江苏省南通徐州宿迁淮安泰州镇江六市联考2021届下高三第一次调研考试数学试题参考答案及评分建议
2021年高三下学期第一次调研(一)考试数学(理)试题 含解析
2021年高三下学期第一次调研（一）考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的子集可以是A. B. C. D.2.若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是A. B. C. D.3．已知抛物线，则A.它的焦点坐标为B. 它的焦点坐标为C.它的准线方程是D. 它的准线方程是【答案】C【解析】试题分析：将抛物线化为标准方程得，所以其焦点坐标为 ,准线方程为.考点：抛物线的标准方程及几何性质.4．下列说法中，不正确．．．的是A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“若都是奇数，则是奇数”的否命题是“若不都是奇数，则不是奇数”C.命题或，则使或D.命题若回归方程为，则与正相关；命题：若，则，则为真命题5.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.6．给出以下数阵，按各数排列规律，则的值为122353416164565655nA. B. C. D.326【答案】C【解析】试题分析：根据图中数字发现，这组数具备的特征是每一行的第一个数和最后一个数都是该行的行数，中间的每个数等于它肩上的上一行两个相邻数之积再加1，故．考点：归纳推理.7．运行如下程序框图：否是k=k+1结束输出Sk<n?S=S+2kk=1S=0开始若输出的的值为12，则判断框中的值可以是A.2B.3C.4D.58．已知向量()3(sin2,1),(cos2,),()2m x n x f x m n m==-=-⋅，则函数的最小正周期与最大值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：,5()()sin2(sin2-cos2)2f x x x x=-⋅+m n m=21512sin2sin4(cos4sin4)34322224x x x x xπ⎛⎫=-+=-++=-++⎪⎝⎭，故的最小正周期T=,最大值为考点：1.向量的坐标运算；2.三角函数的图象与性质.9．已知一个几何体的三图如图所示，山该几何体的体积为侧视图正视图21121A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图的定义可知，该几何体为下图中的MNC 1B 1-ADCB,其体积为1111111ABCD A B C D A A MN D NC D V V V V ---=--正方体三棱锥三棱锥31111211221273232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.考点：三视图.10．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人、、、除与、与不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有 A.48种 B.36种 C.24种 D.8种 【答案】A 【解析】试题分析：五国领导人单独会晤的有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、CD 、CE ，共八场,现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行.因为能同时会晤的共有（AB ，CD ），（AC ，BD ），（AD ，CE ），（AE ，BC ）和（AB ，CE ）、（AC ，BD ），（AD ，BC ），（AE 、CD ）两种情况，故不同的安排方法共有 考点：排列与组合.11．设分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点使得两直线斜率，则双曲线的离心率的取值范围为A. B. C. D.12．已知定义域为的函数，若对任意的，有，则称函数为“定义域上的函数”，以下五个函数：①；②；③；④；⑤，其中是“定义上的函数”的有A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C 【解析】试题分析：对于①，()()()()()121212122326f x x x x f x f x x x +=++≤+=++，满足条件；对于②，()()()222212121212122,f x x x x x x f x f x x x +=+++=+，当x 1x 2>0时，不满足，故②不是“定义域上的函数”；对于③，()()()2222121212121221,2f x x x x x x f x f x x x +=++++=++，因为，所以，故，③满足条件；对于④，()()()()121212211212sin sin cos sin cos sin sin f x x x x x x x x x x f x f x +=+=+≤+=+，故④满足条件；对于⑤，()()()()()1221212212log ,log f x x x x f x f x x x +=++=，因为，所以，可得，故⑤满足条件. 是“定义域上的函数”有 ①③④⑤，共4个. 考点：1.新定义问题；2.函数性质的应用.第Ⅰ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分，请将正确答案填在题中横线上. 13.已知展开式的常数项为15，则展开式的各项系数和为 .14.已知满足，，记的最大值为，则函数（且）的图象所过定点坐标为 .【答案】【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，解方程组得边界点的坐标为A(1,3),B(2,2),C(1,1)，易知将代入时会使得目标函数取得最大值z=2×2-2=2.所以过定点(1,3).考点：线性规划.15.已知数列是等比数列，且，则.16.在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积取最大值时有 .x三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设数列满足，且对任意，函数满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，求证：.18.(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为，试求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据：【答案】（1）没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；（2）2人； (3) 的分布列是的期望值是. 【解析】试题分析：（1）直接代入公式计算对照表格可知；（2）由分层抽样的比例可计算其人数；(3)先写出所有的的可能性，求出其概率，由公式计算其期望即可. 试题解析：（1）由列联表可得222()100(26203024)0.649350.708()()()()56445050n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯.(3分)所以没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关. (4分)（2）依题意可知，所抽取的5位女性中,19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值.FBDAC【答案】(1)见解析；(2). 【解析】试题分析：(1)先利用等腰三角形性质得，由线面性质垂直性质可得，又因为，20. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程；(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在点使之成立.则有11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =--=--+)4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+= )4(3112)2(31612)1(22222222m k k k m k k k k +++⋅+-+-⋅+= （10分）要使上式为定值，即与k 无关，则应，即，此时为定值，定点为.（12分）考点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆与直线的位置关系；3.向量运算.21. (本小题满分12分)已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)求证：当时，请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)自圆外一点引圆的两条割线和，如图所示，其中割线过圆心，.(1)求的大小；(2)分别求线段和的长度.P【答案】(1); (2) ,.【解析】试题分析：(1)由可知，所以即23. (本小题满分10分)已知在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）.(1)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；(2)直线的坐标方程是，且直线与圆交于两点，试求弦的长.24. (本小题满分10分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围；(2)当正数满足时，求的最小值.【答案】(1); （2）.【解析】试题分析：(1) 0恒成立等价于，从而可求的取值范围;n ~22100 5654 噔H225587 63F3 揳 \39791 9B6F 魯UYEzID。
2021年江苏高三一模数学试卷(七市联考)-学生用卷
2021年江苏高三一模数学试卷（七市联考）-学生用卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第1题5分设集合A={x∈N|2<x<6}，B={x|log2(x−1)<2}，则A∩B=（）．A. {x|3⩽x<5}B. {x|2<x<5}C. {3,4}D. {3,4,5}2、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第2题5分已知2+i是关于x的方程x2+ax+5=0的根，则实数a=（）．A. 2−iB. −4C. 2D. 43、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第3题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第3题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第3题5分哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（）．A. 11B. 13C. 15D. 174、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第4题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第4题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第4题5分医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式x=k0k(1−e−kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h)．经测试发现，当t=23时，x=k02k，则该药物的消除速率k的值约为（ln2≈0.69）A. 3100B. 310C. 103D. 10035、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第5题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第5题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第5题5分(1−2x)n的二项展开式中，奇数项的系数和为（）．A. 2nB. 2n−1C. (−1)n+3n2D. (−1)n−3n26、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第6题5分函数y=sinπx|2x−1|的图象大致为（）．A.B.C.D.7、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第7题5分已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →+PB →+PC →=0→；乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)；丙：|PA →|=|PB →|=|PC →|；丁：PA →⋅PB →=PB →⋅PC →=PC →⋅PA →．如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）．A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第8题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第8题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第8题5分已知曲线y=lnx在A(x1,y1)，B(x2,y2)两点处的切线分别与曲线y=e x相切于C(x3,y3)，D(x4,y4)，则x1x2+y3y4的值为（）．A. 1B. 2C. 52D. 174二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第9题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第9题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第9题5分已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（）．A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//α，m⊥β，则α⊥βC. 若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//nD. 若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n10、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第10题5分2020~2021学年4月广东深圳龙华区深圳市第二外国语学校高二下学期月考第10题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第10题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第10题5分已知函数f(x)=sin(2x−π6)，则（）．A. f(x)的最小正周期为πB. 将y =sin2x 的图象上所有的点向右平移 π6 个单位长度，可得到f (x )的图象C. f (x )在(−π6,π3)上单调递增D. 点 (−5π12,0)是f (x )图象的一个对称中心11、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第11题5分若函数f(x)={−x 3−x +2+m,x <1x +1−lnx ，x ⩾1的值域为[2,+∞)，则（ ）． A. f (3)>f (2)B. m ⩾2C. f (ln 22)>f (1e) D. log m (m +1)>log (m+1)(m +2)12、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第12题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第12题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第12题5分2020~2021学年广东深圳盐田区深圳外国语学校高三上学期开学考试理科第9题5分冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3°C ，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3°C 人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）．A. 中位数为3，众数为2B. 均值小于1，中位数为1C. 均值为3，众数为4D. 均值为2，标准差为√2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第13题5分在正项等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7=27，则∑log 3a i 9i=1= ．14、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第14题5分已知双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程： ．15、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第15题5分2020~2021学年3月广东广州荔湾区广东实验中学高一下学期月考第15题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第15题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第15题5分“康威圆定理”是英国数学家约翰⋅康威引以为豪的研究成果之一，定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC =a ，AC =b ，AB =c ．延长线段CA 至点A 1，使得AA 1=a ，以此类推得到点A 2，B 1，B 2，C 1和C 2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a =4，b =3，c =5，则由△ABC 生成的康威圆的半径为 ．16、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第16题5分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第16题5分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第16题5分已知在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8．若P 为圆柱底面圆弧CD ⌢的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第17题10分已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1=3n+5．(1) 求数列{a n}的通项公式．}的前n项和为S n．若∀n∈N∗，S n<−λ2+4λ（λ为偶数），求λ的值．(2) 记数列{1a n a n+118、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第18题12分2020~2021学年4月江苏苏州姑苏区苏州第十中学高一下学期月考第20题在①(b+a−c)(b−a+c)=ac；②cos(A+B)=sin(A−B)；=sinC③tanA+B2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2√2，，？19、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第19题12分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第19题12分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第19题12分2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(1) 根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．(2) 该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．20、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第20题12分2021年江苏南通高三一模（苏北六市）第20题12分2021年江苏徐州高三一模（苏北六市）第20题12分如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．(1) 证明：OH//平面A′EF．(2) 求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．21、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第21题12分−a．已知函数f(x)=x2−2lnxx(1) 若f(x)⩾0，求实数a的取值范围．(2) 若函数f(x)有两个零点x1，x2，证明：x1x2<1．22、【来源】 2021年江苏高三一模（七市联考）第22题12分已知点A，B在椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB．(1) 若a=√3，b=1，直线OA的方程为x−3y=0，求直线OB的斜率．(2) 若△OAB是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求ba的最大值．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;C;10 、【答案】 A;C;D;11 、【答案】 A;B;C;D;12 、【答案】 B;D;13 、【答案】9;14 、【答案】x2−y24=1（答案不唯一）;15 、【答案】√37;16 、【答案】4√105π;17 、【答案】 (1) a n=n+1．;(2) λ=2．;18 、【答案】选择条件①和②，b=2√3；选择条件①和③，b=2√6；选择条件②和③，b= 2√2．;19 、【答案】 (1)有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．;(2) X的分布列为X的数学期望为6．5;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 4√31．31;21 、【答案】 (1) (−∞,1]．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) −1．12;(2) √5−1．2;。
