1.3 古典概型
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1-3古典概型与几何概型
例（会面问题）甲、乙两人相约8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可 离去，试求这两人能会面的概率． 解： 以x，y分别表示甲、乙两人的到达时刻，则两人能
y
60
会面的充要条件为 x y 20
y x 20
x y 20
{( x , y ) | 0 x 60, 0 y 60} A {( x , y ) | ( x , y ) ,| x y | 20}
事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
…
1 2 i
…
a+b
a ab
P ( A)
a [(a b 1)!] ( a b )!
----------抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球；
…
1
P( B)
…
i-1
2
a Pb
i 1
3
i
a Pb
i i 1
a+b
r
2( n r 1) n( n 1)
n!
练习：
P30 : 12
（2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序） 例：一个袋子中装有10个大小相同的球，其中 3个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一 球，连续取两次。 取球方式 (1)无放回 (2)有放回
分别求下列事件的概率：
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 (2)两个球全是黑球 (3)两个球中至少有一个黑球
P ( A) 1 P ( A) 1 C 9995 C10000
10 10
0.00499
2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9
1.3 古典概率模型
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
3 83 333 250 1 。 4 2000 2000 2000
二、几何概型
定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且 任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的 子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为
t
T
x
解 设 x, y 分别为甲、乙两人到达的
时刻 , 那么 0 x T , 0 y T。
两人会面的充要条件为 x y t ,
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为
T
o
y
y xt
x yt
阴影部分面积 p 正方形面积
T 2 (T t )2 2 T t 2 1 (1 ) 。 T
序称为组合，其组合总数为：
r n
A n! C r ! r !( n r )!
r n
A n(n 1)(n r 1) C r !
r n r n
3. 古典概型的基本模型: 摸球模型
(1) 无放回地摸球
问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中 摸出2只球,求这2只球都是白球的概率。
是样本点，样本空间中包含样本点的总数以及
A所包含的样本点数，当样本点较多时，很难
将它们一一列出，需用排列、组合的知识进行
分析。
① 从n个不同元素中取出r 个元素且考虑其顺 序 称为排列，其排列总数为：
r An n( n 1) ( n r 1)
② 从n个不同元素中取出r 个元素且不考虑其顺
(其中 S 是样本空间的度量, S A 是构成事件 A 的子区域的度量。这样借助于几何上的度量 ) 来合理规定的概率称为几何概型。 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型。
第一章34节概率论
P( A B) P(AB)
P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率.
同理，若P( A)>0,也可定义事件B在A已经发生条件下的 条件概率：P(B A) P(AB)
P( A)
条件概率具有非负性、规范性及可列可加性，亦是概率，
具有概率的一切性质.
2019/10/9
10
例. 一个家庭有两个孩子。 (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？
{n
C C m nm M NM CNn
2,
m
1}
2019/10/9
5
[例5] 设一批产品共N件，其中有M 件次品，每次从
这批产品中任取1件产品，取出后不再放回， 求第i次取出的产品是次品的概率.
解：不放回抽样，样本点总数为:
PNi N (N 1)(N 2) (N i 1);
2019/10/9
21
进一步考虑下列问题，如果抽检的确实件次品，那 么该件产品究竟是由哪个厂家生产的呢？当然，这 同样是个不确定性问题。另外，显然，甲的可能性 要大得多，因为甲产量多，次品率也高。 实际上
P(B | A)= 8 9
以上这类问题在医药领域相当重要，因为人们常常 需要从诊断的结果来寻找真正的原因。
7 6 10 9
5 8
0.292;
________________
(2)P( A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 A3) 1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
1 3 10
2 9
1 8
0.992
P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率.
同理，若P( A)>0,也可定义事件B在A已经发生条件下的 条件概率：P(B A) P(AB)
P( A)
条件概率具有非负性、规范性及可列可加性，亦是概率，
具有概率的一切性质.
