中考数学二轮 相似 专项培优易错试卷及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，

∴AC=10，

①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，

∴AM= AO= ，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ADC，

∴，

∴AP=t= ，

②当AP=AO=t=5，

∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形

（2）解：作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，

在△APO与△CEO中，

∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，

∴△AOP≌△COE，

∴CE=AP=t，

∵△CEH∽△ABC，

∴，

∴EH= ，

∵DN= = ，

∵QM∥DN，

∴△CQM∽△CDN，

∴，即，

∴QM= ，

∴DG= = ，

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC，

∴，

∴FQ= ，

∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF= = ，

∴S与t的函数关系式为

（3）解：存在，

∵S△ACD= ×6×8=24，

∴S五边形OECQF：S△ACD=（）：24=9：16，解得t= ，t=0，（不合题意，舍去），

∴t= 时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16

（4）解：如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，

∵∠POD=∠COD，

∴DM=DN= ，

∴ON=OM= = ，

∵OP?DM=3PD，

∴OP= ，

∴PM= ，

∵，

∴，解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88，

∴当t=2.88时，OD平分∠COP．

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB=CD=6，BC=AD=8，所以AC=10；而P、Q 两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D；所以△AOP是等腰三角形分两种情况讨论：①当AP=PO=t时，过P作PM⊥AO，易证△CQM∽△CDN，可得比例式即可求解；②当AP=AO=t=5时，△AOP是等腰三角形；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，可将五边形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S=三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的

面积；

（3）因为三角形ACD的面积=AD CD=24，再将（2）中的结论代入已知条件S五边形S ：S△ACD=9：16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存五边形OECQF

在；

（4）假设存在。由题意，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，根据角平分线的性质可得DM=DN，由面积法可得;三角形ODP的面积=OP DM=PD CD=3PD,所以可得OP?DM=3PD，则用含t的代数式可将OP和PM表示出来，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。

2．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．

【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得

解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）

（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x， x2+2x+6），则FG= ，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，

∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，

∴

当点F在x轴上方时，有，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1，）,

当点F在x轴下方时，有，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3，）,

综上可知F点的坐标为（-1，）或（-3，）

（3）解：如图2，

不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上

∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,

∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），

∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6

解得k1= 或k2=

∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，）或Q2（2，）.

【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。

（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。

（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。

3．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．

（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求，请证明你的结论；

（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________；

（3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示）

【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，

∴CD平分∠ACB，

∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∴PG=PH，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴ =1

（2）

（3）解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，

易证△PMH∽△PGN，

∴，

∵，

∴，

∵DT∥PG，DK∥PH，

∴，

∴，

∴

【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴，

∵△PHC∽△ACB，PG=HC，

∴，

故答案为：；

【分析】（1）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，根据已知条件可证△PHM和△PGN的两角对应相等，进而可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例即可求出。（2）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由两角对应相等，可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应

边成比例可得 = ，由两角对应相等，可得△PHC∽△ACB，又PG=HC，相似三角形的对应边成比例及等量代换即可求出。（3）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，由两角对应相等，△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得

= ，由△ A C D 和△ B C D的面积比及已知条件可得,再由垂直于同一条直线的两

条直线平行可得DT∥PG，DK∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得= = ，再根据比例的基本性质即可求出的值。

4．已知如图1，抛物线y=﹣ x2﹣ x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC

（1）求出直线AD的解析式；

（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN= （点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；

