江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次模拟考试数学试题

江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次模拟考试数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、填空题

1. 已知集合，，则集合中元素的个数为____．

2. 设，（为虚数单位），则的值为____．

3. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率是____．

4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是____．

5. 下图是一个算法流程图，则输出的的值

是.

6. 已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是____．

7. 已知实数满足，则的取值范围是_________.

8. 若函数的图象过点，则函数在

上的单调减区间是____．

9. 在公比为q且各项均为正数的等比数列中，为的前n项和若

，且，则q的值为_____．

10. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．

11. 如图，已知正方形的边长为6，平行于轴，顶点和分别在函数，和的图像上，则实数的值为

__________．

12. 若对于任意的都有则实数a的取值范围是______．

13. 在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围为_________．

14. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，

．当取得最大值时，的值为____．

二、解答题

15. 如图，在中，已知点在边上，，，

，．

（1）求的值；

（2）求的长.

16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点．

（1）求证：；

（2）若平面平面，求证：．

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；

（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形

对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光

区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.

（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.

19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明：；（3）若为等比数列，，，求满足

的值．

20. 已知函数，.

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）设函数，若函数的最小值是，求m的值；

（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点A，在函数的图象上都存在一点B，使得，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围.

21. [选修4-1：几何证明选讲]

如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．

22. 已知矩阵，若求矩阵A的特征值.

23. [选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，已知点，点在直线

上．当线段最短时，求点的极坐标．

24. [选修4-5：不等式选讲] 已知，，为正实数，且

．求证：．

25. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为

，线段的中垂线与动直线的交点为．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．

26. 已知集合，对于集合的两个非空子集，

，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”)．（1）写出，，的值；

（2）求．