2019/10/9
10
例. 一个家庭有两个孩子。 (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？
{n
C C m nm M NM CNn
2,
m
1}
2019/10/9
5
[例5] 设一批产品共N件，其中有M 件次品，每次从
这批产品中任取1件产品，取出后不再放回， 求第i次取出的产品是次品的概率.
解：不放回抽样，样本点总数为:
PNi N (N 1)(N 2) (N i 1);
2019/10/9
21
进一步考虑下列问题，如果抽检的确实件次品，那 么该件产品究竟是由哪个厂家生产的呢？当然，这 同样是个不确定性问题。另外，显然，甲的可能性 要大得多，因为甲产量多，次品率也高。 实际上
P(B | A)= 8 9
以上这类问题在医药领域相当重要，因为人们常常 需要从诊断的结果来寻找真正的原因。
7 6 10 9
5 8
0.292;
________________
(2)P( A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 A3) 1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
1 3 10
2 9
1 8
0.992
必修二10.1.3古典概型课件(人教版)
4.求基本事件总数常用的方法：
列举法、图表法、树状图法
作业：P238练习
谢谢观看
（5,3）
（5,4）
（5,5）
（5,6）
（6,1） （6,2）
（6,3）
（6,4）
（6,5）
（6,6）
(1,1)
结论:（1）实验一共有36个基本事件;
（2）“出现点数之和大于8”包含10个基本事件.
方法二 列表法
【解析】 如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛
掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
古典概型
年
级：高一年级
学
科：数学（人教A版）
试/验：
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币的实验；
（2）掷一颗质地均匀的骰子的实验.
在这两个实验中，可能的结果分别有哪些？
（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即
“正面朝上”或“反面朝上
（2）掷一枚质地均匀的骰子，结果只有6个，
即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、
2.不可能事件的概率为0；
3. 0≤P(A) ≤1。
抛掷两颗骰子的实验：
用( x，y )表示结果，
其中x表示第一颗骰子出现的点数，
y表示第二颗骰子出现的点数.
(1)写出实验一共有几个基本事件；
(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？
方法一：列举法（枚举法）
[解析】用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子
“5点”和“6点”.
它们都是随机事件，我们把这类随机事件称
为基本事件.
基本事件
基本事件的特点：
(1)任何两个基本事件是互斥的
(2) 任何事件都可以表示成基本事件的和。
列举法、图表法、树状图法
作业：P238练习
谢谢观看
（5,3）
（5,4）
（5,5）
（5,6）
（6,1） （6,2）
（6,3）
（6,4）
（6,5）
（6,6）
(1,1)
结论:（1）实验一共有36个基本事件;
（2）“出现点数之和大于8”包含10个基本事件.
方法二 列表法
【解析】 如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛
掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
古典概型
年
级：高一年级
学
科：数学（人教A版）
试/验：
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币的实验；
（2）掷一颗质地均匀的骰子的实验.
在这两个实验中，可能的结果分别有哪些？
（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即
“正面朝上”或“反面朝上
（2）掷一枚质地均匀的骰子，结果只有6个，
即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、
2.不可能事件的概率为0；
3. 0≤P(A) ≤1。
抛掷两颗骰子的实验：
用( x，y )表示结果，
其中x表示第一颗骰子出现的点数，
y表示第二颗骰子出现的点数.
(1)写出实验一共有几个基本事件；
(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？
方法一：列举法（枚举法）
[解析】用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子
“5点”和“6点”.
它们都是随机事件，我们把这类随机事件称
为基本事件.
基本事件
基本事件的特点：
(1)任何两个基本事件是互斥的
(2) 任何事件都可以表示成基本事件的和。
13古典概型与几何概型
所有这些概率都是在假定每个人的生日在 365天的任何一 天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成 立，有关的实际概率比表中给出的还要大 .当人数超过23时， 打赌说至少有两人同生日是有利的.
匹配问题 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中
“至少有两只配成一双” 的概率是多少？
解：设A {4只鞋中至少 有2只能配成一双 }
向平面上投点
向一个立方体上投点
P ( A) A的测度/ 的测度
这样算出的概率为 几何概率
例1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客 到达汽车站的时间是任意的，求一个乘客候车时间不 超过3分钟的概率.
