2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及解答
2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题(每小题8分，共64分)
1.设A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{|,,}B x y x y A x y =+∈≠，若
222{log 6,log 10,log 15}
B =，则集合A =________. 答案：22{1,log 3,log 5}
提示：设222{log ,log ,log }A a b c =，其中0.a b c <<<
则6,10,15.ab bc ad ===解得2,3,5a b c ===，从而22{1,log 3,log 5}A =。
2.函数 的最小值为 ，最大值为 ，则
________.
答案：
提示：设 ,则 且 ，∴ .
，令
， . 令 得 ， ， ， ∴ ， ，∴
.
3. ________. 答案：
提示：
.
4.已知向量 ， ， 满足 ，且 ，若 为 ， 的
夹角，则 ________. 答案：
提示：∵ ∴ ∴ ∵ ∴
又∵ ∴ ∴
.
5.已知复数 ， ， 使得
为纯虚数， ， ，则 的最小
值是________.
1
提示：设 ，则 ，由已知
∴
∴ ∴ ∴ 。 当
1231,,)z z i z i ===
+时，最小值能取到。
6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________. 答案：
提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为 ，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球， 且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为 ，所以正四面体的高
, 得
7. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，对任意0x >有4
()f x x
>-，4(())3f f x x +=，
则(8)f = . 答案：
7
2
提示：由题意存在00x >使0()3f x =。又因()f x 是(0,)+∞上的单调函数，这样的00
x >是唯一的，再由004
(())3f f x x +
=得0000
44()3x f x x x =+=+
解得04x =或01x =-（舍）。所以4()4f x x =-，47
(8)482
f =-=。 8.已知 为椭圆
的内接三角形，且 过点 ，则 的面积的最大
值为________. 答案：
提示：经伸缩变换
得 内接于圆 ， 过点
，
，设 距 的距离为 ，则
， ， ，易知当
时， 有最大值为
，∴ 的最大值为
.
二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分)
9.已知过点斜率为的直线交双曲线：右支于、两点，为双曲线的右焦点，且，求的值.
解：设，，则直线：.离心率。......4分
联立得
∴...........8分
∴ .......12分
∴. ........ 16分。
10.数列满足，，.
（1）证明：数列是正整数数列；
（2）是否存在，使得，并说明理由.
证明：（1）已知，∴
相减得
∴为常数数列。.......... 5分
∴
∴，又∵∴
又∵，∴ ....... 10分
（2）∵，假设有，则。..... 15分
法一：由，，
得
∴∴
法二：∵∴
由费马小定理得，矛盾.
所以不存在，使得，得证. ......20分
11.已知，，求证.
注：可直接应用以下结论
（1）；（2）。
证明：设，，则，.
只要证，因为, 所以只要证明：对满足的，有。..... 5分
令得，
此时
，......... 10分
∴
. ........ 15分
∵∴
，不等式成立，得证. ........ 20分