理论力学静力学3

3.1 平面力系的平衡
∑MA =0
qd ⋅ d + FP d + FB ⋅ 2d − FP1 ⋅ 3d = 0 2
FAx FAy FB
例题
FB = 21 kN（↑）
∑MB = 0
5d qd ⋅ + FP d − FRA × 2d − FP1 × d = 0 2
∑ Fx = 0
FA y= 15 kN（↑）
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3.3 物系平衡问题的应用
�求解过程中应注意以下几点 首先判断物体系统是否属于静定问题 恰当地选择研究对象
在一般情况下，首先以系统的整体为研究对 在一般情况下，首先以系统的整体为研究对 象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知 象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知 量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体 量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体 或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受 或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受 力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求 力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求 出部分未知量后，再研究其他物体。 出部分未知量后，再研究其他物体。
=0
FD = FA ⋅
1 5
= 10 KN
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3.1 平面力系的平衡
例 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力 F=20 kN，力偶矩m=10 kN⋅m，求A、B支座的约束力。
例题
解：画受力图
Σm A (F ) = 0
FNB × 4 − q × 4 × 2 − m − F sin α × 6 = 0
3.1 平面力系的平衡
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3.1 平面力系的平衡
3.1.1 平面一般力系平衡方程的基本形式 3.1.2 平面一般力系平程方程的其他形式 3.1.3 平面特殊力系的平衡方程
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3.1 平面力系的平衡
3.1.1 平面一般力系平衡方程的基本形式
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3.3 物系平衡问题的应用 受力分析
①首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。 ②解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束 力，切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上 物体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约 束？然后正确画出相应的约束力。 ③画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件 外，通常用二分力表示铰链反力。 ④不画研究对象的内力。 ⑤两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。
解：画受力图
ΣF x = 0
F Ax − F cos α = 0
F Ax = F cos α = 8.94 kN
ΣF y = 0
F Ay − q × 4 + FNB − F sin α = 0
F Ay = q × 4 − FNB + F sin α = 8.56 kN
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•平面力系平衡充要条件：
′ 和对任意 力系的主矢FR 点的主矩 MO 均等于零
′= FR
F ′R = 0
MO = 0
ΣFx = 0 ΣF y = 0
(ΣFx ) + (ΣFy )
2
2
=0
Σ m O (F ) = 0
结论：平面力系各力在任意两正 交轴上投影的代数和等于零，对 任一点之矩的代数和等于零。
FAx FAy FB
例题
以解除约束后的ABC梁为研究对象
2. 根据约束性质分析约束力
A处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力FAy 和FAx ；B处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未 知的，可以假设为向上的FB 。
3. 应用平衡方程确定未知力
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第一篇 静力学
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第3章
力系的平衡
制作与设计
贾启芬 刘习军 英
郝淑
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第3章 力系的平衡
目录
3.1 平面力系的平衡 3.2 静定问题与超静定问题 3.3 物系平衡问题的应用 3.4 空间力系的平衡
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第3章 力系的平衡
F NB =
1 [q × 4 × 2 + m + F sin α × 6] = 49.3 kN 4
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3.1 平面力系的平衡
例 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力 F=20 kN，力偶矩m=10 kN⋅m，求A、B支座的约束力。
例题
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3.2 静定问题与超静定问题
静定问题 静定问题
独立的平衡方程数：3 未知力数：3 独立的平衡方程数=未 知力数
超静定问题 超静定问题
独立的平衡方程数：3 未知力数：4 未知力数>独立的平衡 方程数
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3.2 静定问题与超静定问题
FNB = FT ( AD + DE ) 120(2 + 1.5) = kN = 105 kN AB 4
F Ay + FNB − FT = 0
•
ΣF y = 0
F Ay = FT − FNB = 15 kN
ΣFx = 0,
FAx − FT = 0 F Ax = FT = 120 kN
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第3章 力系的平衡
3.2 静定问题与超静定问题
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3.2 静定问题与超静定问题
•物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连 接而成的系统 。 •静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好 等于它的独立的平衡方程的数目。 •超静定：未知量的数目多于独立的平衡方程的数 目。
计算结果的校核
FAx = 0
∑ Fy = 21 ＋ 15 －FP1 －qd = 21 + 15 − 20 − 20 × 0.8 = 0
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3.1 平面力系的平衡
例题
例 在刚架B点受一水平力 作用。设F=20 kN，刚架的重 量略去不计。求A、D处的约束 力。 解：几何法 选刚架为研究对象 画受力图