解：设A {候车时间不超过 3分钟}
以分钟为单位，乘客候车时间在(0,5)内，则 (0,5)
60 59 30 29 10 9
m 60 59 30 29 10 9 P ( A) 100 99 n
( 2)有放回
n 100
2
m 602 302 102
2 2 2
m 60 30 10 P ( A) 2 n 100
几何概型
先根据题意把试验结果用坐标x或( x , y )或( x , y, z )
来表示，然后根据和A的定义，求出和A中相应
A (2,5)
3 P ( A) 5
例2 甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约 定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两 人能会面的概率
解：设A {两人能会面 } , 设x , y分别表示甲乙两人
到达时间(与6点之差) . 根据题意有 0 x 60 ,0 y 60 ,
365
解：设A {至少有1人生日在元旦 }
古典概型本1-3
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验E, 具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。
7、小结
古典概型 应用
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有有 限个 定义 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的
P( A)
k 事件A中包含的基本事件数 n 中的基本事件总数
备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 解
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验E, 具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。
7、小结
古典概型 应用
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有有 限个 定义 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的
P( A)
k 事件A中包含的基本事件数 n 中的基本事件总数
备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 解
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
1-3古典概型
设A={有一次正面向上} ，则A={{正,正} , {正,反} , {反,正} }，
显然A包含的基本事件总数为3.
所以，P(A)=3/4=0.75
《概率统计》
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结束
古典概型
4.1 古典概型的概率计算举例（“数一数”法）
例3. 口袋中有100只球，编号依次为1,2,3,…,100，现从中任取一球，
从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组 m 合数。用符号 C n 表示。 Combination
m 计算公式： C n m An m!
《概率统计》
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Hale Waihona Puke 结束回顾运算性质一、频率（概率的统计定义）
二、概率（概率的公理化定义）
性质1 P(Φ)= 0
即第k个位置为黑球有b种确定方法，而其余的(a+b-1)个位置可以任
意地放剩余的球，即它们进行全排列即可。 于是，P(A)=b/(a+b)。
《概率统计》 返回 下页 结束
古典概型
4.4 古典概型的概率计算举例（经典问题）
例9.设口袋中有a个白球，b个黑球，现从中一个一个地取出，求第k 次取到黑球的概率。 说明：事实上[例9]有其他解法，下面给出一种比较简捷的解法。 另解：解法的关键是把注意力放在第k次取球上。即第k次出现的事 件为基本事件，显然，第k次取球共有a+b种取法(即样本点总数)， 而第k次取到黑球，只有b种取法(即事件A包含的样本总数)，于是， P(A)=b/(a+b)。
它是概率论发展初期的主要研究对象，因此称为古典概型.。 由于它既简单，又概括了许多实际问题，所以至今仍在概率 论中有着重要的地位及广泛的应用。
显然A包含的基本事件总数为3.
所以，P(A)=3/4=0.75
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古典概型
4.1 古典概型的概率计算举例（“数一数”法）
例3. 口袋中有100只球，编号依次为1,2,3,…,100，现从中任取一球，
从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组 m 合数。用符号 C n 表示。 Combination
m 计算公式： C n m An m!
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Hale Waihona Puke 结束回顾运算性质一、频率（概率的统计定义）
二、概率（概率的公理化定义）
性质1 P(Φ)= 0
即第k个位置为黑球有b种确定方法，而其余的(a+b-1)个位置可以任
意地放剩余的球，即它们进行全排列即可。 于是，P(A)=b/(a+b)。
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古典概型
4.4 古典概型的概率计算举例（经典问题）
例9.设口袋中有a个白球，b个黑球，现从中一个一个地取出，求第k 次取到黑球的概率。 说明：事实上[例9]有其他解法，下面给出一种比较简捷的解法。 另解：解法的关键是把注意力放在第k次取球上。即第k次出现的事 件为基本事件，显然，第k次取球共有a+b种取法(即样本点总数)， 而第k次取到黑球，只有b种取法(即事件A包含的样本总数)，于是， P(A)=b/(a+b)。
它是概率论发展初期的主要研究对象，因此称为古典概型.。 由于它既简单，又概括了许多实际问题，所以至今仍在概率 论中有着重要的地位及广泛的应用。
概率1.3
r n
r n
A n(n 1) [n (r 1)] C r! r! n(n 1) [n (r 1)](n r )! r !(n r ) ! n! r !(n r )!
r n
2.
