公共基础(数理化)精讲班第一章高等数学(七)-1531963616500

3.隐函数求导法
对方程0=),(y x F 两边关于自变量求导，将因变量的函数当复合函数对待，再解出y '则可。

或使用公式：x
y F dy dx F =-
【例题3-7】若)(x g y =由方程y e xy e +=确定，则(0)y '等于：
(A)y y
e -
(B)y y x e -+
(C)0 （D)1e
-
解：将0x =代入y e xy e +=，解得1y =。

再对y e xy e +=两边关于x 求导得， 0y e y y xy ''⋅++=，将一0,1x y ==代入得，(0)10ey '+=，解得1(0)y e
'=-。

应选D 。

如果用套公式的方法做，则(,),,y y x y F x y e xy e F y F e x =+-==+
x y y F dy y dx F e x
=-=-+，11(0)0y e e
'=-=-+。

4.参数方程求导法 设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，则()()dy t dx t ψϕ'='，)(/))()((22t t t dt d dx y d ϕϕψ'''=
【例题3-8】已知2arctan ln(1)
x t t y t =-⎧⎨=+⎩，则1t dy dx =等于 A.1
B.1-
C.2
D.12
解：222
2211dy t
dy dt t dx t dx t
dt t +===+，12t dy dx ==。

答案：C
5.微分计算 dx x f dy )('=
【例题3-9】函数21x x
y -=在x 处的微分是:
(A)dx x 23
2)1(1
-
(B)dx x 212-
(C)xdx
(D)dx x 2
11- 解:dx x dx y dy 23
2)1(1
-='=,故应选(A).
第三节 中值定理
1．罗尔定理：若函数)()(),(],[)(b f a f b a b a x f ＝内可导，上连续，在在，则存在
0)('),(=∈ξξf b a ，使。

2．拉格朗日中值定理（微分中值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在),,(b a ∈ξ使()()()f b f a f b a
ξ-'=-,或()()()()f b f a f b a ξ'-=-。

如果,a x b x x ==+∆，则有()()()y f x x f x f x ξ'∆=+∆-=∆。

3．推论如果在区间I 上,0)('=x f 则在区间I 上()f x ≡常数
【例题3-10】设()(1)(2)f x x x x =--，则方程()0f x '=的实根个数是：
A ．3
B.2
C.1
D.0
解：由条件知()f x 是三次多项式，且()0f x =有3个实根，故()f x '是二次多项式，至多2个实根。

再由罗尔定理，()0f x =的两根之间必有()0f x '=的一个根，所以()0f x '=有2个实根。

答案：B
【例题3-11】设()y f x =是(,)a b 内的可导函数，,x x x +∆是(,)a b 内的任意两点，则：
(A)()y f x x '∆=∆
(B)在,x x x +∆之间恰好有一点ξ，使()y f x ξ'∆=∆
(C)在,x x x +∆之间至少有一点ξ，使()y f x ξ'∆=∆
(D)在,x x x +∆之间任意一点ξ，均有()y f x ξ'∆=∆
解：因()y f x =在(,)a b 内可导，,x x x +∆是(,)a b 内的任意两点，故()f x 在[,]x x x +∆上连续，在
(,)x x x +∆内可导，
由拉格朗日中值定理，至少存在一点(,)x x x ξ∈+∆，使()()()f x x f x f x ξ'+∆-=∆，即()y f x ξ'∆=∆，应选（C ）。

第四节利用导数研究函数的性态
1. 函数的单调性
函数单调的判定：若在区间I 上，)(),0)('(0)('x f x f x f 则<>在该区间上单调增加（单调减少）。

【例题3-12】当0x >时，下列不等式中正确的是:
(A)1x e x <+
(B)ln(1)x x +>
(C)x e ex <
(D)sin x x >
解:记()sin f x x x =-，则当0x >时,()1cos 0f x x '=-≥，()f x 单调增，()(0)0f x f >=,故应选
(D).。