ΣFx = 0 ΣF y = 0 ΣM O ( F ) = 0
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3.1 平面力系的平衡
3.1.2平面一般力系平程方程的其它形式
二力矩形式的平衡方程
ΣmA (F ) = 0
ΣmB (F ) = 0
ΣFx = 0
FR
条件： 连线AB不垂直投影 轴x
A
B x
3.1 平面力系的平衡
例题
例 起重机的自重（平衡重除外） G=400 kN，平衡重W=250 kN。当起 重机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工 作，必须使一侧轮（ A或B）的向上反力不得小于 50 kN。求最大起吊量 P为 多少？ 解：画支座反力 FNA与FNB。令FNA=50 kN。 列平衡方程： ΣM B ( F ) = 0
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3.3 物系平衡问题的应用
例 题
例 图中AD＝DB＝2 m，CD＝DE＝1.5 m，Q＝120 kN， 不计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。 解：解除约束，画整体受力图 列平衡方程
ΣM A (F ) = 0
•
FNB × AB − FT × ( AD + r ) − FT (DE − r ) = 0
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3.1 平面力系的平衡
3.1.2平面一般力系平程方程的其它形式
三力矩形式的平衡方程
ΣmA (F ) = 0
ΣmB (F ) = 0
ΣmC (F ) = 0
FR
条件：
A、B、C是平面内 不共线的任意三点
B A C
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例题
�几点讨论：
根据题意选择研究对象。 分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。 研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束 的性质表示约束力。 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定 约束力的方位。
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3.1 平面力系的平衡
例题
两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。 用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形， 未知力的大小可按同一比例尺在图上量出。 用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解 联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果 的正负判定假设未知力的指向是否正确。
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3.3 物系平衡问题的应用 列平衡方程，求未知量
① 列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求 的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力 的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。 ② 判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数 及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。 ③ 解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。 ④ 校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的 平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。
静定问题 静定问题
独立的平衡方程数：6 未知力数：6 独立的平衡方程数=未 知力数
超静定问题 超静定问题
独立的平衡方程数：6 未知力数：7 未知力数>独立的平衡 方程数
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第3章 力系的平衡
3.3 物系平衡问题的应用
Theoretical Mechanics
F
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F
FA
FD
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3.1 平面力系的平衡
解：几何法
F
例题
选刚架为研究对象 画受力图 作力多边形，求未知量 选力比例尺 µ F=5 kN/cm 作封 闭的力三角形。
FA FD FA FD
F
量得 FA=22.4kN ， FD=10 kN 。力的方向由力三角形闭合 的条件确定。
3.3 物系平衡问题的应用
例 题
可用
ΣM B (F ) = 0 ，验算FAy如下
力系中各力矢构成的力多 边形自行封闭，或各力矢的 矢量和等于零。
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3.1 平面力系的平衡
3.1.3 平面特殊力系的平衡方程
平面平行力系平衡方程 充要条件是：力系中所有各力的代数和等于 零，以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于 零。
ΣFx = 0 ΣM O ( F ) = 0
G × 0.5 + W × 8 − F NA × 4 − P × 10 = 0
P=200 kN
如为空载，仍应处于平衡状态，故
ΣM A (F ) = 0
F N B × 4 + W × 4 − G × 3 .5 = 0
FNB = 100 kN
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3.1 平面力系的平衡
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3.1 平面力系的平衡
解：解析法
F
例题
选刚架为研究对象 画受力图 列平衡方程
F
FA
选坐标轴如图所示
Σ Fx = 0, F − F A × 8 4 5
4 4 5
FD
=0
FA =
5 F = 22.4 kN 2
Σ F y = 0 , FD − F A ×
Σ m A (F ) = 0 Σ m B (F ) = 0
二矩式成立的条件：A、B两点连线不与各力的 作用线平行。
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3.1 平面力系的平衡
3.1.3 平面特殊力系的平衡方程
平面力偶系 平衡方程 平衡的充要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于 零 。
Σm = 0 �三力平衡汇交定理
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3.1 平面力系的平衡
3.1.3 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所 以，平面汇交力系平衡的充要条件
解析条件：
ΣF x = 0 ΣF y = 0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投影 的代数和等于零。
几何条件：
FR= 0 或 ΣF =0
刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作 用线必共面，且汇交于一点。
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3.1 平面力系的平衡
例 试求图示两外伸梁的约束力FRA、FRB，其中FP = 10 kN，FP1 = 20 kN，q = 20 kN/m，d = 0.8 m。 解： 1. 选择研究对象