C C
r1 n
r2 n r1
C
rk n r 1 r2 rk 1
这个结果与k无关
解法二
把a+b个球排成一列，所有球看成不同
a(a b 1)! a P( Ak ) (a b)! ab
这个结果与k无关
例6 在幸运37选7福利彩票中，每期
从1~37中开出7个基本号码和一个特别号 码，彩民们在购买每一张彩票时都预先选 定7个号码.规定7个基本号码全部选中者 获一等奖，选中 6 基本号码及特别号码者
a1 , a2 , a3 , b1 ,
显然
, ar , r 1 , br
不相等。
1,
2,
b2 , b3 ,
b1 , b2 , b3 ,
, br
从 1, 2，… n 中有放回的选一组数，
a1 , a2 , a3 ,
, ar
相当于从
1 ，2 ，…，n , n+1, …, n+r-1
中不放回地选一组数
k 5
5
思考题（电脑福利彩票中奖的概率）
某市福利彩票中心规定：在01~35的35 个号码中任选7个号码组成一注投注号码。 中奖号码由7个基本号码和一个特别号码组 成，各等奖设置如下： 一等奖——选7中7；二等奖——选7中6+1 三等奖——选7中6；四等奖——选7中5+1 五等奖——选7中5；六等奖——选7中4+1 七等奖——选7中4或选7中3+1 若某人购买此种彩票一注，求他中奖的概率
r n
A n(n 1) [n (r 1)] C r! r! n(n 1) [n (r 1)](n r )! r !(n r ) ! n! r !(n r )!
r n
2.
C C
r1 n
r2 n r1
C
rk n r 1 r2 rk 1
这个结果与k无关
解法二
把a+b个球排成一列，所有球看成不同
a(a b 1)! a P( Ak ) (a b)! ab
这个结果与k无关
例6 在幸运37选7福利彩票中，每期
从1~37中开出7个基本号码和一个特别号 码，彩民们在购买每一张彩票时都预先选 定7个号码.规定7个基本号码全部选中者 获一等奖，选中 6 基本号码及特别号码者
a1 , a2 , a3 , b1 ,
显然
, ar , r 1 , br
不相等。
1,
2,
b2 , b3 ,
b1 , b2 , b3 ,
, br
从 1, 2，… n 中有放回的选一组数，
a1 , a2 , a3 ,
, ar
相当于从
1 ，2 ，…，n , n+1, …, n+r-1
中不放回地选一组数
k 5
5
思考题（电脑福利彩票中奖的概率）
某市福利彩票中心规定：在01~35的35 个号码中任选7个号码组成一注投注号码。 中奖号码由7个基本号码和一个特别号码组 成，各等奖设置如下： 一等奖——选7中7；二等奖——选7中6+1 三等奖——选7中6；四等奖——选7中5+1 五等奖——选7中5；六等奖——选7中4+1 七等奖——选7中4或选7中3+1 若某人购买此种彩票一注，求他中奖的概率
山东建筑大学概率论考试真题
解
12 11 k1 C 66 2 1 A2 {两件商品来自产地乙}包含基本事件总数
2 12
A1 {两件商品来自产地甲}包含基本事件总数
15 14 nC 105. 2 1
2 15
2 k2 C3 3
A {两件商品来自同一产地}= A1
k 69 23 P( A) . n 105 35
BA C
DB
2 1 7 P( B) P( A) P(C ) . 5 15 15
P( D) P( B) 1 P( B) 1 7 8 . 15 15
6
例5 将 n 个球随机地放入 N ( N n) 个盒子中，若盒子的容量 无限制，求事件 A {每个盒子中至多有一个球}的概率. 解 基本事件个数 N N N N n
9
例7 设 N 件产品中有 K 件是次品， N K 件是正品，现从 N
件中任意抽取1件产品，在检查过它是正品或是次品后再放回.
