贝塞尔函数

贝塞尔函数

当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§ 贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：

2222

22222

22222

0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎩

用分离变量法解这个问题，先令

(,,)(,)()u x y t V x y T t =

代入方程（）得

222

22()V V

VT a T x y

∂∂'=+∂∂

或

2222

2 (0)V V T x y a T V

λλ∂∂+

'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程

20T a T λ'+= （） 22220V V

V x y

λ∂∂++=∂∂ （） 从（）得

2

()a t T t Ae λ-=

方程（）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件

222

0x y R V

+== （）

的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（）与条件（）写成极坐标形式得

22222110,,02, (5.7)

0,02, (5.8)

R V v V

V R V

ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨

⎪=≤≤⎩ 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（）并分离变量可得

()()0θμθ''Θ+Θ= （）

22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （）

由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：

2220,1,2,

,,

n

对应于2n n μ=，有

0()2

a θΘ=

（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a n b n n θθθΘ=+=

以2n n μ=代入（）得

222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （）

这个方程与（）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。

若再作代换

r =，

并记

()F r P

=，

则得

222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.

这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。

由条件（）及温度u 是有限的，分别可得

()0

(0)P R P =⎧⎪⎨

<+∞⎪⎩

（） 因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（）在条件（）下的特征值与特征函数（（中第一个条件是在R ρ=处的第一类边界条

件，第二个条件是在0ρ=处的自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（）的解法，然后在§中再回过头来讨论这个特征值问题。 § 贝塞尔方程的求解

在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为

22

222

()0d y dy

x x x n y dx dx

++-= （） 其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。

设方程（）有一个级数解，其形式为

2

0120

()c

k

c k k k k y x a a x a x a x a x ∞

+==+++

++

=∑，00a ≠ （）

其中常数c 和(0,1,2,)k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入（）来确定。

将（）及其导数代入（）后得

2

20

{[()(1)()()]}0c k k k c k c k c k x

n a x ∞

+=++-+++-=∑

化简后写成

2

2

2

2

1

220122

()[(1)]{[()]}0c

c c k k k k c n a x c n a x

c k n a a x ∞

++-=-++-++-+=∑

要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式：