最新2021届高三数学下学期第一次普查调研考试试题 文(含解析)
2021届高三数学下学期第一次普查调研考试试题 文（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|03}A x Z x =∈≤≤，{|(1)(2)0}B x x x =+-≤，则A B =（ ）A. {1,2}B. {0,1,2}C. {|02}x x ≤≤D.{|13}x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合B ，再根据交集运算即可求得A B .【详解】解不等式可得集合{|12}B x x =-≤≤， 由交集运算可知{0,1,2{|03}{|12}}x Z x x A x B ∈≤≤⋂-≤==≤，故选：B.【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2.若复数cos sin z i αα=+，则当2παπ<<时，复数z 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】复数cos sin z i αα=+，在复平面内对应的点为()cos ,sin αα， 当2παπ<<时，cos 0,sin 0αα<>，所以对应点的坐标位于第二象限， 故选：B.【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题. 3.在等差数列{}n a 中，若125a a +=，3415a a +=，则56a a +=（ ） A. 10 B. 20C. 25D. 30【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组即可得首项与公差，进而由等差数列通项公式求得56a a +.【详解】在等差数列{}n a 中，125a a +=，3415a a +=， 根据等差数列通项公式，设公差为d ，可知111152315a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩，解得15452a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故56a a +1145a d d a +=++ 19225a d +==，故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个【答案】D【解析】【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选D．【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．5.若5件产品中包含2件废品，今在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是（）A.310B.25C.35D.710【答案】D【解析】【分析】根据题意，三件不是废品标记为,,A B C，两件废品为1,2；利用列举法列举出所有可能，即可得在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率.【详解】若5件产品中包含2件废品，则有三件不是废品，标记为,,A B C ，两件废品为1,2； 在其中任取两件的所有取法有：,,,1,2,1,2,1,2,12AB AC BC A A B B C C ； 取出的两件中至少有一件是废品的为1,2,1,2,1,2,12A A B B C C ， 则在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是710； 故选：D.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，列举法求古典概型概率，属于基础题. 6.已知2log 3a =，21log 312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 6c =则（ ）A. b a c >>B. b c a >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，结合不等式性质可证明()()1log 2log 1n n n n +++<，从而比较,a c 大小；根据对数性质可比较b 与,a c 大小，即可得解. 【详解】由对数函数性质可知，()()()33254425log 3log 6log 3log 4log 4log log l g 5o 65-=-++--，而由()()()111log 2l 1og 2log log n n n n n n n n ++++=+⋅+()21log 22n n n ++⋅⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦因为()()22221n n n n n +⋅=+<+，所以()21log 212n n n ++⋅⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，因而()()1log 21lo 1g n n n n +++<，即()()1log 2log 1n n n n +++< 所以()()()33254542log 3log 6log 3log 4log 4log log log 6055+--=-+->则25log 3log 6>，即2a c >>； 而2221log 13log log 3322231b -⎛⎫= ⎪⎝⎭===，所以b a c >>， 故选：A.【点睛】本题考查了对数函数图像与性质的应用，由不等式证明大小关系，对数的运算与化简，属于中档题.7.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A.12B.23C.34D.45【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为r ，表示出圆柱和球的体积，即可求得球的体积与圆柱的体积之比. 【详解】设球的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ， 所以球的体积为34=3V r π球， 圆柱的体积为23=22V r r r ππ⨯=圆柱，所以球的体积与圆柱的体积之比为3342332rV V r ππ==球圆柱，故选：B.【点睛】本题考查了圆柱与球体积公式的简单应用，属于基础题.8.已知抛物线24y x =，F 是焦点，P 是抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义||()||PF d P FQ =.当点P坐标为(-时，()d P =（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】B【解析】 【分析】根据抛物线方程，先求得焦点坐标，由两点间距离公式可得PF ，结合两点间斜率公式求得直线PF 的斜率k ，即可由点斜式表示出直线PF 的方程；联立抛物线与直线方程，即可求得交点坐标，进而求得FQ ，即可由定义求得||()||PF d P FQ =. 【详解】抛物线24y x =，F 是焦点，则()1,0F ， 点P坐标为(-，则6PF ==，而直线PF的斜率为011k ==---PF 的方程为)1y x =--，所以联立直线PF 与抛物线可得)214y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，则32FQ ==， 所以由定义可得||6()43||2PF d P FQ ===， 故选：B.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，两点间斜率公式及两点间距离公式的应用，属于基础题.9.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值为（ ）A. 31020-B. 316-C.310D.316【答案】C 【解析】 【分析】设AB a ，则12AA a =，取1BB 中点N ，AB 中点E ，连接11,,,NE NC EC CE ，由勾股定理及中位线定理表示出1ENC △的三条边长，结合余弦定理即可求得1cos ENC ∠，由异面直线夹角的取值范围即可确定异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值.【详解】正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，设AB a ，则12AA a =， 取1BB 中点N ，AB 中点E ，连接11,,,NE NC EC CE ，如下图所示：则1ENC ∠即为异面直线1AB 和BM 所成的角或其补角， 所以1152EN AB ==，22222211319444EC EC CC a a a =+=+=，1C N BM ==，所以在1ENC △中由余弦定理可得2221111cos 2NC NE EC ENC NC NE +-∠=⋅222519220a a a +-==-， 因为异面直线夹角的取值范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1AB 和BM， 故选：C【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，余弦定理在解三角形中的应用，异面直角夹角取值范围的应用，属于中档题.10.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x >时，其解析式为21()2xf x xe x =+，则()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ）A. 1(21)2y e x e =-+--B. 1(21)2y e x e =+--C. 3(21)32y e x e =-+++D. 3(21)32y e x e =+++【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数性质及分段函数解析式求法，先求得0x <时()f x 的解析式，即可由导数几何意义求得切线方程.【详解】定义在R 上偶函数()f x ，所以()()f x f x =-当0x >时，其解析式为21()2xf x xe x =+， 则当0x <时，0x ->，则21()2xf x xe x --=-+，而()()f x f x =-，所以当0x <时，21()2xf x xe x -=-+， 则1(1)2f e -=+，所以切点坐标为11,2e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由21()2xf x xex -=-+，可得()x x f x xe e x ---'=+， 所以切线斜率为()(1)121k f e e e -='-=-+-=-- 则切线方程为()()12112y e x e =-++++，化简可得1(21)2y e x e =-+--，故选：A.【点睛】本题考查了由奇偶性求函数解析式，由导函数求切线方程，属于基础题. 11.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π； ②函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ③函数()f x 的图象关于直线38x π=-对称；④函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④【答案】C 【解析】 【分析】根据降幂公式和辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数的图像与性质即可判断各选项是否正确.【详解】由降幂公式和辅助角公式化简可得2()sin 22sin 1f x x x =-+sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于①，由解析式可知最小正周期为π，所以①正确； 对于②，由函数解析式可知，满足3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时单调递减，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，当0k =时，单调递减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以②正确； 对于③，由函数解析式可知对称轴满足2,42x k k Z πππ+=+∈，解得,82k x k Z ππ=+∈，所以当1k =-时，对称轴为38x π=-，所以③正确；对于④，函数2y x =的图象向左平移4π个单位可得2242y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与所求解析式不同，因而④错误，综上可知，正确的为①②③， 故选：C.【点睛】本题考查了降幂公式与辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.12.已知定义在实数集R 的函数()f x 满足(2)7f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()3f x '<()x R ∈，则不等式()31f x x <+的解集为（ ）A. (1,)+∞B. (,2)-∞-C. (,1)(1,)-∞⋃+∞D. (2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据所要求的不等式及导数不等式，构造函数()()()31g x f x x =-+，可知()g x 在R 上单调递减，结合(2)7f =可知()20g =，即可由单调性得不等式解集. 【详解】令()()()31g x f x x =-+， 则()()3g x f x '='-， 因为()3f x '<，()x R ∈，所以()()()31g x f x x =-+在R 上单调递减，且因为(2)7f =，所以()()2(2)3210g f =-⨯+=， 所以()31f x x <+，即()0g x <的解集为(2,)+∞，故选：D.【点睛】本题考查了构造函数解不等式，导函数与函数单调性关系，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.） 13.已知(3,2)a =，(1,2)b x x =-，若a 与b 共线，则x =_______. 【答案】12-. 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标关系，即可求得参数x 的值. 【详解】(3,2)a =，(1,2)b x x =-，a 与b 共线， 则满足()3221x x ⨯=⨯-， 解得12x =-，故答案为：12-. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系及简单应用，属于基础题. 14.在一次电子邮件传播病毒事例中，已知第一轮感染的计算机数是6台，并且从第一轮开始，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的10台，那么到第6轮后，被感染的计算机的台数为_____（用数字作答）. 【答案】666666 【解析】 【分析】根据题意，可知数列为等比数列，即可由等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】根据题意可知，新感染的计算机为等比数列，首项为6，公比为10，所以前6轮的总感染计算机台数为()666110666666110S ⨯-==-，故答案为：666666.【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式在实际问题中的应用，属于基础题. 15.给出下列四个命题：①“3x <-”是“ln(4)0x +<”的必要不充分条件②函数()f x =+的最小值为2③命题“0x ∀>，(2020)20200x+>”的否定是“00x ∃，0(2020)20200x +”④已知双曲线C 过点，且渐近线为3y x =±，则离心率3e =，其中所有正确命题的编号是：_______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据充分必要条件的关系和定义，可判断①；根据基本不等式成立条件，结合对勾函数求得最小值，即可判断②；根据含有量词的否定形式，可判断③；根据双曲线的渐近线方程，可设出标准方程，代入点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得离心率，即可判断④. 【详解】对于①，当ln(4)0x +<时，满足43x -<<-，所以433x x -<<-⇒<-，反过来不成立，因而“3x <-”是“ln(4)0x +<”的必要不充分条件，所以①正确；对于②，函数()f x =+，令t t =≥1(),f t t t t=+≥，由对勾函数性质可知，当t =时取得最小值，f ==，即()f x 的最小值为2，所以②错误； 对于③，命题“0x ∀>，(2020)20200x +>”的否定是“00x ∃>，0(2020)20200x +≤”，所以③错误；对于④，双曲线渐近线为y x =，不妨设双曲线方程为()22,093x y λλ-=≠，且过点，代入可得9293λ-=，所以13λ=，即2213x y -=，所以离心率为3c e a ===，所以④正确；综上可知，正确的为①④， 故答案为：①④.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，含有量词命题的否定形式，基本不等式使用条件及最值求法，双曲线标准方程及渐近线的综合应用，双曲线离心率求法，综合性强，属于中档题.16.动直线:(12)(1)3(1)0,()l m x m y m m R ++--+=∈与圆22:2440C x y x y +-+-=交于点A B 、，则动直线l 必过定点______；当弦AB 最短时，直线l 的方程为______. 【答案】 (1). (2,1)- (2). 10x y +-= 【解析】 【分析】将直线方程变形，即可求得所过定点的坐标；由圆的几何性质，可知当直线与定点和圆心连线垂直时，直线与圆相交所得弦长最短，进而由垂直时的斜率关系和点斜式求得直线方程. 【详解】将直线:(12)(1)3(1)0,()l m x m y m m R ++--+=∈， 变形可得()2330x y m x y +-+--=，所以直线所过定点满足23030x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 必过定点(2,1)A -；圆22:2440C x y x y +-+-=，化为标准方程可得()()22129x y -++=，设圆心为()1,2C -，当直线与AC 垂直时，解得圆的弦长最短， 因为直线AC 的斜率为()12121AC k ---==-，所以直线l 的斜率为1l k =-，因为过定点(2,1)A -，所以由点斜式可得()21y x =---，化简可得10x y +-=；故答案为：(2,1)-；10x y +-=.【点睛】本题考查了直线过定点的求法，直线与圆位置关系的综合应用，圆的几何性质应用，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【答案】（1）（2【解析】 【分析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出sin C 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出sin A ，最后利用正弦定理求出BC 长；（2）利用余弦定理可以求出AB 的长，进而可以求出BD 的长，然后在BCD ∆中，再利用余弦定理求出AB 边上中线CD 的长.【详解】（1）(0,)sin C C π∈∴==，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C π=--=⋅+⋅=，由正弦定理可知中： sinsin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：2AB ===，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD ∆中，由余弦定理可知：CD === 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.18.