这样共抽取了 n 次，求事件 A { n 件产品中恰有 k 件次品} 的概率， k 0,1, 2, , n
解 基本事件个数 N n 每次从 K 件次品中取出1件，取 k 次，共有 K k 种取法；
B ={至少有一次出现币值朝上}. 求 P( A) P( B)
解
{ HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT } A {HHT , HTH , THH }
P( A) 3 8
B {TTT }
1 7 P( B) 1 P( B) 1 8 8
3
例3 货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲，3件 来自产地乙. 现从15件商品中随机地抽取两件，求这两件商 品来自同一产地的概率.
12 11 k1 C 66 2 1 A2 {两件商品来自产地乙}包含基本事件总数
2 12
A1 {两件商品来自产地甲}包含基本事件总数
15 14 nC 105. 2 1
2 15
2 k2 C3 3
A {两件商品来自同一产地}= A1
k 69 23 P( A) . n 105 35
BA C
DB
2 1 7 P( B) P( A) P(C ) . 5 15 15
P( D) P( B) 1 P( B) 1 7 8 . 15 15
6
例5 将 n 个球随机地放入 N ( N n) 个盒子中，若盒子的容量 无限制，求事件 A {每个盒子中至多有一个球}的概率. 解 基本事件个数 N N N N n
9
例7 设 N 件产品中有 K 件是次品， N K 件是正品，现从 N
件中任意抽取1件产品，在检查过它是正品或是次品后再放回.
这样共抽取了 n 次，求事件 A { n 件产品中恰有 k 件次品} 的概率， k 0,1, 2, , n
解 基本事件个数 N n 每次从 K 件次品中取出1件，取 k 次，共有 K k 种取法；
B ={至少有一次出现币值朝上}. 求 P( A) P( B)
解
{ HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT } A {HHT , HTH , THH }
P( A) 3 8
B {TTT }
1 7 P( B) 1 P( B) 1 8 8
3
例3 货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲，3件 来自产地乙. 现从15件商品中随机地抽取两件，求这两件商 品来自同一产地的概率.
古典概型与几何概型
B 所含的样本点数为
C82C332 C83C322 C84C312 C85C302
显然这样计算是比较麻烦的．
⑶ 事件 C 所含的样本点数为C85 ．所以
PC
C85 C450
8.5105105 ．
第一章 第三节 古典概型
23
例4
同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
⑴ A 5颗骰子不同点 ；⑵ B 5颗骰子恰有 2个同点； ⑶ C 5颗骰子中有 2个同点，另外 3颗同是另一个点 ．
第一章 第三节 古典概型
7
古典概型中事件概率的计算公式
设 A 是一个随机事件，假设 A 中 含有 m 个样本点，即
， A i1 , i2 , , im
则 PA P i1 , i2 , , im Pi1 Pi2 Pim
1 1 1 m n n n n
m个
第一章 第三节 古典概型
位置放黑球，共有 Caab 种不同的放法．这就是样本点 总数．
先在第 k 个位置上放黑球，有1 种放法；然后在其
余 a b 1个位置上选 a 个位置放白球， b 1 个位置
放黑球，有
Ca a b 1
种不同的放法．因此
P
A
Ca ab1
Caab
a
b
b
．
第一章 第三节 古典概型
20
例3
一批产品共 40 件，其中有 8 件次品，从中取出 5 件．试
则样本点总数为 10． 又一个自然数的平方后的个位数为 1 当且仅当该数
的个位数为 1 或者 9，即随机事件 A 中含有 2 个样本 点．所以，
PA
2 10
0.2
．
第一章 第三节 古典概型