矩阵论(华中科技大学)课后习题答案

习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11

{()|

0}n

ij n n ii

i V A a a

⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；

（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；

（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3

,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间

（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n n

T V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基

100

010

10

101010000000100............

......0010010⎧⎫

⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎨⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

⎝

⎭⎝

⎭⎝

⎭

⎝

⎭

⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭

dim W =n (n +

1)/2

3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设

{}12,,,r αααL 为空间U 1

的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2

的一组基

2U γ∀∈，有

()12r X γγβββ=L L

而

()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆

于是

()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L

由此，得

21

U U ⊆

又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

4.设111213315A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，讨论向量(2,3,4)T

α=是否在R (A )中。

解：构造增广矩阵()111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A α⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

矩阵A 与其增广矩阵秩相同，向量α可由矩阵A 的3个列向量线性表示，α在列空间R (A )中。

5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223P x x x =-+，32

3452P x x x =+++的线性

相关性。

解：()23123

10

2135(1)11112

4P P P x x x ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪-

⎪⎝⎭

而

102102135011111000124000⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

→ ⎪ ⎪

-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，该矩阵秩为2 所以向量组P 1,P 2,P 3线性相关。

6.设m n A R ⨯∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。

证明：12(){,,,}n R A L A A A =L ，(){|0,}n

N A X AX X R ==∈ 假定dim R (A )=r ，且设12,,,r A A A L 为R (A )的一组基 则存在12,,,(1,,)i i ri

k k k i r n =+L L ，其中12,,,i i ri k k k L 不全为零

使11220(1,,)i i ri r i k A k A k A A i r n ++++==+L L

显然

1,11,21,2,12,22,,1,2,()100010001r r n r r n r r r r r n k k k k k k k k k N A ++++++⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

M M M L M M M 上述n -r 个向量线性无关，而()121,,,,1,0,0T

s k k k -L L ，s

dim N (A )=n -r 所以

dim R (A )+dim N (A )=n

7.设113021211152A -⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。

解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A 化为行阶梯形

113011302121014111520000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪

⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

矩阵A 的秩为2，从A 中选取1、2列（线性无关）作为R (A )的基，于是

()()

{

}()121,111T T

R A L =----

由0AX =，1234(,,,)T X x x x x =，rank(A )=2，有

123

2

3434x x x x x x -=-⎧⎨

-=--⎩ 分别取341,0x x ==和340,1x x ==，求得齐次方程0AX =解空间的一组基

()()1410,1101T T

所以A 的零空间为

()()

{

}()1410,1101T T

N A L =

8.在22

R

⨯中，已知两组基