呼和浩特市地铁一号线于2019年12月29日开始正式运营有关部门通过价格听证会，拟定地铁票价后又进行了一次调查.调查随机抽查了50人，他们的月收入情况与对地铁票价格态度如下表：（1）若以区间的中点值作为月收入在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中“认为票价合理者”的月平均收入与“认为票价偏高者”的月平均收入的差是多少（结果保留2位小数）；（2）由以上统计数据填写下面22⨯列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁票价的态度有差异”附：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++【答案】（1）差距为11.81（百元）；（2）列联表见解析；没有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁定价的态度有差异. 【解析】 【分析】（1）设x 表示“认为价格合理者”的月平均收入，y 表示“认为价格偏高者”的月平均收入 ，根据所给数据即可求得x 、y 的值，即可求得x 、y 的差，即为“认为票价合理者”的月平均收入与“认为票价偏高者”的月平均收入的差.（2）根据所给数据，填写列联表，即可由公式求得2K ，与临界值比较，即可判断. 【详解】（1）设x 表示“认为价格合理者”的月平均收入，y 表示“认为价格偏高者”的月平均收入，20130240350560370450.56123534x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++++，204308401250560270138.754812521y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++，所以“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距为11.81（百元）， （2）根据条件可到列联表如下：222()50(311729) 6.27()()()()32181040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为6.27 6.635<所以没有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁定价的态度有差异.【点睛】本题考查平均数的求法，完善列联表及独立性检验思想的综合应用，卡方计算，属于基础题.19.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 在DC 边上，且1DE =，将ADE 沿AE 折到AD E '的位置，使得平面AD E '⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证：AE BD '⊥； （Ⅱ）求三棱锥A BCD '-的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）8515. 【解析】【详解】试题分析：（1）先根据三角形相似得AE BD ⊥，设BD 交AE 于点O ，则根据折叠前后关系得OB AE ⊥，OD AE '⊥，再根据线面垂直判定定理得AE ⊥平面OBD '.最后根据线面垂直性质定理得AE BD '⊥；（2）先由面面垂直性质定理得OD '⊥平面ABCE ，即得三棱锥的高，再根据三棱锥体积公式求体积D ABC V '-，最后利用等体积法得三棱锥A BCD '-的体积.试题解析：（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，依题意得2AB ADDA DE==，所以Rt ABD ~ Rt DAE ，所以DAE ABD ∠=∠，所以90AOD ∠=︒，所以AE BD ⊥，即OB AE ⊥，OD AE '⊥，又OB OD O ⋂'=，OB ,OD '⊂平面OBD '. 所以AE ⊥平面OBD '.又1,BD OBD ⊂'平面 所以AE BD '⊥；（Ⅱ）因为平面AD E '⊥平面ABCE ， 由（Ⅰ）知，OD '⊥平面ABCE ， 所以OD '为三棱锥D ABC '-的高，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，1DE =，所以5D O '=，所以A BCD D ABC V V '--'==13ABC S D O ⋅='114232⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 即三棱锥A BCD '-的体积为15. 20.已知函数32()1,(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >.【答案】（1）223,39b a a a=+>；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数()f x '，由极值点存在条件可知>0∆，可得23a b >；再求得导函数()f x '的极值点，即可由导函数()f x '的极值点是()f x 的零点代入求得,a b 等量关系，结合不等式求得定义域.（2）利用分析法分析可知，若证明23b a >，只需证明3232239a a +>求得导函数，结合导函数的单调性和最值证明不等式成立即可. 【详解】（1）函数32()1,(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈, 则2()32f x x ax b '=++，因为有极值点，所以24120a b ∆=->， 化简可得23a b >，导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.而导函数()f x '的极值点为二次函数顶点的横坐标，所以2233a ax =-=-⨯是()f x 的零点. 即03a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入可得3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简可知2239b a a =+，又23a b >，即222393a a a +⎛⎫>⨯⎪⎝⎭，解得3a >， 223,39b a a a∴=+>， （2）证明:要证23b a >，3a >，只要证b >只要证2239a a+>，只要证3232239a a +> 设32t a =，t >23()9g t t t=+，所以2222222322727()0999t t t g t t t t-+-'=-==>，227t >，()g t g ∴>=，23b a ∴>，原式得证.【点睛】本题考查了导函数与极值点的关系，函数零点定义，由分析法证明不等式，利用导数单调性与最值证明不等式成立，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF ∆（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求AMN ∆的面积S 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2214x y +=；(Ⅱ)答案见解析.【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意利用待定系数法可得椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，与椭圆方程联立可得()2224240n y nmy m +++-=，则212122224,44nm m y y y y n n --+==++，满足题意时1212121204444y y y y x x ny m ny m +=+=--+-+-，据此可得1m =.则直线MN 过定点()1,0B ，且(12y y -=，三角形的面积12121322S AB y y y y ⎛=-=-∈ ⎝⎭. 试题解析：（Ⅰ）设222a b c -=，则c a =设(),P x y ，则1212,F PF F PF S c y y b S bc ∆∆=≤∴≤=解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，联立22440x ny mx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2224240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++， 因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0，即1212044y y x x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-， 得()()121212240ny y m y y y y ++-+=，即()2222224280444n m nm nm n n n --+=+++.解得：1m =. 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点()1,0B ， 又12y y -===，令211,0,44t t n ⎛⎫=∴∈ ⎪+⎝⎭(12y y ∴-=，又12121322S AB y y y y ⎛=-=-∈ ⎝⎭. 点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.已知椭圆1C 的普通方程为：22149x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且ABCD 逆时针依次排列，点A 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）写出曲线1C 的参数方程，及点,,B C D 的直角坐标；（2）设P 为椭圆1C 上的任意一点，求：2222||||||||PA PB PC PD +++的最大值.【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ为参数，(B -，(2)C--，(2,D -； （2）100.【解析】【分析】（1）根据普通方程与参数方程的转化可得曲线1C 的参数方程，由极坐标与直角坐标的转化可得A 的直角坐标；进而由ABCD 为正方形求得点,,B C D 的直角坐标；（2）设(2cos ,3sin )P θθ，即可由两点间距离公式表示出2222||||||||PA PB PC PD +++，再根据三角函数性质即可求得最大值.【详解】（1）椭圆1C 的普通方程为22149x y +=， 则12cos 3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，θ为参数， A 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，A ∴的直角坐标为2)，4OA =，曲线2C 的极坐标方程为4ρ=，化为直角坐标方程为2216x y +=，将A 旋转90︒得(B -，同理(2)C --，(2,D -.（2）设(2cos ,3sin )P θθ，2222||||||||PA PB PC PD +++2222(2cos (3sin 2)(2cos 2)(3sin θθθθ=-+-+++-2222(2cos (3sin 2)(2cos 2)(3sin θθθθ+++++-++()222224cos 129sin 44cos 49sin 12θθθθ=+++++++()24205sin θ=+2222||||||||PA PB PC PD ∴+++的最大值为100【点睛】本题考查了椭圆参数方程与极坐标方程的转化，两点间距离公式及三角函数性质的应用，属于中档题.23.已知函数()221f x x a x =-++，（1）当1a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集；（2）已知()12g x x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）75|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）(,4][0,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）将1a =代入不等式，分类讨论即可解不等式，求得解集.（2）由()12g x x =-+可知()2g x ≥，结合绝对值三角不等式可知()2f x a ≥+，进而可知22a +≥，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()2122f x x x =-++， 当12x >时，不等式可化为21226x x -++≤，解得54x ≤，1524x ∴<≤ 当112x ≤≤-时，不等式可化为(21)226x x --++≤，解得36<，112x ∴-≤≤ 当1x <-时，不等式可化为(21)(22)6x x ---+≤，解得74x ≥-，714x ∴-≤<- 综上所述，不等式的解集是75|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）()122g x x =-+≥，()2222f x x a x a =-++≥+由题意得|2|2a +≥0a ≥或4a ≤-a ∴的取值范围是(,4][0,)-∞-+∞【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的综合应用，属于中档题.。
2021年高三调研试题(一)数学理 含解析
2021年高三调研试题（一）数学理含解析本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：棱锥的体积公式：，是棱锥底面积，是棱锥的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合,，,则（）2．已知是实数，是纯虚数，则等于（）A. B. C. D.3. 若，则有（）.A. B. C. D.4.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于( )OEDCBADCBA A. B. C. D.5. 函数是（ ）A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的偶函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．B ．C ．D ．7. 已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ） A ． B ． C ． D ． 8. 设实数x 、y 满足，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~13题）9. 等差数列的前项和为，若，则10.已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.11. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于47的概率为 ． 12. 不等式解集是_____________________.13. 已知函数，且关于x 的方程有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线 的距离是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）如图，在中，，，，点是的中点, 求: （1）边的长； （2）的值和中线的长.17. （本小题满分12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：2 113 3正视图 侧视图21 频率／组距分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（1）求直方图中的值；（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）现有６名上学路上时间小于分钟的新生，其中２人上学路上时间小于分钟. 从这６人中任选２人，设这２人中上学路上时间小于分钟人数为,求的分布列和数学期望．18. （本小题满分14分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，平面，，．(1) 求证：平面平面；(2) 若二面角为直二面角，求直线与平面所成的角的正弦值．19.（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在的最大值为，求的值.20.（本小题满分14分）已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、…、恰为等比数列，且，，.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设数列的前项和为, 求证：（是正整数）.21.（本小题满分14分）设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆． （1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．xx 届高三年级第一次模拟测试 (理科)参考答案和评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．CAABA CDB 题目解析: 1. 解析：，所以，选C2.解析：是纯虚数，则；，选A3. 解析：，，，选A.4. 解析：，， 选B5. 解析：23312sin ()cos 2()sin 244y x x x ππ=--=-=-，所以是最小正周期为的奇函数，选A6. 解析：由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C7. 解析： 得712039430))()(22=⇒=++--⇒=⋅-+-⋅λλλλλ,选D 8. 解析：：作出可行域如图，当平行直线系在直C线BC 与点A 间运动时，，此时，平行直线线在点O 与BC 之间运动时，，此时，. .选B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 10. , 11. 12. 13. 14. 15.. 题目解析:9. 解析：可已知可得,10. 解析：由几何概型得到输出的x 不小于47的概率为P== 11. 解析：，， 切线方程 ，即12. 解析：设，则.由，解得，所以解集为13. 解析：如图，在同一坐标系中分别作出与的图象， 其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当时，直线与只有一个交点.14. 解析：利用已知条件可得，15. 解析：如下图, 设圆心到直线距离为，因为圆的半径为，三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本题满分12分)解：解：由可知，是锐角，所以，sin C ∠===………………………….2分由正弦定理................... .................................................................................5分 (2) cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=- (8)分 由余弦定理:CD ==………………. ………………………………………………12分zMFENMFE GDCBA 17. (本题满分12分)（1）由直方图可得：200.0125200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 .……………………………2分（2）新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：…………………………………4分 因为所以名新生中有名学生可以申请住宿.………………6分（3）的可能取值为0，1，2. …………………………………7分 所以的可能取值为………………………………７分0 1 2………………………11分………………………………12分18.（本小题满分14分）（1）矩形中，--------1分 平面，平面,平面，-2分 同理平面,-------3分 又平面∥平面------4分 （2）取的中点.由于面, ∥,,,,ED AD ED DC FB BC FB AB ⊥⊥⊥⊥又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形， 所以，就是二面角的平面角-------8分解法1（几何方法）：延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知， ，,相交于，平面，为所求.由,,得等腰直角三角形中，,可得直角三角形中, 解法2几何方法）：由，，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角. ------12分连结，设则在中，，，用余弦定理知.462cos 222-=⋅-+=∠BC MC MB BC MC MCB ---14分解法3（向量方法）：以为原点，为轴、为轴建立如图的直角坐标系，由则，时间频率／组距x0.01250.00650.003102030405060708090100110O，平面的法向量， -------12分. ---14分19.（本小题满分14分）解:(1) ……………………………………….1分其判别式，因为，所以，，对任意实数，恒成立，所以，在上是增函数……………………………………….4分（2）当时，由（1）可知，在上是增函数，所以在的最大值为，由，解得（不符合，舍去）……………………………6分当时，，方程的两根为，，………………………………………8分图象的对称轴因为（或）, 所以由解得①当，，因为，所以时，,在是减函数，在的最大值，由，解得（不符合，舍去）.………………………………….………………………12分②当，，，，在是减函数，当时，，在是增函数.所以在的最大值或，由，，解得（不符合，舍去），……………………14分综上所述20.（本小题满分14分）解：（1）设数列的公差为，由已知得，，成等比数列，∴，且……………………………2分得或∵已知为公差不为零∴，……………………………3分∴. ……………………………4分（2）由（1）知∴……………………………5分而等比数列的公比.∴……………………………6分因此，∵∴……………………………7分∴……………………………9分∵当时，0122113(12)2222n n n n n n n n n n n C C C C C --=+=+⨯+⨯++⨯+⨯∴ （或用数学归纳法证明此不等式）∴ ……………………………11分 ∴当时，，不等式成立； 当时，综上得不等式成立.……………………………14分法二∵当时，0122113(12)2222n n n n n n n n n n n C C C C C --=+=+⨯+⨯++⨯+⨯∴ （或用数学归纳法证明此不等式） ∴ ……………………………11分 ∴当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立； 当时，12111111()()311321341n n <++-++-----+ 综上得不等式成立.……………………………14分(法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得： 所以，时，， 211111151531()233344342n n --<+++⋅⋅⋅+=-<<⋅ 时， 综上得不等式成立.20.（本小题满分14分）解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下 相应的位置上.)1 .已知集合 A={x|-1 vxv3} , B= { - L 0, 1, 2, 3},则 A 「| B=.2 .已知复数z 满足(l + i)z =3 —i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的模为. 3 .双曲线下一丁 二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J ； — log4(x — l)的定义域为.|x + 2|,-2<x<0八 c c ，贝4/(/(17))-tan ——,0< x< 24的值为.7 .设函数/。
