数理统计课程设计样本
题目3. 求正态总体的均值差和方差的置信区间. 经过实验加深对统计推断的基本概念的和基本思想的理解. 置信水平0.95, 0.90。
2,μσ取不同值。n 500≥。模拟次数大于100次。
㈠、 问题分析:
1．在Matlab 中模拟均值μ、 标准差σ的产生
由于要求模拟次数大于100次, 不妨就模拟120次, 且要求μ, σ每次取不同的值, 因此能够在Matlab 中经过随机数产生器函数normrnd(mu,sigma,[m,n])得到120个( μ, σ) 的不同组合。 2．置信区间的求法
总体参数的点估计作为待估参数的近似值给出了明确的数量描述,在统计分析中有多方面的应用. 但点估计没有给出这种近似的精确程度和可信程度,使其在实际应用中受到很大的限制,区间估计却能够弥补这一不足。
所谓区间估计, 就是用两个估计量1?θ与2?θ估计未知参数θ, 使得随机区间)?,?(21θθ能够包含未知参数的概率为指定的α-1。即:
αθθθθ-≥<<1)??(2
1P 称满足上述条件的区间)?,?(21θθ为θ的置信区间, 称α-1为置信水平。1?θ称为置信下限, 2?θ称为置信上限。 ① 标准差σ已知时正态总体均值μ的区间估计
问题假设检验: H0 : μ = μ0 ←→H1 : μ ≠ μ ;
022σσ=( 已知)
检验统计量为n
X U /00
σμ-=
, H 0成立时)1,0N(~U
拒绝域: 2
||αu U >
查表求2
αu 满足: 对0于)1,0N(~ξ, 2
)(2
α
ξα=
>u P 。
因此对于总体),(20σμN 中的样本n X X X ,,,21 , μ的置信区间为:
),
(2
2
αασσu n
X u n
X +
-
其中2
αu 能够用Matlab 中的命令norminv(1-a /2)计算。
② 均值μ已知时正态总体标准差σ的区间估计
问题假设检验: H0 : 022σσ=←→H1 : 022σσ≠; μ = μ0( 已知)
检验统计量为:2
1
2
2
2
2
)(σμσχ∑=-=
=
n
i i
X
nS ,当H 0成立时, )(~22n χχ,
由此可查)(2n χ临界值表, 构造拒绝域。 由于
)(~)(1
21
22
n X
n
i i
χμσ∑=-, 查表求临界值1c 与2c , 其中查表可用
Matlab 中的命令chi2inv 求出: c1 = chi2inv(1-alpha/2,n), 2c = chi2inv(alpha/2 ,n), 使得
α-=<<1)12(c W c P
则2σ的置信区间为]2
1
,11[22nS c nS c ? 。 ㈡、 算法步骤:
下面程序会用到的命令和变量的含义: alpha 为显著性水平 mu--- 均值μ的取值
sigma---标准差σ的取值
muci---均值μ的区间估计
sigmaci---标准差σ的区间估计
normrnd(μ, σ, [1, 1])---产生一个服从正态分布N( μ, σ) 的随机数
1．用随机数产生函数rand( ) 产生μ, σ的一系列随机值;
2．由每一对μ, σ的值, 用函数normrnd( ) 产生服从正态分布μ, σ的500个样本;
3．根据μ, σ置信度为α
1的置信区间的求法, 求出置信区间即
-
可。
程序如下:
n=500;%样本容量
for i=1:120 %模拟120次
j=i %记录模拟的次数
mu=10*rand(1,1);%产生一次模拟的均值μ的随机值
sigma=50*rand(1,1);%产生一次模拟的标准差σ的随机值
rd=normrnd(mu,sigma,1,500);%产生服从一次模拟时正态分布N( mu,sigma) 的500个随机数
[mu,sigma]%输出每一次模拟产生的mu随机值和sigma随机值
mu = mean (rd);%计算样本均值
for alpha=[0.05,0.1]%显著水平为0.05,0.1
alpha
u = norminv(1-alpha/2,0,1); %计算置信度为 1 - alpha/ 2 的正态分布临界值
chi2 = sum( (rd - mu).^2); %计算离差的平方和
lambda1 = chi2inv(1-alpha/2,n); %计算卡方分布的临界值lambda2 = chi2inv(alpha/2 ,n);
muci = [mu-u*sqrt(sigma^2/n),mu+u*sqrt(sigma^2/n) ]%计算均值的置信区间
sigmaci = [ sqrt(chi2/lambda1) ,sqrt(chi2/lambda2) ] %计算方差的置信区间
end
end
运行结果( 部分数据如下) :
j =
1
ans =
9.5013 11.5569
alpha =
0.0500
muci =
7.7609 9.7869
sigmaci =
10.2928 11.6526
alpha =
0.1000
muci =
7.9238 9.6240 sigmaci =
10.3921 11.5325 j =
2
ans =
6.0684 24.2991 alpha =
0.0500
muci =
3.3742 7.6340 sigmaci =
21.5052 24.3462 alpha =
0.1000
muci =
3.7166 7.2915 sigmaci =
21.7127 24.0953
j =
3
ans =
8.9130 38.1048 alpha =
0.0500
muci =
6.5808 13.2608 sigmaci =
37.5508 42.5116 alpha =
0.1000
muci =
7.1178 12.7238 sigmaci =
37.9131 42.0734 j =
4
ans =
4.5647 0.9252 alpha =
0.0500
muci =
4.5434 4.7056 sigmaci =
0.8838 1.0005 alpha =
0.1000
muci =
4.5564 4.6925 sigmaci =
0.8923 0.9902 j =
5
ans =
8.2141 22.2352 alpha =
0.0500
muci =
7.8733 11.7712 sigmaci =
21.6469 24.5066 alpha =
0.1000