高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义练习含解析新人教A版必修
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义练习
含解析新人教A 版必修
知识点一 集合的概念
1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C
解析 对A ，“著名”无明确标准；对B ，“快”的标准不确定；对D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合．
2．由实数－a ，a ，|a |，a 2
所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B
解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2
＝|a |＝
?
??
??
a a >0，－a a ＜0，所以组成集合中有两个元素，故选B.
知识点二 元素与集合的关系
3.给出下列关系式：2∈R,0.3∈Q,0?N,0∈N *
，2∈N *，－π?Z .其中正确的有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 答案 A
解析 正确的有2∈R,0.3∈Q ，－π?Z .
4．已知集合A 中元素满足2x ＋a ＞0，a ∈R ，若1?A ，2∈A ，则( ) A ．a ＞－4 B ．a ≤－2
C ．－4＜a ＜－2
D ．－4＜a ≤－2
答案 D
解析 ∵1?A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2. 又∵2∈A ，∴2×2＋a ＞0，a ＞－4， ∴－4＜a ≤－2.
知识点三
集合中元素特性的应用
2
＝B ，求实数c 的值．
解 分两种情况进行讨论．
①若a ＋b ＝ac ，a ＋2b ＝ac 2
，消去b ，得a ＋ac 2
－2ac ＝0.
当a ＝0时，集合B 中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a ≠0.所以c 2
－2c ＋1＝0，即c ＝1，但c ＝1时，B 中的三个元素相同，不符合题意．
②若a ＋b ＝ac 2
，a ＋2b ＝ac ，消去b ，得2ac 2
－ac －a ＝0. 由①知a ≠0，所以2c 2
－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 解得c ＝－12或c ＝1(舍去)，当c ＝－1
2时，
经验证，符合题意． 综上所述，c ＝－1
2
.
易错点
忽视集合中元素的互异性致误
易错分析 本题产生错误的原因是没有注意到字母a 的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性．
正解 x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －a )(x －1)＝0，所以方程的解为x 1＝1，x 2＝a .
若a ＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a ≠1，则方程的解集中含有两个元素1，
a .
一、选择题
1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．正三角形的全体 B ．所有的无理数
C ．高一数学第一章的所有难题
D ．不等式2x ＋3>1的解 答案 C
解析 因为A ，B ，D 三项可以确定其元素，而C 中难题的标准无法确定．因此选C. 2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 C
解析 根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o ，t ，e ，b ，k ，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.
3．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |
ab
的值组成的集合是M ，则下列判断正
确的是( )
A ．0∈M
B ．－1∈M
C ．3?M
D ．1∈M 答案 B
解析 a ，b 全为正数时，原式为3，a ，b 全为负数时，原式为－1，当a ，b 一正一负时，原式为－1，所以选B.
4．下列说法中，正确的个数是( ) ①集合N *
中最小的数是1； ②若－a ?N *
，则a ∈N *
；
③若a ∈N *
，b ∈N *
，则a ＋b 的最小值是2； ④x 2
＋4＝4x 的解集是{2,2}．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N*，a?N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，同理，b∈N*, b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．
5．已知方程x2－16＝0的解是集合A中的元素，则下列关系不正确的是( )
A．4∈A B．{－4}∈A
C．－4∈A D．4∈A且－4∈A
答案 B
解析因为方程x2－16＝0的解为4，－4，而{－4}是一个集合，“∈”表示元素与集合之间的关系，所以B中关系错误．
二、填空题
6．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“?”)．
答案∈
解析直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P.
7．集合A中的元素x满足
6
3－x
∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
答案0,1,2
解析由题意知3－x是6的正约数，当3－x＝1时，x＝2；当3－x＝2时，x＝1；当3－x＝3时，x＝0；当3－x＝6时，x＝－3；而x∈N，所以x＝0,1,2，即集合A中的元素为0,1,2.
8．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且A＝B.下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．答案201
解析可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a ＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
三、解答题
9．已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值．
解因为x2∈A，
所以x 2＝0或
x 2＝1或x 2
＝x .
若x 2
＝0，则x ＝0，此时A 中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1.
当x ＝1时，集合A 中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当x ＝－1时，集合A 中三个元素分别为0,1，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，由以上可知，x ＝0和x ＝1都不符合题意． 综上所述，x ＝－1.
10．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则1
1－a
∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．
解 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－－1＝12
∈A ； 由12∈A 可知，11－1
2
＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，1
2，2.