高中数学第一章坐标系1.2极坐标系学案新人教B版选修6

》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《马鸣风萧萧整理1.2 极坐标系[对应学生用书P4] [读教材·填要点] 1．平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．(2)点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．

2．极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)极坐标和直角坐标的变换公式：

x＝ρcos θ，

y＝ρsin θ；

或

ρ2＝x2＋y2，

tan θ＝yxx≠0.

[小问题·大思维] 1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．

3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《马鸣风萧萧整理对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ

＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学生用书P5] 极坐标系的概念

[例1] 已知定点P4，π3.

(1)将极点移至O′23，π6处，极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6，求P点的新坐标．[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析] (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝23，|OP|＝4，

∠POx＝π3，∠O′Ox＝π6，

∴∠POO′＝π6. 在△POO′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cosπ6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2. ∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，

∠OO′P＝π2. ∴∠OPO′＝π3. 》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理∴∠OP′P＝π－π3－π3＝π3. ∴∠PP′x＝2π3.∴∠PO′x′＝2π3. ∴P点的新坐标为2，2π3. (2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.

∴P点的新坐标为4，π2.

建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.

1．在极坐标系中，点A的极坐标是3，π6，则(1)点A关于极轴的对称点是________；(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；

(3)点A关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π)) 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．

答案：(1)3，11π6(2)3，7π6(3)3，5π6》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《马鸣风萧萧整理点的极坐标和直角坐标的互化[例2] 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．

(1)已知点A的极坐标为4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) [思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．

[精解详析] (1)∵x＝ρcos θ＝4·cos5π3＝2，y＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23，

∴A点的直角坐标为(2，－23)．(2)∵ρ＝x2＋y2＝22＋－22＝22，

tan θ＝－22＝－1，且点B位于第四象限内，

∴θ＝7π4.∴点B的极坐标为22，7π4. 又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，∴点C的极坐标为15，3π2.

(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ. (2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)．在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．

2．(1)已知点的极坐标分别为A3，－π4，B2，－2π3，C32，－π，D4，－π2，求它们的直角坐标；》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《马鸣风萧萧整理(2)已知点的直角坐标分别为A(3，－3)，B0，53，C(－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．解：(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A322，－322，B(－1，－3)，C－32，0，D(0，－4)．

(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx得A23，11π6，B53，π2，C4，2π3. 极坐标系中两点间的距离[例3] △ABC的顶点的极坐标为A4，4π3，B6，5π6，C8，7π6. (1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积；(3)求△ABC的边AB上的高．[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．

[精解详析] ∠AOB＝4π3－5π6＝π2，∠BOC＝7π6－5π6＝π3，∠COA＝4π3－7π6＝π6.(O为极点) (1)∵|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝42＋62＝213. |BC|＝|OB|2＋|OC|2－2|OB|·|OC|cos∠BOC＝213，|AC|＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|cos∠AOC＝45－23. ∴△ABC是等腰三角形．

(2)S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12，S△BOC＝12|OB|·|OC|sin∠BOC＝123，》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《马鸣风萧萧整理S△COA＝12|OC|·|OA|sin∠COA＝8. ∴S△ABC＝S△BOC＋S△COA－S△AOB＝123－4. (3)设AB边上的高为h，

则h＝2S△ABC|AB|＝243－8213＝1239－41313.

对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2求得；也可以把A，B两点由极坐标化为直角坐标，利用直角

坐标中两点间的距离公式d＝x1－x22＋y1－y22求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．

3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A2，π4，B2，5π4，求第三个顶点C的坐标．解：由题设知，A，B两点关于极点O对称．又|AB|＝4，所以由正三角形的性质知，

|CO|＝23，∠AOC＝π2，从而C的极坐标为23，3π4或23，－π4. [对应学生用书P6] 一、选择题

1．在极坐标系中，与点A2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )

A.2，2π3B.2，π3

C.2，4π3D.2，5π6

解析：选B 与A2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为2，2kπ＋π3(k∈Z)，只有选项B满足．》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《马鸣风萧萧整理2．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是3，π3，4，－π6，则△AOB为( ) A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形

解析：选B 由题意知∠AOB＝π3－－π6＝π2，故选B. 3．已知A，B的极坐标分别是3，π4和3，13π12，则A和B之间的距离等于( ) A.18＋62B.18－62

C.36＋322D.36－322

解析：选C A，B在极坐标中的位置，如图，

则由图可知∠AOB＝13π12－π4＝5π6. 在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，所以，由余弦定理，得

|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·cos 5π6

＝9＋9－2×9×－

3

2

＝18＋93＝92(1＋3)2.

∴|AB|＝36＋322. 4．已知极坐标平面内的点P2，－5π3，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分