)=碗(5・+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X 都成立，则出的最小值为8 4v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为 ________lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f —为奇函数，则函数/(X)的极大值为10・ 已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6 5 2 12 11 .已知Iog2〃 + log2^ = 2,则2"+2,的最小值为 12 .如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC±BD, BC=2, 则B A B C=.13 .在锐角AABC 中，设角A, B, C 的对边分别为a, 6, c ,若」的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x))关于点(x , f (x))对称，则称函数〃(x)是函数g(x)关于函数/‘(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。
2021年高三下学期第一次调研(一)考试数学(文)试题 含解析
2021年高三下学期第一次调研（一）考试数学（文）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的子集可以是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：A{2,4},各选项中只有D符合.考点：集合运算.2.若复数是虚数单位）是纯虚数，则的值是A. B. C. D.3．已知抛物线，则A.它的焦点坐标为B. 它的焦点坐标为C.它的准线方程是D. 它的准线方程是4．下列说法中，不正确．．．的是A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“若都是奇数，则是奇数”的否命题是“若不都是奇数，则不是奇数”C.命题或，则使或D.命题若回归方程为，则与正相关；命题：若，则，则为真命题5.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.6．给出以下数阵，按各数排列规律，则的值为122353416164565655nA. B. C. D.326【答案】C【解析】试题分析：根据图中数字发现，这组数具备的特征是每一行的第一个数和最后一个数都是该行的行数，中间的每个数等于它肩上的上一行两个相邻数之积再加1，故．考点：归纳推理.7．运行如下程序框图：否是k=k+1结束输出Sk<n?S=S+2kk=1S=0开始若输出的的值为12，则判断框中的值可以是A.2B.3C.4D.58．已知，则直线与圆相离概率为A. B. C. D.9．已知向量()3(sin2,1),(cos2,),()2m x n x f x m n m==-=-⋅，则函数的最小正周期与最大值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：,5()()sin2(sin2-cos2)2f x x x x=-⋅+m n m=21512sin2sin4(cos4sin4)34322224x x x x xπ⎛⎫=-+=-++=-++⎪⎝⎭，故的最小正周期T=,最大值为考点：1.向量的坐标运算；2.三角函数的图象与性质. 10．已知一个几何体的三图如图所示，山该几何体的体积为正视图21121A. B. C. D.11．设分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点使得两直线斜率，则双曲线的离心率的取值范围为A. B. C. D.12．已知定义域为的函数，若存在开区间和常数，使得任意，都有，且对任意，都有恒成立，则称函数为区间上的“型”函数，给出下列函数：①；②；③；④其中是区间上的“型”函数的函数的个数为A.0B.1C.1D.3第Ⅰ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分，请将正确答案填在题中横线上.13.抽测100名学生的身高（单位：cm）,其中频率分布直方图如图所示，则这100名学生中，身高不低于160cm的人数为 .14.已知满足，，记的最大值为，则函数（且）的图象所过定点坐标为 .15.已知函数是定义在上且图象连续的奇函数，当时，，则的值为 . 【答案】 【解析】试题分析：由为奇函数且图象连续，可得,解得,所以22log (21)(2)(2)(2221)4f f +-=-=--⨯-=-,，所以.考点：函数的奇偶性及其表示.16.在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，则周长的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设数列满足，且对任意，函数满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，求证：.18.(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，求这2人中至少有1人为“非微信控”的概率.参考公式：，其中.19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，为上的动点，为棱的中点. (1)求证：平面；(2)试确定点的位置，使得平面平面，并说明理由.FBDAC20. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程；(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)记，试证明：当时，.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)自圆外一点引圆的两条割线和，如图所示，其中割线过圆心，.(1)求的大小；(2)分别求线段和的长度.A DOBP【答案】(1); (2) ,.【解析】试题分析：(1)由可知，所以即23. (本小题满分10分)已知在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）.(1)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；(2)直线的坐标方程是，且直线与圆交于两点，试求弦的长.所以弦的长为：（10分）考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直角坐标与极坐标的互化；3.求圆的弦长问题.24. (本小题满分10分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围；(2)当正数满足时，求的最小值.3030 6 7662 癢25032 61C8 懈s21907 5593 喓~&c39960 9C18 鰘21460 53D4 叔%rr z。
2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学(理)试题Word版含解析
2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,A a =-， {}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________． 【答案】1【解析】∵B A ⊆， ∴a A ∈． ∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）． 答案：12．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．【答案】【解析】 ，所以复数的实部为3．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生. 【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取50065=25400+400+500⨯名学生4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.【答案】10【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】12【解析】从4个社团中随机选择2个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为31=626．若实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y ≥≤--≤则2x y -的最大值为________. 【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线2x y z -=过点A(4,3)时z 取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.【答案】65【解析】()2,0F , 双曲线221169x y -=的渐近线为340x y ±=，距离为|32+0|6=55⨯8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________. 3【解析】由8646a a a =+得4223263,3,3q q q q a a q =+∴====9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为过坐标原点，所以()-2036226k k k Z πππππϕπϕϕϕ+=∈∴=-<<∴=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.10．若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为_________. 【答案】2e -【解析】因为ln 1y x '=+ ，所以()()2ln11ln 11ln 2,t t t e -++=-∴=-=11．11．如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ，则12．如图，已知矩形的边长，.点， 分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为 ，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅==设()()1111,,,4,4y y M x y P x y x x ==∴= 2214x y x x+∴=因为11144x y +=- ，所以11x 1,44x yx +⋅=- 14x x y x=- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM =点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14．已知函数()()221,{ ,x ax a f x ln x --+=- 0,0,x x ≥< ()212g x x a =+-，若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得()()min 01,12f a g x a =-=-．（1）当1a >时， ()()2010,410f a a a =-∆=+-，如图，函数()y f x =有2个零点，即11x =-，20x >．又()min 120g x a =-<，故方程2121220x a x a =-+=->和方程22210x a x =-+>各有两个解， ∴方程()0g x =有4个解．∴函数()()y f g x =有4个零点．故1a >满足题意．（2）当1a =时， ()00,40f =∆=>，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >，30x >．又()min 10g x =-<，结合（1）中的方法可得方程()211,2,3i x x i =+=有5个解． ∴函数()()y f g x =有5个零点．故1a =不满足题意．（3）当1a <时， ()010f a =->， ①若()2410a a ∆=+->，即5112a -<<时，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >， 30x >．又()min 121g x a =->-，故当11x =-时，方程2220x a =-<无解． 所以要是函数()()y f g x =有4个零点，需满足()12{120a af a -<->，解得113a <<，故5112a -<<．②当512a -≤时，结合图象可得，函数()()y f g x =不会有4个零点． 综上可得5112a -<<或1a >． 故实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 答案： ()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中， AB PC ⊥， CA CB =， M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ； （2）平面ABN ⊥平面PMC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得//MD AN ，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得AB MC ⊥，再由已知AB PC ⊥，以及线面垂直判定定理得AB ⊥平面PMC .最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在ABN ∆中， M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ， MD ⊄平面PAC ， 所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中， CA CB =， M 是AB 的中点， 所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥， PC ⊂平面PMC ， MC ⊂平面PMC ， PC MC C ⋂=，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ， 所以平面ABN ⊥平面PMC .16．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且222a b c bc =+-， 15a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（152）10 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得3A π=.再根据正弦定理得sin B 的值（2）根据同角三角函数平方关系得cos B ，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得， 2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B =得， sin sin bB A a =3515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<. 又5sin 5B =，所以225cos 1sin 5B B =-=. 在ABC ∆中， A B C π++=，所以cos cos 1212C A B πππ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252525252⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 1010=-. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）220x y ++=， 220x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为22a c，联立离心率条件解得2a =， 2c =2b =.（2）由面积关系得M 为AB 中点，由直线AB 点斜式方程与椭圆方程联立解得B 坐标，由中点坐标公式得M 坐标，代入圆方程解得直线AB 斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得， 22c a =，2242a c= 解得2a =， 2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=， 所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()2,0A -.设()00,M x y ，则()0022,2B x y +.所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②， 由①②得20918160x x --=， 解得023x =-， 083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为()2y k x =+.由()221,{ 422,x y y k x +==+得()2222128840k x k x k +++-=， 所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，所以()2224212B M x k x k +--==+， ()22212M M ky k x k =+=+， 代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 化简得422820k k +-=， 即()()2272410k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.18．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）5m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB 方程与圆方程解得P 点纵坐标，即得点P 到AD 的距离；（2）①先求点P 到AD 的距离为40sin θ，再根据三角形相似得EF 的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥， 由()2222,{400,y x x y y =+=≥得5y =所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以， EF 的长度为 ()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=+， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=-.