x dx ∆→∆=∆、导数的意义、

2、

函数的连续性与可导性的关系 3、 函数的求导法则

导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程函数求导法则、高阶导数

4、

微分的定义、几何意义 5、

微分的求法、微分形式不变性 6、 近似计算

'()(0)(0)f x f f x =-和'000()()()()f x f x f x x x =--

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第三章、 导数的应用

1、 中值定理—罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理；

注重他们的使用条件和特点

2、 罗比达法则

两个无穷小量之比的极限、两个无穷大量之比的极限、

未定型的极限 00010∞∞∞-∞∞g

3、函数性态的研究

2个定义、5个定理、三条渐近线

极值的定义、拐点的定义、1单调性定理、2极值的判断定理、3两个极值的判定定理、凹凸性的判定定理。水平渐近线、垂直渐近线、一般渐近线

4 、函数的最大值和最小值的计算 ___________________________________________________________________________________________

第四章、 不定积分

1、不定积分的定义—原函数族

()()f x dx F x c =+⎰

2、不定积分的意义—几何意义

3、不定积分的性质（5个）

4、不定积分的基本公式 16个

5、积分法

①、直接积分法；

②、换元积分法；凑微分法和换元法

③、分部积分法；降幂法和循环法

___________________________________________________________________________________________ 5、定积分及其应用

1、定积分的概念 定义：0lim ()()b

i i a f a x f x dx λ→∆=∑⎰、几何意义-曲边梯形面积 2、定积分的补充点；定积分只是一个纯数、与积分变量无关、()0a

a f x dx =⎰、

()()b

a

a b f x dx f x dx =-⎰⎰ 3、定积分的性质 7个

4、变动上线函数 ()()x

a Q x f t dt =⎰ 且有()()Q x f x '=

5、牛顿-莱布尼兹公式

()()()b a f x dx F b F a =-⎰ 要注意它的适应条件—只能在[],a b 这样的闭区间中使用。

7、

定积分的计算 实际上就是利用不定积分后带上下线，方法与不定积分行同。 8、

广义积分和无界函数积分 9、

定积分的应用（5个） A 、 平面图形的面积；直角坐标系下平面图形面积的计算— 4种情况；极坐标系下平面

图形面积的计算 2121()2s r d θθθθ=⎰ B 、

旋转体的体积 22()()b d

x y a c V y x dx V x y dy ππ==⎰⎰ C 、

函数的平均值 ()b a y f x dx =⎰ 就是积分中值定理 D 、

变力所做的功 ()b a W f x ds =⎰ E 、 液体的静压力 b

a F pds =⎰ __________________________________________________________

6、 空间解析几何

1、 空间直角坐标系 8个卦限 注意每一个卦限的坐标的表示 3个坐标平面 注意以坐标

平面对称的点表示。

2、

两点之间的距离 222212121()()()AB x x y y z z =-+-+- 3、

向量及坐标表示 AB xi yj zk =++r u u u v r r 、 单位向量 0a a a =r r r 4、 向量的数量积 ·cos(,)a b a b a b =r r r r r r g

g 数量积是一个实数、两个非零向量相互垂直的充分条件是0a b =r r g

10i i j j k k i j j k k i ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=r r r r r r r r r r r r

两个向量的夹角余弦 ·121212222222111222

cos(,)a b a b a b x y z x y z ==++++r r r g r r r g 5、 向量的向量积

大小 ·sin(,)c a b a b =⋅r r r r r 实质上是所构成的平行四边形的面积、 方向 c a b =⨯r r r 右手法则、

两个非零向量平行的充分条件是0a b ⨯=r r r 、或表示为 （两个非零向量平行的充