高三数学函数性质人教版知识精讲

高三数学函数性质人教版知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

函数性质

二. 重点、难点： 1. 奇偶性

〔1〕定义域A 关于原点对称。任取A x ∈

?=-)()(x f x f 偶函数?图象关于y 轴对称

〔2〕定义域B 关于原点对称，任取B x ∈

?-=-)()(x f x f 奇函数?图象关于原点对称

2. 单调性

运算单调性的方法：定义法、复合函数法、图象法、导数法 )(x f y = )(x g y = )]([)(x g f x F y == ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ 3. 周期性

关于函数)(x f y =，D x ∈

存在一个非0常数T ，任取D x ∈

)()(x f T x f =+恒成立，那么)(x f y =叫周期函数，T 叫做周期。

【典型例题】

1. 奇偶性

[例1] 判定以下函数奇偶性

〔1〕2

12x

x y x +

-=

〔2〕)1lg(2x x y ++= 〔3〕1122-+

-=x x y

答案：

〔1〕R x ∈且0≠x ，对称

)21212()21121

(

)(+--=+-?-=--x x x x x x f

)()21

11

21()21122(x f x x x x

x =-+-?=--?= ∴ )(x f y =偶函数 〔2〕R x ∈，对称

)11

lg()1lg()(2

2x x x x x f ++=++-=-

12)1lg(-++=x x )(x f -=

∴ )(x f y =奇函数

〔3〕}1,1{-∈x ，对称

0)()()(=-==-x f x f x f

∴ 既奇又偶

[例2]〔1〕1

1)(-+

==x

a m

x f y ，m 为何值时，)(x f 为奇函数 〔2〕)sin()(α+==x x f y ，α为何值时，)(x f 为偶函数

答案：

〔1〕x

x

x a ma a m x f -+=-+=--1111)( 11

)1(1)1(1-+--=--+=x x x x a a m a a m

1

)

1(11)(--+=-+=x

x x a m a a m x f ∴ 2=m 时，)(x f y =奇函数 〔2〕)()(x f x f =- )sin()sin(x x +=-αα

x x x x sin cos cos sin sin cos cos sin ?+?=?-?αααα ∴ 0cos sin 2=?αx ∴ 0cos =α

∴ 2

π

πα+=k Z k ∈

[例3] )(x f y =为R 上偶函数，),0(+∞∈x 时1sin )(2

+-=x x x f ，求)0,(-∞∈x ，)(x f 解析式。

答案：)0,(-∞∈x

1sin ]1)sin()[()()(22++=+---=-=x x x x x f x f

2. 单调性

[例4] 求以下函数的增区间

〔1〕)6(log 2

2

1--=x x y

〔2〕3||22

--=x x y 〔3〕)2)(1(--=x x x y 〔4〕2

1x

x

y +=

答案：

〔1〕↓=t y 2

1log 62

--=x x t ∴ )2,(--∞∈x ↑

〔2〕作图

?????<-+≥--=0

320

3222

x x x x x x y ∴ ↑+∞-),1)(0,1(

〔3〕令x x x t )2)(1(--=x x x 232

3+-= 2632+-='x x t ),2()33

1,0(0

2630)2)(1(2

+∞?-????>+->--x x x x x ∴ )3

3

1,0(-，↑+∞),2( 〔4〕)(x f y =奇函数，0>x 时，0)(>x f 0=x ，0)(=x f ，0

111

)(2+==x

x f y ∴ ↑ ∴ R 上↑

另解：R x

x y ?>+?+='01)1(1

2

2 ∴ R 上↑

[例5]〔1〕假设1)3(2)(2

+-+==x a ax x f y 在区间↓+∞-),2[，求a 取值范畴。

〔2〕假设k kx x x y ++-=2

3

2在〔3

1

，1〕上↓，求k 的取值范畴。 答案：

〔1〕① 0=a ，16+-=x y 成立

② 0≠a ???