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19．已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()73M a <-.【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式 试题解析：（1）因为()()'x x f x e x a e =++ ()1x x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133x x a e x a x a =++-++-- ()()133x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则()'3x h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值， 此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.令()'0F x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值.所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-， 则()2'32t m t e t t =-+-， 1t <-. 因为10t e e --<-<， 2325t t ->， 所以()'0m t >，所以()m t 单调递增.所以()172233t m t e -<--<--=-，所以()73M a <-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{}n b 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n 为奇数时， ()()1212130n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时， ()121210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立； 若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列. 21．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.【答案】【解析】试题分析： 作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.试题解析： 延长交与点，连结，，，则过点．由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.又，所以.22．已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.【答案】2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦【解析】试题分析：由向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量可得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由此可求得,x λ，从而可得A ，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得1A -． 试题解析：由已知得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,{0.x λ==所以1[ 0A = 02⎤⎥⎦.设1[ a A c -= b d ⎤⎥⎦，则11[ 0AA -= 0[ 2a c ⎤⎥⎦ b d ⎤⎥⎦ 1[ 0= 01⎤⎥⎦，即[ 2ac 1[ 20bd ⎤=⎥⎦ 01⎤⎥⎦.解得1a =， 0b c ==， 12d =， 所以11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.综上2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,{ 1x t y t =-=-（t 为参数）相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先把曲线的参数方程化成普通方程，然后将曲线方程和直线方程联立解方程组，从而得到点A ， B 的坐标，再用两点间的距离公式求解． 试题解析： 由21,{1x t y t =-=-消去参数t 得22y x x =+，所以曲线的普通方程为22y x x =+. 解方程组2,{2,y x y x x ==+得0,{x y ==或1,{1,x y =-=-所以()0,0A ， ()1,1B --， 所以AB ==即线段AB ．24．已知1a >， 1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-，再两式相加即得22811b a a b +≥--.即可得最小值 试题解析：因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-. 两式相加：()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +， 所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23（2）13λ=【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设PH PC λ=，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PH PC 的值. 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ， ()4,0,0B ， ()4,2,0C ， ()0,4,0D ， ()0,0,4P （1）由题意可知， ()0,4,4DP =-， ()4,2,0DC =-.设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =，则110{ 0n DP n DC ⋅=⋅=即440{ 420y z x y -+=-=令1x =，则2y =， 2z =.所以()11,2,2n =.平面ACD 的法向量为()20,0,1n =，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅==， 所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知， ()4,2,4PC =-， ()4,2,0DC =-，设()4,2,4PH PC λλλλ==-，则DH DP PH =+= ()4,24,44λλλ--，因为DC DH =，所以()()()2224244420λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+= 1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值 试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k x x ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=- ()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- ()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin 112122sin 2k x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+= 1sin 201812122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin 12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152= 所以2342018sin2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。
2020-2021学年高三数学第一次调研测试题及答案解析(苏教)
最新 高三（下）第一次调研数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为 ．2．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．3．不等式的解集是 ．4．已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则sin α+2cos α= ．5．设函数f （x ）=则的值为 ．6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m ，n ∈R ），则m ﹣n 的值为 ．7．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足∀x 1，x 2∈[0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，则的大小关系是 ．8．若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 ．9．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量，，满足，则函数y=f （x ）的表达式为 ．10．已知命题p 1：函数y=2x ﹣2﹣x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2﹣x 在R 上为减函数，则在命题①p 1∨p 2②p 1∧p 2③（￢p 1）∨p 2④p 1∧（￢p 2）中真命题是 ．11．已知点P 是曲线y=x 3﹣10x+3上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P 处的切线斜率为2，则这条切线方程为 ．12．已知函数f （x ）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线x=，则f （x ）的单调递增区间为 ．13．已知函数f （x ）=x ﹣，g （x ）=x 2﹣2ax+4，若∀x 1∈[0，1]，∃x 2∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．二、简答题（共6小题，90分）15．化简与求值：（1）．（2）．16．已知α，β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，，求△ABC的面积．18．已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m﹣1）与f（3﹣m）的大小；（Ⅲ）求最小的整数m（m≥﹣2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．19．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．20．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．【考点】并集及其运算．【分析】求出A∪B，再明确元素个数【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：52．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的充分不必要条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据A=可以判断sinA=，得到前者可以推出后者，举出一个反例来说明后者不一定推出前者，得到前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：若A=，根据三角函数的特殊值知sinA=，即前者可以推出后者，当sinA=，比如sin=，显然A=，不成立．得到前者不能推出后者，∴综上可知前者是后者的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．不等式的解集是（﹣1，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化成相同的形式，化底数为3，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围．【解答】解：∵，∴，∵y=2x是一个递增函数，∴x2﹣x＜2，⇒﹣1＜x＜2．故答案为：（﹣1，2）4．已知角α的终边上有一点P（﹣3，4），则sinα+2cosα= ﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x=﹣3，y=4，r=5，可得cosα和sinα的值，从而求得sinα+2cosα的值．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（﹣3，4），∴x=﹣3，y=4，r==5，∴cosα==﹣，sinα==，∴sinα+2cosα=+2×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．5．设函数f（x）=则的值为．【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题是分段函数求值，规律是先内而外逐层求值，先求f（2）值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．【解答】解：由于2＞1，故f（2）=22+2﹣2=4故=≤1故=1﹣=故答案为．6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为﹣3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．7．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足∀x 1，x 2∈[0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，则的大小关系是 ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，得到其为增函数，再结合其为偶函数即可得到结论．【解答】解：因为（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，所以：f （x ）在[0，+∞）上递增，又因为f （x ）是偶函数，所以：f （﹣2）=f （2）∵ ∴f （）＜f （1）＜f （2）=f （﹣2）故答案为：f （）＜f （1）＜f （﹣2）．8．若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 ．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大， 由得D （1，），所以z=x+y 的最大值为1+；故答案为：．9．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量，，满足，则函数y=f （x ）的表达式为． 【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的加法及其几何意义．【分析】由三点共线可得f （x ）+2f ′（1）x ﹣lnx=1，求导数并把x=1代入可得f ′（1）的值，进而可得解析式．【解答】解：∵A 、B 、C 三点共线，且，∴f （x ）+2f ′（1）x ﹣lnx=1，两边求导数可得：f ′（x ）+2f ′（1）﹣=0，把x=1代入可得f ′（1）+2f ′（1）﹣1=0，解得f ′（1）=，故f （x ）+x ﹣lnx=1，即故答案为：10．已知命题p 1：函数y=2x ﹣2﹣x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2﹣x 在R 上为减函数，则在命题①p 1∨p 2②p 1∧p 2③（￢p 1）∨p 2④p 1∧（￢p 2）中真命题是 ①④ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由指数函数的单调性判断p 1的真假，利用导数判断函数y=2x +2﹣x 的单调性，然后利用复合函数的真假判断逐一核对四个命题得答案．【解答】解：∵y=2x ﹣2﹣x =在R 上为增函数，∴命题p 1为真命题； 由y=2x +2﹣x ，得y ′=2x ln2﹣2﹣x ln2=ln2（2x ﹣2﹣x ），当x ∈（﹣∞，0）时，y ′＜0，当x ∈（0，+∞）时，y ′＞0，∴函数y=2x +2﹣x 在R 上为先减后增，命题p 2为假命题．则p 1∨p 2为真命题；p 1∧p 2为假命题；（￢p 1）∨p 2为假命题；p 1∧（￢p 2）为真命题． 故答案为：①④．11．已知点P 是曲线y=x 3﹣10x+3上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P 处的切线斜率为2，则这条切线方程为 y=2x+19 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为P （x 0，y 0），求出函数的导数，根据导数的几何意义得f ′（x 0）=3x 02﹣10=2，所以得x 0=﹣2（舍正），从而得出切点为P （﹣2，15）．根据斜率为2，利用点斜式可得直线方程，最后化成斜截式．【解答】解：设P （x 0，y 0），求得函数的导数为f ′（x ）=3x 2﹣10由题意知：f ′（x 0）=3x 02﹣10=2，∴x 02=4．∴结合函数图象第二象限内的一点，得x 0=﹣2，∴y 0=15．∴P 点的坐标为（﹣2，15）．直线方程为y ﹣15=2（x+2），即y=2x+19故答案为：y=2x+1912．已知函数f （x ）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线x=，则f （x ）的单调递增区间为 ． 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【分析】依题意，f （0）=f （），可求得m=1，利用辅助角公式可得f （x ）=sin （2x+），从而可求得f （x ）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f （x ）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线对称， ∴f （0）=f （）， ∴m=1，∴f （x ）=sin （2x+）， 由2k π﹣≤2x+≤+2k π，k ∈Z 得： k π﹣≤x ≤+k π，k ∈Z ．故答案为：[k π﹣， +k π]（k ∈Z ）．13．已知函数f （x ）=x ﹣，g （x ）=x 2﹣2ax+4，若∀x 1∈[0，1]，∃x 2∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是 [，+∞） ．【考点】函数恒成立问题． 【分析】先用导数研究出函数f （x ）的单调性，得出其在区间[0，1]上的值域，f （x ）的最小值是f （0）=﹣1．然后将题中“若∀x 1∈[0，1]∃x ∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2）”转化为f （x 1）的最小值大于或等于g （x 2）在区间[1，2]能够成立，说明g （x 2）≤﹣1在区间[1，2]上有解，注意到自变量的正数特征，变形为，在区间[1，2]上至少有一个实数解，即在区间[1，2]上的最小值小于或等于2a ，问题迎刃解．【解答】解：函数f （x ）=x ﹣的导数，函数f （x ）在[0，1]上为增函数，因此若∀x 1∈[0，1]，则f （0）=﹣1≤f （x 1）≤f （1）=原问题转化为∃x 2∈[1，2]，使f （0）=﹣1≥g （x 2），即﹣1≥x 22﹣2ax 2+4，在区间[1，2]上能够成立变形为，在区间[1，2]上至少有一个实数解 而，所以 故答案为[，+∞）14．已知函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 （1，2） ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f （x ）﹣a|x|=0得f （x ）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f （x ）﹣a|x|=0得f （x ）=a|x|，作出函数y=f （x ），y=a|x|的图象，当a ≤0，不满足条件，∴a ＞0，当a ≥2时，此时y=a|x|与f （x ）有三个 交点，当a=1时，当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2﹣5x ﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）二、简答题（共6小题，90分）15．化简与求值：（1）．（2）．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．（2）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：（1）==cosα．（2）==1．16．已知α，β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）∵，从而．又∵，∴．