（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为

△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．

【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+3与x轴交于A和B两点，

∴0=﹣ x2﹣ x+3，

∴x=2或x=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0），

∵D（0，﹣1），

∴直线AD解析式为y=﹣ x﹣1

（2）解：如图1，

过点F作FH⊥x轴，交AD于H，

设F（m，﹣ m2﹣ m+3），H（m，﹣ m﹣1），

∴FH=﹣ m2﹣ m+3﹣（﹣ m﹣1）=﹣ m2﹣ m+4，

∴S△ADF=S△AFH+S△DFH= FH×|x D﹣x A|=2FH=2（﹣ m2﹣ m+4）=﹣m2﹣m+8=﹣（m+ ）2+ ，

当m=﹣时，S△ADF最大，

∴F（﹣，）

如图2，作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2= ，

连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移得点M，此时四边形AMNF 的周长最小．．

∵OB=2，OD=1，

∴tan∠OBD= ，

∵AB=6，

∴AK= ，

∴AA1=2AK= ，

在Rt△ABK中，AH= ，A1H= ，

∴OH=OA﹣AH= ，

∴A1（﹣，﹣），

过A2作A2P⊥A2H，

∴∠A1A2P=∠ABK，

∵A1A2= ，

∴A2P=2，A1P=1，

∴A2（﹣，﹣）

∵F（﹣，）

∴A2F的解析式为y=﹣ x﹣①，∵B（2，0），D（0，﹣1），

∴直线BD解析式为y=﹣ x﹣1②，联立①②得，x=﹣，

∴N点的横坐标为：﹣

（3）解：∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣1）∴CD=4，BC= ，OB=2，

BC边上的高为DH，

根据等面积法得， BC×DH= CD×OB，

∴DH= = ，

∵A（﹣4，0），C（0，3），

∴OA=4，OC=3，

∴tan∠ACD= ，

①当PC=PQ时，简图如图1，

过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ，

∵tan∠ACD=

∴设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣6a

∵△PGQ∽△DHQ，

∴，

∴，

∴a= ，

∴PC=5a= ；

②当PC=CQ时，简图如图2，

过点P作PG⊥CD，

∵tan∠ACD=

∴设CG=3a，则PG=4a，

∴CQ=PC=5a，

∴QG=CQ﹣CG=2a，

∴PQ=2 a，

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a

∵△PGQ∽△DHQ，

同①的方法得出，PC=4﹣，设CG=3a，则PG=4a，从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC的长；

③当QC=PQ时，简图如图1

过点Q作QG⊥PC，过点C作CN⊥PQ，

设CG=3a，则QG=4a，PQ=CQ=5a，

∴PG=3a，

∴PC=6a

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a，

利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，

∴CN= a，

∵△CQN∽△DQH

同①的方法得出PC=

④当PC=CQ时，简图如图4，

过点P作PG⊥CD，过H作HD⊥PQ，

设CG=3a，则PG=4a，CQ=PC=5a，

∴QD=4+5a，PQ=4 ，

∵△QPG∽△QDH，

同①方法得出．CP=

综上所述，PC的值为：；4﹣，，=

【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交点的坐标特点，把y=0代入抛物线的解析式，得出一个关于x的一元二次方程，求解得出x的值，进而得出A,B两点的坐标；然后由A,D 两点的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式；

（2）过点F作FH⊥x轴，交AD于H，根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y轴的直线上的点的坐标特点，设出F,H的坐标，从而得出FH的长度，S△ADF=S△AFH+S△DFH= FH×|x D

﹣x A|=2FH,列出关于m的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m=﹣时，S△ADF最大，从而得出F点的坐标；如图2，作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2= ，连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移得点M，此时四边形AMNF的周长最小，进而求出点A1，A2坐标，即可确定出A2F的解析式和直线BD解析式联立方程组即可确定出N点的横坐标；

（3）根据C,B,D三点的坐标，得出CD,BC,OB的长，BC边上的高为DH，根据等面积法得

BC×DH= CD×OB，从而得出DH的长，根据A,C两点的坐标，得出OA,OC的长，根据正切函数的定义得出tan∠ACD= 4∶ 3 ；然后分四种情况讨论：①当PC=PQ时，过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ，由tan∠ACD= 4∶ 3 ，设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，从而由DQ=CD﹣CQ得出DQ的长，根据△PGQ∽△DHQ，得出PG∶DH=PQ∶DQ,从而求出a的值，进而求出PC的值；②当PC=CQ时，简图如图2，过点P作PG⊥CD，tan∠ACD= 4∶3，设CG=3a，则PG=4a，从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC的长；③当QC=PQ时，过点Q作QG⊥PC，过点C作CN⊥PQ，设CG=3a，则QG=4a，PQ=CQ=5a，从而得出PG,PC,DQ的长，利用等面积

法得，CN×PQ=PC×QG，从而得出CN，由△CQN∽△DQH同①的方法得出PC的长；④当PC=CQ时，

过点P作PG⊥CD，过H作HD⊥PQ，设CG=3a，则PG=4a，CQ=PC=5a，从而得出QD,PQ 的长，由△QPG∽△QDH，同①方法得出．CP的长。

5．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°．

（1）如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH．求证：△AGD∽△AHE；

（2）如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形；

（3）在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值．

【答案】（1）证明：如图2，由题意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠B=∠DAE=45°．