??-≤--<22)3(20a a a 03<≤-?a ∴ )0,3[-∈a

〔2〕k kx x x x f ++-=232)( k x x x f +-='43)(2

0432<+-k x x 解集为A ∴ A ?)1,3

1

(

∴ ]1,(0

)1(0)31(-∞∈??????≤'≤'k f f

3. 周期性

[例6] 求以下函数是否为周期函数

〔1〕)(x f y =，R x ∈，满足)3()1(+=+x f x f

〔2〕)(x f y =，R x ∈，满足)()2(x f x f -=+

〔3〕)(x f y =，R x ∈，满足)(1)2(x f x f =

+ 〔4〕)(x f y =，R x ∈，满足1

)(1

)()2(+-=+x f x f x f

答案：

〔1〕令t x =+1 ∴ )2()(+=t f t f ∴ )()2(x f x f =+ ∴ T=2 周期函数

〔2〕)()]([)2()4(x f x f x f x f =--=+-=+ ∴ T=4 周期函数

〔3〕)()

2(1

)4(x f x f x f =+=

+ ∴ T=4

〔4〕1

1

)(1)(1

1)(1

)(1)2(1)2()4(++--+-=++-+=+x f x f x f x f x f x f x f )

(1

)(22x f x f -=-= )()

(11

)

4(1)8(x f x f x f x f =--=+-=+ ∴ T=8

[例7] )(x f y =，R x ∈，

偶函数，)1()(-==x f x g y 奇函数，那么=)2007(f 。 答案：

)(x g y =奇)1()1(--=--?x f x f

)(x f y =偶?)1()1(+=--x f x f

∴ )1()1(--=+x f x f ∴ )()2(x f x f -=+ ∴ )()4(x f x f =+ )(x g y =奇 ∴ )2007()1(0)0(f f g =-==

[例8] )(x f y =，R x ∈，偶函数，周期函数，2=T ，]3,2[∈x ，x x f =)(，那么=-)2

1

(f ，]0,1[-∈x ，=)(x f 。

答案：

2

5)25()221()21()21(==+==-f f f f

]0,1[-∈x x x f x f x f -=+-=-=2)2()()(

【模拟试题】〔答题时刻：40分钟〕

一. 选择题：

1. 在区间〔∞-，0〕上为增函数的是〔 〕

A. )(log 2

1x y --=

B. x

x y -=

1

C. 2

)1(+-=x y

D. 2

1x y +=

2. 假设)(x f 在区间M 上是减函数，且0)(>x f ，那么以下函数在区间M 上是增函数的

是〔 〕

A. )

(2

x f y = B. )

()

2

1(x f y = C. )(x f y =

D. )(log 2x f y =

3. 函数245x x y --=的递增区间是〔 〕

A. ]2,(--∞

B. ]2,5[--

C. ]1,2[-

D. ),(+∞-∞

4. 假设函数)(x f y =是偶函数，R x ∈，在0x ，且||||21x x <，那么以下结论正确的选项是〔 〕

A. )()(21x f x f ->-

B. )()(21x f x f -<-

C. )()(21x f x f -=-

D. )()(21x f x f -≥-

5. 假设函数)(x f y =在R 上单调递增，且)()(2

m f m f ->，那么实数m 的取值范畴是〔 〕

A. )1,(--∞

B. ),0(+∞

C. )0,1(-

D. ),0()1,(+∞?--∞

二. 简答题：

1. )(x f y =，R 上奇函数，)0,(-∞∈x ，1sin )(2

+-=x x x f ，求x 0>时，)(x f 解析式。

2. )(2

)(x x a a a a

x f y ---=

=为R 上↑，求a 的取值范畴。 3. )(x f y =，R x ∈，在↑∈)2,0(x ，)2(+=x f y 为偶函数，试比较)1(f 、)2

5(f 、

)2

7

(f 的大小关系。

试题答案

一.

1. B

2. B

3. B

4. A

5. D 二.

1. ),0(+∞∈x 1sin ]1)sin()[()()(2

2

---=+----=--=x x x x x f x f 2.〔1〕)1,0(∈a

02<-a a

↓--x x a a 〔2〕)2,1(∈a 02

<-a a

↑--x x a a ∴↑)(x f

〔3〕),2(+∞∈a 02

>-a a

↑--x x a a

∴ ),2()1,0(+∞?∈a

3. )2(+=x f y 偶)2()2(+=+-?x f x f

令21=

x ∴ )25()23(f f = 23=x ∴ )27()21(f f = )(x f y =在〔0，2〕↑

∴ )2

7()21()1()23()25(f f f f f =>>=