…利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…==．…17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）三角函数问题一般都是要把三角函数转化为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为f（x）=2sin （2x+）．（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知，而，因此我们选面积公式，正好由已知条件可求出A，从而得到面积．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+=sin2x+=2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期为π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），得，∴函数f（x）的单调增区间是[k，k]（k∈Z），（2）由已知，f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜，∴，∴2A+=，从而A=，又∵=，∴，∴△ABC的面积S===．18．已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m﹣1）与f（3﹣m）的大小；（Ⅲ）求最小的整数m（m≥﹣2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当x＜0时，﹣x＞0，利用f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln （x+2），可求函数的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，从而可得当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）；（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立，从而有对x∈[m，10]恒成立，由此可求适合题意的最小整数m的值．【解答】解：（Ⅰ）当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）∴f（x）=f（﹣x）=ln（﹣x+2）…（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（m﹣1）＞f（3﹣m）所以|m﹣1|＞|3﹣m|所以（m﹣1）2＞（3﹣m）2所以m＞2…所以当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）…（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）2，即|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立…从而有对x∈[m，10]恒成立，因为m≥﹣2，所以…因为存在这样的t，所以﹣m2﹣7m﹣7≤m2+5m+7，即m2+6m+7≥0…又m≥﹣2，所以适合题意的最小整数m=﹣1…19．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．【解答】解：（1），，．由于，，所以，所以．所以，．（2）当时，，（米）．（3），设sinθ+cosθ=t，则，所以．由于，所以．由于在上单调递减，所以当即或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．20．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．2016年10月23日。
2021年江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市联考高考数学三调试卷(解析版)
2021年江苏省苏北七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高考数学三调试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|log2（x﹣1）≤1}，B＝{x|21﹣x≥}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．（1，2]D．（1，3]2．已知复数z＝+3i，则|z|＝（）A．5B．C．D．3+3．设a＝3，b＝log43，c＝4，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．已知点A（1，1），B（7，5），将向量绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为（）A．（5，﹣5）B．（3，﹣7）C．（﹣5，5）D．（﹣3，7）5．“角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1．若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是（）A．32B．16C．5D．46．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．D．77．在数1和3之间插入n个实数，使得这n+2个数构成等差数列，将这n+2个数的和记为b n，则数列{log3}的前78项的和为（）A．3B．log378C．5D．log388．已知函数f（x）＝2lnx﹣x2e x+1．若存在x0＞0，使f（x0）≥ax0，则a的最大值为（）A．0B．﹣1C．1﹣e D．1﹣e2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在△ABC中，M是BC的中点．若＝，＝，则||＝（）A．|﹣|B．|+|C．D．10．在（2x2﹣）6的展开式中，下列说法正确的是（）A．各项系数和为1B．第2项的二项式系数为15C．含x3的项的系数为﹣160D．不存在常数项11．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o．设计师的灵感来源于曲线C：|x|n+|y|n＝1．则下列说法正确的是（）A．曲线C关于原点成中心对称B．当n＝﹣2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2C．当n＞0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为πD．当n＞0时，曲线C所围成图形的面积小于412．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′．设二面角D′﹣AC﹣B的大小为θ，则下列说法正确的是（）A．若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝B．四面体D'ABC的体积最大值为1C．四面体D′ABC的表面积最大值为2（+2）D．当时，四面体D′ABC的外接球的半径为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新2021届高三数学第一次质量普查调研考试试题 理(含解析)
2021届高三数学第一次质量普查调研考试试题 理（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题部分答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号座位号涂写在答题卡上本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{|03}A x Z x =∈，{|(1)(2)0}B x x x =+-≤，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {1,2}C. {|02}x xD.{|13}x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】化简集合,A B ，再进行交集运算，即可得答案； 【详解】{|03}{0,1,2,3}A x Z x =∈=，{|(1)(2)0}{|12}B x x x x x =+-≤=-≤≤，∴{0,1,2}A B ⋂=，故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算和解不等式，考查运算求解能力，属于基础题. 2.若复数cos sin z i αα=+，则当2παπ<<时，复数z 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】复数cos sin z i αα=+，在复平面内对应的点为()cos ,sin αα，当2παπ<<时，cos 0,sin 0αα<>，所以对应点的坐标位于第二象限， 故选：B.【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题.3.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】对于选项A ，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A 正确，对于选项B ，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B 正确， 对于选项C ，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C 正确，对于选项D ，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误， 故选D ．【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题． 4.已知||1a =，||2b =，向量,a b 的夹角为3π，则()a a b ⋅+=（ ）1 B. 1C. 21【答案】C 【解析】 【分析】直接根据向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】2()112cos23a ab a a b π⋅+=+⋅=+⨯⨯=，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-+，则6S 的值为（ ） A.665729B.486665C.665243D.659【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系可得数列{}n a 为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】当1n =时，11111213S a a a ==-+⇒=， 当2n ≥时，1121n n S a --=-+，由21n n S a =-+，∴112223n n n n n a a a a a --=-+⇒=， ∴数列{}n a 为等比数列，∴6612[1()]66533272913S =--=， 故选：A.【点睛】本题考查根据数列的递推关系求等比数列的前6项和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6.如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为圆锥，求出其侧面积和底面积，即可得到全面积. 【详解】圆锥的母线长312l =+=，底面半径1r =，∴1(21)232S πππ=⨯⨯⨯+=， 故选：C.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、圆锥的表面积计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力. 7.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π； ②函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ③函数()f x 的图象关于直线38x π=-对称； ④函数()f x 的图象可由函数22y x =的图象向左平移4π个单位得到其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④【答案】C 【解析】 【分析】根据降幂公式和辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数的图像与性质即可判断各选项是否正确.【详解】由降幂公式和辅助角公式化简可得2()sin 22sin 1f x x x =-+sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于①，由解析式可知最小正周期为π，所以①正确； 对于②，由函数解析式可知，满足3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时单调递减，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，当0k =时，单调递减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以②正确； 对于③，由函数解析式可知对称轴满足2,42x k k Z πππ+=+∈，解得,82k x k Z ππ=+∈，所以当1k =-时，对称轴为38x π=-，所以③正确；对于④，函数2y x =的图象向左平移4π个单位可得2242y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与所求解析式不同，因而④错误，综上可知，正确的为①②③， 故选：C.【点睛】本题考查了降幂公式与辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知[150,300]x ∈且x 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为（ ） A. 2021 B. 2305 C. 4610 D. 4675【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列，再利用等差数列的前n 项和公式，即可得答案；【详解】131x k =+且253x k =+，∴12352k k =+，∴当2222,5,8,,k k k ===时，13,28,43,x =，∴x 的值构成以13为首项，公差为15的等差数列， ∴13(1)15152n x n n =+-⋅=-，[150,300]x ∈，∴150152300n ≤-≤1120n ⇒≤≤，∴x 的取值的和为201020(13298)10(13148)230522S S ⋅+⋅+-=-=，故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.已知01a b <<<，则下列不等式一定成立的是（ ） A.ln ln a ba b> B.ln 1ln ab< C. ln ln a a b b <D. a b a b >【答案】A 【解析】 【分析】根据选项特点分别构造函数，并利用导数研究函数的单调性，即可得答案； 【详解】对A ，令()ln x f x x=，'2ln 1()(ln )x f x x -=，当'()00f x x e <⇒<<，∴()f x 在(0,)e 单调递减，∴()()f a f b >，即ln ln a b a b>，故A 正确； 对B ，01a b <<<，∴ln ln 0a b <<，∴ln 1ln ab>，故B 错误； 对C ，令()ln f x x x ='()ln 1f x x ⇒=+，当10x e<<时，'()0f x <；当1x e >时，'()0f x >，∴()f x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增，显然当1b e=时，ln ln a a b b >，故C 错误；对D ，ln ln a b a a b b a b ⇔>>，由C 选项的分析，当1a e=时，ln ln a a b b <，故D 错误；故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数性质、判断不等式是否成立，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10.设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率是（ ）A.3D.32【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点到渐近线的距离为b ，结合角平分线的性质、勾股定理，可得离心率. 【详解】如图所示，||FA b =，∴||OA a =，2AF FB =，∴||2BF b =，BOF AOF ∠=∠，∴||||||2||2||||OB BF OB bOB a OA AF a b=⇒=⇒=， ∴222222222||||9433()|||3|4OB BF a b a a b c a OA AF c a +=⇒=-⇒==⇒=，∴3e =故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意焦点到渐近线的距离为b 的运用.11.表面积为60π的球面上有四点,,,S A B C ，且ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABCSAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为（ ）A. 3+B. 18C. 27D. 9+【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积可得球的半径，再根据球心O 到平面ABC ABC 的边长，当SAB 为等腰三角形时，三棱锥S ABC -的体积达到最大，代入体积公式即可得答案；【详解】如图所示，取1O 为ABC 的中心，过1O 作1OO ⊥平面ABC ，设O 为外接球的球心，连OA ，1AO ，246015R R ππ=⇒=，222115312OA R OO =-=-=，∴23=OA ∴236sin 60ABAB ==，当SAB 为等腰三角形时，三棱锥S ABC -的体积达到最大，设SAB 的外心为2O ，D 为AB 的中点，则213O D OO == ∴232223(3)1223O A O A =+=⇒= ∴33sin sin AB ASB ASB =∠=∠，∴60ASB ∠=， ∴ASB ∆为正三角形时，三棱锥的高的最大值为3633=∴2max 113()(6332732S ABC V -=⋅⋅⋅=，故选：C.【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、球的体积公式计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.12.已知2,0(),0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若2()(1)()0f x a f x a +--=恰有两个实数根12,x x ，则12x x +的取值范围是（ ）A. (1,)-+∞B. (1,2ln22]--C. (,22ln2]-∞-D.(,2ln 22]-∞-【答案】D 【解析】 【分析】 对方程2()(1)()0f x a f x a +--=进行求解得()f x a =，再求出12ln x x a +=(1)a ，利用导数求函数的最大值，即可得答案；【详解】2()(1)()0f x a f x a +--=，∴(()1)(())0()1f x f x a f x +-=⇒=-或()f x a =，2,0(),0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，∴()0f x ≥，∴()1f x =-（舍去），∴22112,ln ,x x a x x a e a ⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩，∴12ln x x a +=(1)a ，∴令1)t t =>，则2ln y t t =-，∴'21y t=-， ∴''012,02y t y t >⇒<<<⇒>，∴函数y 在(1,2)单调递增，在(2,)+∞单调递减， ∴max (2)2ln 22y y ==-， ∴12(,2ln 22]x x +∈-∞-，故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值、方程的根，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于a 的函数值域问题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13.6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】240 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可得【详解】利用二项展开式的通项公式可得666316621(2)()2,0,,6r rr r r rr T C x C x r x---+===，当6302r r -=⇒=，∴展开式中的常数项为24621516240C =⨯=，故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理求展开式的常数项，考查运算求解能力. 14.