∵H为BC中点，

∴AH⊥BC．

∴∠BAH=45°=∠DAE．

∴∠GAD=∠HAE．

在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，

AH＝ AB＝ AG，AE＝ AD．

∴，

∴△AGD∽△AHE；

（2）解：分三种情况：①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE；

②当AB=AE时，如图4，此时E与C重合，

∴D是BC的中点，

∴BD= BC=2 ；

③当AB=BE时，如图5，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH，

∵AE=BE，EH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AM=BM，

∵∠ABC=45°，

∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形，

∵AD=DE，∠ADE=90°，

易得△ADM≌△DEG，

∴DM=EG，

∵∠EMG=∠BMH=45°，

∴△EMG是等腰直角三角形，

∴ME= MG，

由（1）得：△AHD∽△AME，且，

∴∠AHD=∠AME=135°，ME= DH，

∴∠BHD=45°，MG=DH，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD=DH=EG=DM= ；

综上所述，当BD=0或或2 时，△ABE是等腰三角形；

（3）解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，如图6，

此时，∠ABM=∠BAC=90°，∠AMB=∠BAM=45°，BM=AB=AC．

∴四边形ABMC是正方形．

∴∠BMC=90°，

∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°，

∵∠BAM=∠DAE=45°，

∴∠BAD=∠MAE，

在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，

AM＝ AB，AE＝ AD．

∴．

∴△ABD∽△AME．

∴∠AME=∠ABD=45°

∴点E在射线MC上，

作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，

∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′，

∴△ABE′就是所求周长最小的△ABE．

在Rt△ABN中，

∵AB=4，BN=2BM=2AB=8，

∴AN＝．

∴△ABE周长最小值为AB+AN＝4+4 ．

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠DAE=∠BAH=45°，所以

∠GAD=∠HAE，计算可得比例式：，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△AGD∽△AHE；

（2）根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：①当B与D重合时，即BD=0，此时AB=BE；

②当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得BD的值；

③当AB=BE时，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH，由已知条件和（1）的结论可求解；

（3）当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，由已知条件易证四边形ABMC是正方形，由已知条件通过计

算易得比例式：,根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△ABD∽△AME,则∠AME=∠ABD=45°，于是可得点E在射线MC上，根据轴对称的性质可得△ABE′就是所求周长最小的△ABE，在Rt△ABN中，用勾股定理即可求得AN的值，则△ABE周长最小值=AB+AN即可求解。

6．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．

（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；

（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．

【答案】（1）解：如图，

∵矩形ABCD ，

∴，

∴，

∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，

∴，

∴，

∴，∵，

∴，∴，

∴；

（2）解：∵PF⊥BP ，∴，

∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP =∠FPE，

∴∽，∴，

∵AD//BC ，∴，

∴，即，

∵，∴，

∴，

∴

（3）解：∠CPF=∠BPE，

①如图所示，当点F在CE上时，

∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，

∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，

∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，

∴△PAB∽△CPD，

∴PB：CD=AB：PD，

∴PB·PD=CD·AB，

∴x（）=2×2，

∴x= ；

②如图所示，当点F在EC延长线上时，

过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，

则有PC：PM=CH：MH，

∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，

∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，

∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，

∵∠ABD=∠BDC，

∴△PAB∽△MPD，

∴PB：MD=AB：PD，

由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，

易得：DN= ，PN= ，CN=2- ，

PH=2x，FH= ，CH=2- x，

由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，

在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，

由PC：PM=CH：MH可得PM，

在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，

解得x= ，

综上：PD的长为：或

【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。根据同角的余角相等可得∠BAF=∠ADB，所以tan∠PBF=tan∠ADB=,结合已知即可求得

BF的长，三角形ABF的面积=AB BF；

（2）要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ΔBAP∽ΔFPE，从而得出比例

式;,现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。

（3）由已知条件过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F可知，点F可能在线段CE上，也可在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。

7．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC是边长为2的等边三角形，E 是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；

（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE 的长；

（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；

（4）如图2，当△ECD的面积S1＝时，求AE的长．

【答案】（1）解：现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE?△CBF.

由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE，∴△ABE?△CBF.

（2）解：由（1）知点E在运动过程中始终有△ABE?△CBF，

因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和，

∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积，因△ABC的边长为2，则

，

∴四边形BECF的面积为，又四边形ABFC的面积是，

∴，在三角形ABE中，因∠A=60°，∴边AB上的高为AEsin60°,