专题复习之圆的基本性质
P
O
D
C
B
A
专题复习之圆（一）
考点综述：
圆（一）主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算。
典型例题：
1.（2009宁德）如图，AB 是⊙O 的直径，20C ∠=，则BOC ∠的度数是（ ） A ．40
B ．30
C ．20
D ．10
2.（2011宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒
上不同于
点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3.（2010黄石）如图，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则
ADC ∠= ．
?
E
D
C
B
A
O 20 题图
4.（2009重庆）已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝450。给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.50，；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧?
AE 是劣弧?
DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。其中正确结论的序号是 . 5.（2010枣庄）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ 。
A
B
C
O
A C
D
O
B
6.（2009呼和浩特）已知：如图等边ABC
△内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD AP
=，连结CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断PDC
△是什么三角形？并说明理由．
（2）若AP不过圆心O，如图②，PDC
△又是什么三角形？为什么？
7.（2011沈阳）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，
AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
应用探究：
1.（2007连云港）如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）
A．2cm B．3cm C．23cm D．25cm
2.（2009天津）已知，如图
?
BC与
?
AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，
∠CEB=60°，则∠CAB等于（）
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
3.（2010烟台）如图，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，
那么CD
AB
等于（）A．sinαB．COSαC．tanαD．
1
tanα
A
O
C
D
P
B
图①
A
O
C
D
P
B
图②
Ｏ
ＡＢ
A
C
F
O
（B）
E
P
4.（2011兰州）如图，已知EF 是⊙O 的直径，把A ∠为60的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿
OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设POF x ∠=，则x 的取值范围是（ ）
A ．3060x ≤≤
B ．3090x ≤≤
C ．30120x ≤≤
D ．60120x ≤≤
5.（2009新疆）如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成，AD 是⊙O 的直径，则∠BEC 的度数为（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°
6.（2008白银）高速公路的隧道和桥梁最多．图7是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．
375 D ．37
7
7.（2007贵阳）如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O
交于B 点，现测得4cm PB =，5cm AB =．⊙O 的半径 4.5cm R =，此时P 点到圆心O 的距离是 cm ．
8.（2011淄博）如图，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC =5，DC =3，AB =24，则⊙O 的直径等于 。
9.（2008南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．
10.（2009龙岩）如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .
11.（2008南通）已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝43cm ． （1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM 的度数．
A B
P O B A D O
A
65
°
A
B
C M
N
O ·
O
D A B
12.（2010镇江）推理运算：如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD AB
⊥，垂足为H．（1）OCD
∠的平分线CE交⊙O于E，连结OE．求证：E为ADB的中点；
（2）如果⊙O的半径为1，3
CD=，
①求O到弦AC的距离；
②填空：此时圆周上存在个点到直线AC的距离为
1
2
．
专题复习之圆（二）
考点综述：
圆（二）主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。
典型例题：
例1：（2011青岛）⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）
A．相离 B．相切C．相交 D．内含
例2：（2009扬州）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若25
A=
∠，则D=
∠______．
例3：（2009河南）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，
且∠ACB=65°，则∠P=度．
例4：（2008福州）如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，22.5
DAB
∠=，延长AB到点C，使得45
ACD
∠=．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若22
AB=，求BC的长．
A B
D
E
O
C
H
O
B A
D
C
O
C
B
A
P
实战演练：
1.（2009凉山）如图，PA PB ，分别是⊙O 的切线，A B ，为切点，AC 是⊙O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ） A ．35 B ．45
C ．60
D ．70
2.（2009长沙）如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO 等于（ ）
A 、5
4
B 、5
3
C 、3
4
D 、4
3
3.（2011双柏）AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠=，求B ∠的度数．
4.（2008兰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．
5.（2011威海）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙
A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙
B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．
（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？
N
P
第3题图
P
O
A
·
应用探究：
1.（2010南宁）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )
A ．2 B.32
C.3
D.3
第
1题
2.（2009南京）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙O 与x 轴相切于点Q ，与y
轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ） A ．(53)，
B ．(35)
，
C ．(54)，
D ．(45)，
3.（2010常州）如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是（ ） A ．
4.75
B ．4.8
C ．5
D ．
4.（2009河北）如图3，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上 到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5.（2010南京）如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；
（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？
第3题
A C 第4题
（第5题）