已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，()2cos sin f x x x =--，则()f x 在点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为_______. 【答案】210x y π+-+=【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出当0x >时函数的解析式，利用导数的几何意义求切线的方程；【详解】当0x >时，0x -<，∴2cos sin ()()2cos sin ()x x f x f x x x f x -+=--=⇒-=， ∴'()2sin cos f x x x =--，∴'()22f π=-，∴切线方程为12()2y x π+=--，即210x y π+-+=.故答案为：210x y π+-+=.【点睛】本题考查导数的几何意义、奇函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意先求解析式再求导数.15.若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为__________．【答案】411【解析】设事件A={两件中有一件不是废品}，事件B={两件中恰有一件为废品}，则1128210211828210()()4()()()11C C C P AB P B P B A C C C P A P A C ====+. 16.已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =.已知点(P -，则()d P =______；设点(1,)(0)P t t ->，则2()||d P PF -的值为____. 【答案】 (1). 4 (2). 2 【解析】 【分析】（1）根据直线PF的方程1)y x =--，求出点1(2Q ，再利用焦半径公式，即可得答案；（2）根据||2()||22||||PQ d P PF PF FQ -=+-，再利用抛物线的定义，即可得答案； 【详解】（1）(P -，(1,0)F ，∴||6PF =，∴直线PF的方程为1)y x =--，与24y x =联立得：22520x x -+=，解得：12x =或2x =，∴1(2Q ，∴||6()41||12PF d P FQ ===+； （2）设准线与x 轴的交点为M ，QN PM ⊥于N ，∴||||||||2()||2||2||22||||||||PF PQ QF PQ d P PF PF PF PF FQ FQ FQ +-=-=-=+- ||||22||22||22||PQ PF PF PF NQ =+-=+-=，故答案为：4,2.【点睛】本题考查抛物线中线段比例的新定义题、抛物线的焦半径，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，2AB AC =，25cos 5B =.（1）若BD AD =，求ADAC的值； （2）若AD 为BAC ∠角平分线，且3BC =ADC 的面积.【答案】（15（2）13或15【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将ADAC 转化成求sin sin C ADC∠的值，即可得答案； （2）设AC t =，则2AB t =，在ABC 中由余弦定理可得15t =155t =，再分别求出ACD 的面积.【详解】（1）cos B =，可得：sin 5B ==， sin sin AC ABB C=，2AB AC =， sin 2sin C ABB AC∴== BD AD =，可得ADC 2B ∠=∠，sin sin 22sin cos ADC B B B ∴∠==，∴在ADC 中sin 2sin 1sin 2sin cos cos 2AD C B AC ADC B B B ====∠ （2）设AC t =，则2AB t =，在ABC 中由余弦定理可得：cos B =，解得t =t =因为2BD DC =，所以DC =又由（1）知sin 2sin 1C AB B AC ==所以sin 2sin C B ==由（1）知当3AC =时，11||||sin 23ACD S AC CD C =⋅⋅=△当5AC =时，11||||sin 25ACD S AC CD C =⋅⋅=△综上ACD 的面积为13或15【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用、三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 在DC 边上，且1DE =，将ADE 沿AE 折到AD E '的位置，使得平面AD E '⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证：AE BD '⊥；（Ⅱ）求二面角D AB E '--的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）2121. 【解析】试题分析：（I ）连接BD 交AE 于点O ，根据对应边成比例可证得两个直角三角形,ABD DAE 相似，由此证得AE BD ⊥，而OD AE '⊥，故AE ⊥平面OBD '，所以AE BD ⊥'.（II ）由（I ）知OD '⊥平面ABCE ，以O 为原点联立空间直角坐标系，利用平面D AB '和平面ABE 的方向量，计算两个半平面所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，依题意得2AB ADDA DE==，所以Rt ABD ~ Rt DAE ， 所以DAE ABD ∠=∠，所以90AOD ∠=︒，所以AE BD ⊥，即OB AE ⊥，OD AE '⊥，又OB OD O ⋂'=，OB ,D '⊂平面OBD '. 所以AE ⊥平面OBD '.又1BD ⊂平面OBD '，所以AE BD ⊥'. （Ⅱ）因为平面AD E '⊥平面ABCE ， 由（Ⅰ）知，OD '⊥平面ABCE ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示. 在Rt AD E '中，易得5OD '=5OA =，5OE =， 所以5A ⎫⎪⎭，5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5D '⎛⎝，则,,055AB ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0,,55BD ⎛=- ⎪⎝'⎭， 设平面ABD '的法向量()1,,n x y z =，则110{0n AB n BD ='⋅=⋅，即055{055x y y z -+=-+=，解得2{4x y z y ==，令1y =，得()12,1,4n =，显然平面ABE 的一个法向量为()20,0,1n =. 所以121212cos ,n n n n n n ⋅〈〉=42121211==⨯，所以二面角D AB E '--的余弦值为421.19.检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对(*)n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n 次；②混合检验，即将其中k （*k ∈N 且2k ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，再对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为(01)p p <<.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来概率；（2）现取其中k （*k ∈N 且2k ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点2ξ.当41p e=-根据1ξ和2ξ的期望值大小，讨论当k 取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈， 2.72e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈.） 【答案】（1）110（2）k 的取值大于等于9时采用逐份检验方式好. 【解析】 【分析】（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，利用古典概型的概率计算公式，即可得答案；（2）易得()1E k ξ=，2ξ的取值为1，1k +，利用对立事件可求得()21P k ξ=+，进而得到()421k E k keξ-=+-，所以41kk ke k -+->，两边取对数利用导数，可得不等式的解.【详解】（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，则22251()10A P A A ==.（2）易得()1E k ξ=，2ξ的取值为1，1k +，计算()21(1)kP p ξ==-，()211(1)kP k p ξ=+=--，所以()()2(1)(1)1(1)1(1)kkkE p k p k k p ξ=-++--=+--，又141p e-=-，()421k E k ke ξ-=+-，令41kk ke k -+-<，即ln 04kk ->.设()ln 4xf x x =-，114()44x f x x x-'=-=，0x >， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增； 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减. 且(8)ln823ln220f =-=->，99(9)ln92ln3044f =-=-<， 所以k 的取值大于等于9时采用逐份检验方式好.【点睛】本题考查古典概型概率计算、对立事件、离散型随机变量的方差、导数的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，对阅读能力要求较高.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF ∆（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求AMN ∆的面积S 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2214x y +=；(Ⅱ)答案见解析.【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意利用待定系数法可得椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，与椭圆方程联立可得()2224240n y nmy m +++-=，则212122224,44nm m y y y y n n --+==++，满足题意时1212121204444y y y y x x ny m ny m +=+=--+-+-，据此可得1m =.则直线MN 过定点()1,0B ，且(12y y -=，三角形的面积12121322S AB y y y y ⎛=-=-∈ ⎝⎭. 试题解析：（Ⅰ）设222a b c -=，则c a =设(),P x y ，则1212,F PF F PF S c y y b S bc ∆∆=≤∴≤=解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，联立22440x ny mx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2224240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++， 因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0，即1212044y y x x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-， 得()()121212240ny y m y y y y ++-+=， 即()2222224280444n m nmnmn n n --+=+++.解得：1m =. 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点()1,0B ，又12y y -===，令211,0,44t t n ⎛⎫=∴∈ ⎪+⎝⎭(12y y ∴-=，又1212130,222S AB y y y y ⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21.已知函数()()ln()f x x a ax =-（0a >且1a ≠）的零点是12,x x .（1）设曲线()y f x =在零点处的切线斜率分别为12,k k ，判断12k k +的单调性； （2）设0x 是()f x 的极值点，求证：1202x x x +>.【答案】（1）在(0,1)单调递增，在(1,)+∞递减（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出函数的零点11x a=，2x a =，再利用导数的几何意义可得12k k +关于a 的函数，再利用导数研究函数的单调性即可； （2）对函数进行求导得()ln()1ln ln 1a af x ax x a x x'=-+=-++，利用导数证明函数()()00()0F x f x x f x x =+--<，不妨设1020x x x <<<，利用所证不等式，即可证得结论.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+ （1）由()()ln()0f x x a ax =-=，得11x a=，2x a =. 则()21111k f x f a a ⎛⎫''===-+⎪⎝⎭，()22()2ln k f x f a a ''===， 所以2122ln 1k k a a +=-+.令2()2ln 1g x x x =-+.则222(1)()2x g x x x x-'=-=，所以当01x <<时，()0g x '>；当1x >时()0g x '<， 故()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞递减.（2）()ln()1ln ln 1a af x ax x a x x'=-+=-++， 又21()af x x x''=+在0x >，∴()0f x ''>恒成立， 由题知0x 为()f x 的极值点， 所以00ln 10aax x -+=且()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 故0x x =为()f x 的极小值点.令()()00()F x f x x f x x =+--， 则()()00()F x f x x f x x '''=++-()()()()0000ln ln 2ln 2a ax x x x a x x x x =+-+--+++-，故()()()()()022222220000001124()a a x ax xF x x x x x x x x x x x x x --''=+--=++--+--，因为00x x <<，所以()0F x ''<，所以()F x '在()00,x 单调递减，所以0000()(0)ln ln 2ln 20a aF x F x x a x x ''<=-+-++= 所以()F x 在()00,x 单调递减，所以()(0)0F x F <= 所以()()00f x x f x x +<-， 不妨设1020x x x <<<，()()()()()()()()21100001001012f x f x f x x x f x x x f x x x f x x ==-+=-->+-=-所以()()2012f x f x x >-，又()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所以2012x x x >-，即1202x x x +>.【点睛】本题考查导数几何意义的应用、导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题的本质是极值点偏移问题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.已知椭圆1C 的普通方程为：22149x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且ABCD 逆时针依次排列，点A 的极坐标为4,6π⎛⎫⎪⎝⎭（1）写出曲线1C 的参数方程，及点,,B C D 的直角坐标；（2）设P 为椭圆1C 上的任意一点，求：2222||||||||PA PB PC PD +++的最大值.【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ为参数，(B -，(2)C --，(2,D -； （2）100.【解析】【分析】（1）根据普通方程与参数方程的转化可得曲线1C 的参数方程，由极坐标与直角坐标的转化可得A 的直角坐标；进而由ABCD 为正方形求得点,,B C D 的直角坐标；（2）设(2cos ,3sin )P θθ，即可由两点间距离公式表示出2222||||||||PA PB PC PD +++，再根据三角函数性质即可求得最大值. 【详解】（1）椭圆1C 的普通方程为22149x y +=， 则12cos 3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，θ为参数， A 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，A ∴的直角坐标为2)，4OA =，曲线2C 的极坐标方程为4ρ=，化为直角坐标方程为2216x y +=，将A 旋转90︒得(B -，同理(2)C --，(2,D -.（2）设(2cos ,3sin )P θθ，2222||||||||PA PB PC PD +++2222(2cos (3sin 2)(2cos 2)(3sin θθθθ=-+-+++-2222(2cos (3sin 2)(2cos 2)(3sin θθθθ+++++-++()222224cos 129sin 44cos 49sin 12θθθθ=+++++++()24205sin θ=+2222||||||||PA PB PC PD ∴+++的最大值为100【点睛】本题考查了椭圆参数方程与极坐标方程的转化，两点间距离公式及三角函数性质的应用，属于中档题.23.已知函数()221f x x a x =-++，（1）当1a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集；（2）已知()12g x x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）75|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）(,4][0,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）将1a =代入不等式，分类讨论即可解不等式，求得解集.（2）由()12g x x =-+可知()2g x ≥，结合绝对值三角不等式可知()2f x a ≥+，进而可知22a +≥，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()2122f x x x =-++， 当12x >时，不等式可化为21226x x -++≤，解得54x ≤，1524x ∴<≤ 当112x ≤≤-时，不等式可化为(21)226x x --++≤，解得36<，112x ∴-≤≤ 当1x <-时，不等式可化为(21)(22)6x x ---+≤，解得74x ≥-，714x ∴-≤<- 综上所述，不等式的解集是75|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）()122g x x =-+≥，()2222f x x a x a =-++≥+由题意得|2|2a +≥0a ≥或4a ≤--∞-+∞∴的取值范围是(,4][0,)a【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的综合应用，属于中档题.。
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2021 届高三第一次调研测试 数学参考答案及讲评建议一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
