导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用
【考纲说明】
1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】
一、导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值
x y
??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y
??有极限，我们就
说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →?x x y
??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。
说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y
??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，
或说无导数。
（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （
（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；
（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)
()(00；
（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y
x ??→?0lim
。
二、导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数
①0;C '= ②()
1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;
⑤();x
x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.
四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， .
即： (
.)'
''v u v u ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，
即：
.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则'
''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
.)(''Cu Cu =
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
?
?? ??v u ‘=2'
'v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：
一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( ' 如果在某区间内恒有' f 0)(=x ，则)(x f 为常数； 2、极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值： 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a ，b)内的极值； ②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分 (1)概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0 每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝∑n i f 1 ＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞ 即△x →0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即? b a dx x f )(＝ ∑=∞ →n i n f 1 lim (ξi) △x 。 } 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式： ?dx 0＝C ； ?dx x m ＝1 11 ++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）； ?x 1 dx ＝ln x ＋C ；?dx e x ＝x e ＋C ； ?dx a x ＝a a x ln ＋C ；?xdx cos ＝sinx ＋C ；?xdx sin ＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。 (2)定积分的性质 ①? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ② ? ??±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③? ??+=b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。 (3)定积分求曲边梯形面积 《 由三条直线x ＝a ，x ＝b(a ?=b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x)，y 2＝f 2(x)（不妨设f 1(x)≥f 2(x)≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝ ? ?-b a b a dx x f dx x f )()(21。 【经典例题】 【例1】（2012广东）曲线y=x 3-x+3在点(1,3)处的切线方程： 。 【解析】先对函数y=x 3-x+3求导，得：y=3x 2-1。代入点(1,3)求出斜率，k=2。设切线方程为y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。 【例2】（2012辽宁）已知P ，Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A 的纵坐标为 。 【解析】抛物线变形为：y= 2 1x 2 。求导y ,=x 。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。点P ，Q 两点坐标为(4,8)，(-2,2)。得出两切线为：y=4x-8，y=-2x-2。两直线交点为(1,-4)。所以交点的纵坐标为-4。 【例3】（2011课标）已知函数f(x)=x b x aInx ++1，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。 (1)求a ，b 的值； (2)如果当x>0，且x ≠1时，f(x)> x k x Inx +-1，求k 的取值范围。 > 【解析】(1)f ,(x)= 2 2)1() 1 ( x b x Inx x x a - +-+由于直线x+2y-3=0的斜率为21-，且过点(1,1)， 故 即 解得a=1，b=1。 (2)由（1）知ln 11x x x ++，所以22 ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22 (1)(1)2'()k x x h x x -++=。 f(x)=1 f ,(1)=2 1- b=1 b a -2=2 1- (i)设0k ≤，由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。而(1)0h =，故 … 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得2 1 ()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211 x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k . （ii ）设0 -11 ） 时，h （x ）>0，可得2 11 x -h （x ）<0,与题设矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2 11 x - h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]. 【例4】（2012山东）已知函数f(x) = x e k x +ln （k 为常数，e=……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。 （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）设g(x)=(x 2+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，2 1)(-+ 【解析】由f(x) = x e k x +ln 可得=')(x f x e x k x ln 1 --，而0)1(='f ，即 01=-e k ，解得1=k ； { （Ⅱ）=')(x f x e x x ln 11 --，令0)(='x f 可得1=x ， 当10< )(<--='x x x f 。 于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数；在),1(+∞内为减函数。 （Ⅲ）x x e x x x x e x x x x x g ln )(1ln 11 )()(222+--=--+=， 当1≥x 时， 0,0,0ln ,012 2 >>+≥≤-x e x x x x ，2 10)(-+<≤e x g . 当10< )()(-+<+--=--+=e e x x x x e x x x x x g x x 。 只需证2 2 2 1()ln (1)x x x x x e e ---+<+，然后构造函数即可证明。 【例5】（2012北京）已知函数 2(1) ()a x f x x -= ，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； @ （Ⅲ）设 2 ()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数） 【解析】（Ⅰ） 3(2) ()a x f x x -'= ，（0x ≠），在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>. 所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). （Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则00 2 0000 3 0(1)10(2) 1a x y x x y a x x -? =??? --=??-?=?? 解得0 1x =，1a =. （Ⅲ）()g x =l n (1)x x a x --，则()l n 1g x x a '=+-解()0g x '=，得1e a x -=， 所以，在区间1 (0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间 1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. 当1 e 1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e ]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e )e e g a a =+-. 当1 e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e ]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. 当1 1 (e )(1)ee 0g g a a -=+->，解得 e e 1a < -，所以，e 1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e )e e g a a =+-，e 2 e 1 a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. 综上所述，当 e 0e 1a << -时，()g x 最大值为(e )e e g a a =+-， | 当 e e 1a ≥ -时，()g x 的最大值为(1)0g =. 【例6】（2012重庆）已知函数3 ()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c - (1)求a 、b 的值；(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值。 【解析】1.(Ⅰ)因3 ()f x ax bx c =++ 故2 ()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=??=-?即1208216a b a b c c +=??++=-? ,化简得12048a b a b +=??+=-?解得1 12a b =??=-? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 3 ()12f x x x c =-+,2()312f x x '=- 令()0f x '=，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞时()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c +=得12c =， 此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-。 【例7】（2011安徽）设()1x e f x ax =+，其中a 为正实数 * （Ⅰ）当a 4 3 = 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。 【解析】（1）f ' (x)=x 2 22ax 1e 12ax -ax ） （）（++当a=34时令f ' (x)=0解得x=21或x=23 当x ??? ?? ∞∈21-，时，f ' (x)>0;当x ?? ? ??∈2321，时，f ' (x)<0; 当x ?? ? ??∞+∈，23 ，f ' (x)>0,所以f(x)在x= 21处取得极大值，在x=2 3 处取得极小值。 （2）若()f x 为R 上的单调函数则f ' (x)恒大于等于零或f ' (x)恒小于等于零， 因为a>0所以Δ=（-2a ）2-4a ≤0，解得0 【课堂练习】 一、选择题 1.（2011全国）曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ） ： y=xf '(x) -1 11 -1 o y x A 31 B 21 C 3 2 D 1 2.（2010课标全国）曲线2 += x x y 在点(-1,-1)处的切线方程为（ ） A y=2x+1 B y=2x-1 C y=-2x-3 D y=-2x-2 3.（2012陕西）设函数f(x)=xe x ,则（ ） A x=1为f(x)的极大值 B x=1为f(x)的极小值 C x=-1为f(x)的极大值 D x=-1为f(x)的极大值 4.（2008广东理）设R a ∈，若函数x e y ax 3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3->a B. 3-a D. 3 1-