设集合 A = { x ∈ N | 2 < x < 6 }， B = { x | log 2 (x -1) < 2 }，则 A B =1． A ．{ x | 3 ≤ x < 5 } B ．{ x | 2 < x < 5 } C ．{ 3，4 } D ．{ 3，4 ，5 }【答案】C已知2 + i 是关于 x 的方程 x 2 + ax + 5 = 0 的根，则实数a =2． A ． 2 - i B ． -4 C ．2 D ．4【答案】B3． 哥隆尺是一种特殊的尺子．图 1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2 ，3，4 ，5 ，6 ．图 2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A ．11 B ．13 C ．15 D ．1760 141212 170 1410 3 4 56图 1图 2【答案】C4． 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量 x （单位： mg ）与给药时间t （单位： h ） 近似满足函数关系式 x = k 0 (1- e -kt ) ，其中 k ， k 分别称为给药速率和药物消除速率 k 0 k 0（单位： mg / h ）．经测试发现，当t = 23 时， x = ，则该药物的消除速率k 的值约 2k为（ln2≈0.69）A ． 3B ． 3C ． 10D ． 100 100【答案】A10 3 3(1 - 2x )n 的二项展开式中，奇数项的系数和为5． (-1)n + 3n(-1)n - 3nn -1nA ． 2B ． 2C ．D ．2 2【答案】C函数 y = sin πx 6． 的图象大致为2x - 1yyOxO xB A【答案】D已知点 P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：7． 甲： PA + PB + PC = 0 ；乙： PA ⋅ (PA - PB ) = PC ⋅ (PA - PB ) ；丁： PA ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ PA ．PB PC ；= 如果只有一个等式不成立，则该等式为 A ．甲 【答案】BB ．乙C ．丙D ．丁已知曲线 y = ln x 在 A (x ，y ) ， B (x ，y ) 两点处的切线分别与曲线 y = e x相切于8． 1 1 2 2 C (x 3 ，y 3 ) ， D (x 4 ，y 4 ) ，则 x 1 x 2 + y 3 y 4 的值为 C ．5 D ． 17 A ．1 B ．224【答案】B丙： PA =二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则A．若m α， n α，则m nB．若m α， m ⊥β，则α⊥βC．若α β，m ⊥α，n ⊥β，则m nD．若α⊥β，m α，n β，则m ⊥n【答案】BC10．已知函数f (x) = sin(2x -π) ，则6A． f (x) 的最小正周期为πB．将y = sin 2x 的图象上所有的点向右平移π个单位长度，可得到f (x) 的图象6( )ππC．f (x) 在-，上单调递增6 3( )5πD．点-，0 是f (x) 图象的一个对称中心12【答案】ACD⎧-x3 -x+2+m，x<111．若函数 f (x) =⎨ 的值域为[2 ，+∞) ，则⎩x +1 - ln x ，x≥1A． f (3) >f (2) B．m≥2D．log (m + 1) > logC． f (ln 2) <f (1) (m + 2)m (m+1)2e【答案】ABD12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7 天，每天不超过5 人体温高于37.3︒C ，则称没有发生群体性发热．下列连续7 天体温高于37.3︒C 人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为2【答案】BD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．在正项等比数列{a n } 中，若a 3a 5a 7 = 27 ，则∑log 3 a i = ．i =1 9【答案】914．已知双曲线C 的渐近线方程为 y = ±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程：．y 2【答案】 x - = 1 （答案不唯一）2415．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为 BC = a ，AC = b ，AB = c ．延长线段CA 至点 A 1 ， 使得 AA 1 = a ，以此类推得到点 A 2 ，B 1 ，B 2 ，C 1 和C 2 ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a = 4 ，b = 3，c = 5 ，则由△ABC生成的康威圆的半径为．【答案】 3716．已知在圆柱O 1O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形 ABCD ，其面积为 8．若 P 为圆柱底面圆弧C D 的中点，则平面 PAB 与球O 的交线长为．【答案】 4 10 π5四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知等差数列{a n } 满足a n + 2a n +1 = 3n + 5 ． （1）求数列{a n } 的通项公式；（2）记数列⎧ 1 ⎫ 的前 n 项和为 S ．若∀n ∈ N * ， S < -λ 2+ 4λ （ λ 为偶数）， ⎨ a a ⎬ n n ⎩ n n +1 ⎭求λ 的值．【解】（1）设等差数列{a n } 的公差为d ，因为a + 2a = 3n + 5 ，所以⎧a 1+ 2a 2 = 8 ，⎨an n +1 + 2a = 11， ⎩ 2 3+ 2d = 8 ，⎧3a 1 …… 2 分即 ⎨⎩3a 1 + 5d = 11，解得a 1 = 2 ，d = 1 ，所以a n = 2 + (n - 1) = n + 1 ． 经检验， a n = n + 1 符合题设，所以数列{a n } 的通项公式为a n = n + 1 ．…… 4 分 （2）由（1）得， 1 = 1 = 1 - 1 ，…… 6 分 (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2a n a n +1 ( ) ( )( )1 1 1 1 1 n + 1 1 1 1 n +2 所以 S n = - + - + +- = - ． …… 8 分n + 2 2 2 3 3 4因为∀n ∈ N * ， S < -λ 2 + 4λ ， n所以-λ 2 + 4λ≥ 1 ，即(λ - 2)2 ≤7 ． 2 因为λ 为偶数，所以λ = 2 ．2 ……10 分18．（12 分）在① (b + a - c )(b - a + c ) = ac ；② cos( A + B ) = sin( A - B ) ；③ tan A + B = sin C 这三个2 条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 b 的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且a = 2 2 ，，？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分． 【解】选择条件①和②．因为(b + a - c )(b - a + c ) = ac ，所以a 2 + c 2 - b 2 = ac ，…… 2 分由余弦定理，得cos B = a 2 + c 2 - b 2 = 1 ．2ac2因为0 < B < π ，所以 B = π ．…… 4 分3因为cos( A + B ) = sin( A - B ) ，所以cos( A + π) = sin( A - π) ，3 3 所以cos A cos π - sin A sin π = sin A cos π - cos A sin π ，3 所以sin A = cos A ．…… 6 分 因为0 < A < π ，所以 A = π ．…… 8 分 4在△ABC 中，由正弦定理 a = b ，得 2 2 = b ……10 分． sin A sin B sin π sin π4 3……12 分选择条件①和③．因为(b + a - c )(b - a + c ) = ac ，所以a 2 + c 2 - b 2 = ac ．3 3 3 …… 2 分由余弦定理，得cos B =a 2 + c 2 -b 2 = 1 ． 2ac 因为0 < B < π ，所以 B = π ． …… 4 分cos C 所以 2 C C = sin C = 2sin cos ．…… 6 分sin C2 2 2因为0 < C < π ，所以cos C ≠ 0 ，所以sin 2 C = 1 ．2 2 2因为0 < C < π ，所以sin C > 0 ，所以sin C = 2 ，可得C = π ．…… 8 分 2 2 所以在 Rt △ABC 中， b = a tan π = 2 6 ．……12 分3 选择条件②和③．因为cos( A + B ) = sin( A - B ) ，所以cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B ， 所以(sin A - cos A )(sin B + cos B ) = 0 ． 所以sin A = cos A 或sin B = -cos B ．…… 2 分2 2 32因为0 <A <π ，0 <B <π ，所以A =π或B =3π．……4 分4 4cos C所以 2 = sin C = 2sin C cos C ．…… 6 分sin C 2 22因为0 <C <π ，所以cos C ≠ 0 ，所以sin2 C =1 ．2因为0 <C <π，所以sin C > 0 ，所以sin C = 2 ，可得C =π．……8 分2 2 22 22在△ABC 中，A +B +C =π ，所以A =π，C =π，B =π．……10 分4 2所以△ABC 为等腰直角三角形，所以b =a = 2 2 ．……12 分19．（12 分）2019 年4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800 名学生的选科情况，部分数据如下表：（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5 人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3 人汇报数学学习心得．记3 人中男生人数为X，求X 的分布列和数学期望E( X ) ．n(ad -bc)2(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )附：K 2 =P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828性别科目男生女生合计物理300历史150合计400 8004【解】（1）…… 2 分800 ⨯ (300 ⨯150 - 250 ⨯100)2 550 ⨯ 250 ⨯ 400 ⨯ 400 (450 - 250)2 160 因为 K = 2= = > 10.828 ， 55 ⨯ 25 ⨯ 2 11 所以有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关． …… 6 分 （2）按照分层抽样的方法，抽取男生 2 人，女生 3 人．…… 7 分随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2．C 0C 3 C 1C 2 C 2C 11 3 3 所以 P ( X = 0) =23 = ， P ( X = 1) = 2 3 = ， P ( X = 2) = 2 3 = ． C 3 10 C 35 C 310 5 5 5所以 X 的分布列为……10 分所以 E ( X ) = 0 ⨯ 1 + 1⨯ 3 + 2 ⨯ 3 = 6 ．10 5 10 5 答：X 的数学期望为 6 ． ……12 分520．（12 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，将△ABF 沿直线 BF 翻折至△A 'BF ，使得平面 A 'BF ⊥ 平面 BCDEF ， O ，H 分别为 BF 和 A 'C 的中点．（1） 证明：OH ∥平面 A 'EF ；（2） 求平面 A 'BC 与平面 A 'DE 所成锐二面角的余弦值．EFA DCB图 1X 0 1 2 P1 103 53 10性别科目男生女生合计物理 300 250 550 历史 100 150 250 合计400400800【解】（1）如图，取 A 'E 的中点G ，连结 FG ，HG ，CE ． 又因为 H 是 A 'C 的中点， 1 A 'G E FHDO所以 HG ∥ CE ， HG = 2CE ．BC又因为正六边形 ABCDEF 中， BF ∥ CE ， BF = CE ， 所以 HG ∥ BF ， HG = 1 BF ．…… 2 分2又O 为 BF 的中点，所以 HG ∥ OF ， HG = OF ， 所以四边形OFGH 为平行四边形，所以OH ∥ FG ． 因为 FG ⊂ 平面 A 'EF ， OH ⊄ 平面 A 'EF ， 所以 OH ∥平面 A 'EF ．（2）由条件可知OA ' ⊥ OB ， OA ' ⊥ OD ， OD ⊥ OB ．z…… 4 分6 分…… 分别以OB ，OD ，OA ' 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz ． A 'EF Hy DO设正六边形 ABCDEF 的边长为 2， B xC则 B ( 3 ，0 ，0) ， C ( 3 ，2 ，0) ，D (0 ，3，0) ，E (- 3 ，2 ，0) ， A '(0 ，0 ，1) ， 所以 BC = (0 ，2 ，0) ， A 'C = ( 3 ，2 ，- 1) ， ED = ( 3 ，1，0) ， A 'D = (0 ，3，- 1) ． 设平面 A 'BC 的法向量为n 1 = (x 1 ，y 1 ，z 1 ) ，⎧n = 0， • BC = 0， ⎧2 y 由⎪ 得⎪ 1 1 ⎨ ⎨⎪⎩n 1 ⋅ A 'C = 0 ⎪⎩ 3x 1 + 2 y 1 - z 1 = 0. 取 x 1 = 1 ，可得n 1 = (1，0 ， 3) ．设平面 A 'DE 的法向量为n 2 = (x 2 ，y 2 ， z 2 ) ， …… 8 分⎧⎪n • ED = 0， ⎧⎪ 3x + y = 0， 2 由 得 2 2 ⎨ ⎨ ⎪⎩n 2 ⋅ A 'D = 0， ⎪⎩3y 2 - z 1 = 0. 取 x 2 = 1 ，可得n 2 = (1，- 3 ，- 3 3) ．设平面 A 'BC 与平面 A 'DE 所成锐二面角的大小为θ ，……10 分则cos θ = cos < n ，n > ==1 21+0+3 ⨯ 1+3+27所以平面 A 'BC 与平面 A 'DE 所成锐二面角的余弦值为 4 31 ．……12 分3121．（12 分）已知函数 f (x ) = x 2 - 2 ln x - a ．x（1）若 f (x ) ≥ 0 ，求实数 a 的取值范围；（2）若函数 f (x ) 有两个零点 x 1 ，x 2 ，证明： x 1 x 2 < 1． 【解】（1）函数 f (x ) = x 2 - 2 ln x - a 的定义域为(0，+ ∞) ．x2(1 - ln x ) x 2 2(x 3+ ln x - 1)f (x ) = 2x - ' =． …… 1 分x 2设r (x ) = x 3 + ln x - 1 ，所以r '(x ) = 3x 2 + 1 > 0 ，x 所以函数r (x ) = x 3 + ln x - 1 在(0，+ ∞) 上单调递增． 又r (1) = 0 ，列表如下：…… 3 分所以当 x = 1 时，函数 f (x ) = x 2 - 2 ln x - a 取得最小值为 f (1) = 1 - a ．…… 4 分x 因为 f (x ) ≥ 0 ，即1 - a ≥0 ，所以a ≤1 ． 所以 a 的取值范围是(-∞，1]． 5 分…… （2）不妨设 x 1 < x 2 ．由（1）可得，函数 f (x ) 在(0，1) 上单调递减，在(1，+ ∞) 上单调递增． 所以0 < x < 1 < x ， 0 < 1 < 1 ． …… 6 分 1 2x 2 因为 f (x 1 ) = f (x 2 ) = 0 ，x (0，1) 1 (1，+ ∞) f '(x ) - 0 + f (x )极小值1⨯1 + 0 ⨯ (- 3) + 3 ⨯ (-3 3) n 1 ⋅ n 2 n 1 ⋅ n 2所 以 f (x ) - f ( 1 ) = f (x ) - f ( 1 ) 1 x 2 x 2 22 ln 1= (x 2 - 2 ln x 2 x 2 - a ) - ( 1 - - a ) 2 x x 21 22 x 2 = (x + 1 )(x - 1 - 2 ln x ) ． …… 8 分222 x x 22设函数 g (x ) = x - 1 - 2 ln x (x > 1) ，x(x - 1)2 1 2 ' > 0(x > 1) ，函数 g (x ) 在(1，+ ∞) 上单调递增． 则 g (x ) = 1 + - = x 2 x x 2 - 1 所以 g (x ) = x - 2 ln x > g (1) = 0 ， ……10 分 2 2 x 2 2 所以 f (x ) - f ( 1 ) > 0 ，即 f (x ) > f ( 1 ) ． 1 1 x x 2 2又函数 f ( x ) = x 2 - 2 l n x - a 在(0，1) 上单调递减．x < 1 所以0 < x < 1 ，所以 x x < 1． ……12 分1 x 12 222．（12 分）y 2x 2 已知点 A ，B 在椭圆 + = 1(a > b > 0) 上，点 A 在第一象限，O 为坐标原点， a 2 b2 且OA ⊥ AB ．（1）若a = 3 ， b = 1 ，直线 OA 的方程为 x - 3y = 0 ，求直线 OB 的斜率； （2）若△OAB 是等腰三角形（点 O ，A ，B 按顺时针排列），求b 的最大值． 【解】（1）由a = 3 ， b = 1 ，得椭圆方程为 x 2+ y 2 = 1 ．a3⎧ 3 ⎧ 3 ⎪x = 2， ⎧⎪ x ⎪x = - 2， 2 + y 2 = 1， 由⎨ 3 得⎨ 或⎨1 1 ⎪⎩x - 3y = 0， ⎪ y = ⎪ y = - . ⎩2 ⎩ 2因为点 A 在第一象限，所以 A ( 3，1 )． ……2 分2 2 又OA ⊥ AB ，所以直线 AB 的方程为 y - 1 = -3(x - 3) ，即3x + y - 5 = 0 ．2 2⎧x = 12， ⎧x = 3 ， ⎧⎪ x 2 + y 2 = 1， 得⎪ 或⎪ 7 2 由⎨ 3 …… 3 分⎨ ⎨1 1 ⎪ ⎩3x + y - 5 = 0 ⎪ y = - 7 ⎪ y = ， ⎩⎩ 2所以直线 OB 的斜率为k …… 4 分OB（2）法 1：设直线 OA 的斜率为k (k > 0) ，则直线 AB 的斜率为- 1 ．k因为△OAB 是等腰直角三角形（点 O ，A ，B 按顺时针排列）， 所以设 A (x 1，y 1 ) ， B (x 2，y 2 ) ， (x 1 > 0，y 1 > 0，x 1 < x 2 ) ．又OA = AB ，所以 x 2+ y 2= (x - x )2 + ( y - y ， )2 1 1 1 2 12 1 + 1 = 1 + (- 1 )2 x - x 得 y ． k 21 k 12 所以 y = x - x ，即 x = x + y ． 1 2 1 ⨯ y - y 又由OA ⊥ AB ，得 y= -1 ，所以 y = y - x ． 1 2 1 …… 6 分x x - x 2 1 11 2 1y 2x 2 因为点 A (x 1，y 1 ) ， B (x 1 + y 1，y 1 - x 1 ) 在椭圆 a 2 + b2 = 1 上， ⎧ x 2y 2 + = 1， 1 1⎪ y = (x + y ) + ( y - x ) 2 1 1所以 x + 2 2 a 2b 2 所以 ⎨ 1 1 1 1，(x + y )2 ( y - x )2a 2b 2 a 2 b 2 ⎪ 1 1+ = 1，1 1 b 2⎪⎩ a 2 整理得b 2 ( y 1 )2 - 2(a 2 - b 2 ) y 1 + a 2 = 0 ．…… 8 分x 1 x 1所以∆ = 4(a 2 - b 2 )2 - 4a 2b 2 ≥ 0 ，即(a 2 - b 2 + ab )(a 2 - b 2 - ab ) ≥ 0 ．……10 分所以 b ≤ 5 - 1 ，a 22(a 2 - b 2 ) y 5 + 1 2 5 - 1 2 a 2 b 当k = 1 = = - 1 = 时， 取最大值 因为a 2 - b 2 + ab > 0 ， 所以a 2 - b 2 - ab ≥ 0 ，1 12 2 ．……12 分 x 2b 2b 2 a 1法 2：设直线 OA 的斜率为k (k > 0) ，倾斜角为θ (0︒ < θ < 90︒) ．因为△OAB 是等腰直角三角形（点 O ，A ，B 按顺时针排列），且OA ⊥ AB ， 所以直线 OB 的斜率为k OB = tan(θ - 45︒) 或 k OB = tan(θ + 135︒) ． =k - 1 ． 所以k …… 6 分1 + kOB 设 A (x 1，y 1 ) ， B (x 2，y 2 ) ， (x 1 > 0，y 1 > 0，x 1 < x 2 ) ． ⎧ y = kx ， ⎪ a b 2 2得 x = 2由⎨ x 2 ． y 2 1 b + a k + = 1， 2 2 2 ⎪⎩ a 2 b 2⎧ y = k -1 x ，⎪ 由⎨ 1 + k a 2b 2 (1 + k )2 a b 2 2 = = 得 x 2 ． b 2 + a 2 ( k -1)2 b 2 (1 + k )2 + a 2 (1 - k )2 y 22 ⎪ x 2 ⎩ a 2 + = 1，1 + k b 2又OB = 2 OA ，所以2OA 2 = OB 2 ，得2(1 + k 2 )x 2 = ⎡1 + ( k - 1)2 ⎤ x 2 ， ⎣ ⎥⎦ 1 + k 1 2a 2b 2 (1 + k )2 a 2b 2⎡ k - 1 2 ⎤ 2(1 + k ) = ⎢1 + ( ) 2． 2 ⎥ ⎣ 1 + k ⎦ b (1 + k ) + a (k - 1)b + a k2 2 2 22 2 整理得b 2k 2 + 2(b 2 - a 2 )k + a 2 = 0 ，…… 8 分所以∆ = 4(b 2 - a 2 )2 - 4a 2b 2 ≥ 0 ，即(a 2 - b 2 )2 - a 2b 2 ≥ 0 ， 所以(a 2 - b 2 + ab )(a 2 - b 2 - ab ) ≥ 0 ． ……10 分因为a 2 - b 2 + ab > 0 ，所以a 2 - b 2 - ab ≥ 0 ，即( b )2 + b - 1≤ 0 ，aa所以 b ≤ 5 - 1 ，a 22(b 2 - a 2) 5 + 1 2 5 - 1 2 a 2 b 当k = - = - 1 = ……12 分时， 取最大值 ． a 2b 2b 2。