数值计算方法第一章误差的基本知识
《数值计算的误差》课件
常见的误差类型
1 绝对误差
绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的 差异的绝对值。
2 相对误差
相对误差是指数值计算结果与真实值之间的 差异与真实值的比值。
3 截断误差
截断误差是由于计算方法中所采用的有限精 度导致的误差。
4 舍入误差
舍入误差是由于将无限精度的数值结果截断 为有限精度导致的误差。
Hale Waihona Puke 误差分析的方法前向误差分析
通过正向推导和逐步改进方法，分析误差在计算过 程中如何积累。
后向误差分析
通过反向推导和逆向改进方法，分析误差在计算过 程中如何传播。
误差的减小技术
1
增加迭代次数
2
通过增加迭代次数来逐渐逼近精确结果，
减小误差的影响。
3
提高精度
使用更高精度的计算方法和数据类型来 减小误差的累积。
优化算法
优化算法可以减小误差的产生，并提高 计算效率。
实际应用中的误差控制
科学计算
在科学研究和工程领域中，准 确的数值计算结果对实际应用 至关重要。
金融领域
在金融市场中，准确计算利息、 风险和收益是关键，误差可能 导致巨大损失或风险。
物理模拟
在物理模拟中，误差的积累可 能导致模拟结果与真实现象之 间存在显著差异。
总结
数值计算的误差是不可避免的，但我们可以通过技术和方法来减小误差的影 响。了解误差类型和分析方法对提高计算结果的准确性和可靠性至关重要。
《数值计算的误差》PPT 课件
欢迎来到《数值计算的误差》的PPT课件。在本课程中，我们将深入探讨数值 计算中常见的误差类型，并学习如何分析和减小这些误差。
误差的基本理论与预备知识.
第一章误差的基本理论与预备知识一、内容分析与教学建议本章内容包括三个部分：课程介绍、误差的基本概念、避免误差危害的若干原则。
（一）课程介绍“数值分析”是信息与计算科学专业的专业基础课，是学习后续专业课的基础。
因此在绪论的讲解过程中，注意阐明学习数值计算方法这门课程的目的、意义和重要性，本课程的主要内容以及它在计算数学和科研过程中的地位，激发学生学习“数值分析”的积极性和兴趣。
（二）误差的基本概念1、首先阐明误差的来源和误差的分类。
明确计算数学研究的误差主要是：截断误差和舍入误差。
2、讲解绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限的定义，并通过具体的实例介绍为什么要引入相对误差的概念。
3、可结合中学介绍过的有效数字的概念，介绍有效数字的严格定义及有效数字的位数，有效数字与相对误差限的关系，并通过具体的例子介绍如何求有效数字的位数。
（三）避免误差危害的若干原则按照教材中的例子可直观地阐明避免误差危害的主要原则：●避免两个相近的数相减；●防止重要的小数被大数“吃掉”；●在除法的运算中避免出现除数的绝对值远远小于被除数的绝对值的情形；●简化计算步骤；●注意算法的稳定性。
当今科技领域中所提出的三大环节是：实验、科学计算和理论分析和研究。
由于计算机的出现和发展，使科学计算在科研与工程实际中越来越显示出它的卓越作用。
例如，在计算机上修改一个设计方案比在实地作修改要容易得多。
为此，人们往往就用科学计算来取代部分实验；更何况有些课题是无法进行实验的，而只能通过科学计算去解决；（例如，计算机模拟核爆炸）。
这种由实验向计算的巨大转变，也促使一些边缘学科的相继出现，例如，计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学以及计算经济学等等都应运而生。
有些理论证明往往也是通过计算去解决，例如，四色问题，吴文俊院士开创的机器证明等。
也就是说，科学计算可以全部或部分地代替理论证明。
科学计算既然如此重要，那么数值分析在其中又处于一种什么地位呢？由下图可知：数值分析是处于一种承上启下的地位，它在科学计算中是重要的不可或缺的一环。
数值计算讲义方法chap1误差
注 : 绝对误差限不唯一.
例： x2.5 x2.4 绝对误 e差 xx： 0.1
例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误 差不超过5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？
y (长 ) 3 0 .05x (宽 ) 1 0 .02
哪一个精度高？
相对误差：
精品
数值计算方法 chap1误差
§1.1 误差的来源和分类
数值方法求解数学问题的过程
实际问题
抽 象 简 化
数学模型
数 值 计 算
问题近似解
模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差. 观测误差：由观测所产生的数学问题（模型）
中参量（数据）的误差. 截断误差：数学问题的准确解与数值方法所求
得的近似解之差.
§1.3 数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差传播
设 yf(x1,x2...x,n),f在(点 x1 ,x2 ,..x.n )处可微 xi*为 xi的近似值，则
e(y*)f(x1,x2...x,n)f(x1*,x2 *,...x,n *)
n
i1
f(x1*,x2 *,.. xi
.x,n *)e(xi*)
ee er x x*
相对误差限： er r
e x*
e xe(x xx *x*)x*(ee 2 x*)1 ( x e*x )e2 *
两种误差限的关系：
r
x*
x* r
r(x)x(x*)
0.020.0 10
0
2
r(y)x(y*)
0.050.0 30
0
160.0
0
2
1.2.2 有效数字
如 果 近 似x值 的 绝 对 误 差 限1 为10n, 2
数值计算方法主要知识点
数值计算方法主要知识点数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、方法和算法。
它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。
下面是数值计算方法的主要知识点（第一部分）。
1.近似数与误差：数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。
近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。
误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对误差为绝对误差与真实值的比值。
通过控制误差可以评估数值计算结果的准确性。
2.插值与多项式：插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似计算。
插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。
主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
3.数值微分与数值积分：数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。
常用的数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。
数值积分则是研究如何通过数值方法去近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
4.非线性方程的数值解法：非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。
常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。
这些方法基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方程的近似解。
5.线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。
其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未知的解向量。
常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分解法等。
这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。
6.插值型和积分型数值方法：数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。
插值型数值方法是通过插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。
而积分型数值方法是通过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。
第一章数值计算方法与误差分析分析
控制误差传播的例子
例10 计算积分 In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得 In= xn ex-1| 01 –∫01 ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx =1– nIn-1
从而有递推公式
I0= ∫01 ex-1dx= ex-1 | 01 = 1-e-1 ≈0.6321 In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序 进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果 受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而 且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时 (1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为 (1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化 x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]
1误差理论
| π *− π | 0.00000026 ≤ ≤ 0.82761×10−7 ≤ 0.5×10−6 π* 3.14159292
1 误差| 0000005= 误差|e| = |π* − π| ≤ 0.0000005= ×0.000001，所以有 π 2 位有效数字。 7位有效数字。
§1.2 数值计算的误差估计及算法稳定性
x* − x 若 | e |= ，则称ε 为近似值x*的相对误差限 ≤ εr 则称εr为近似值 的相对误差限。 r x e e 相差很少，而前者不易求得， 注：(1) 由于 与 * 相差很少，而前者不易求得，故 x x 用后者代替前者。 用后者代替前者。
绝对误差和绝对误差限有量纲， (2) 绝对误差和绝对误差限有量纲，而相对误差和相对 误差限无量纲，常用百分数表示。 误差限无量纲，常用百分数表示。 仍然考虑： 仍然考虑：x = 100 ± 2，y = 10 ± 1： ， ：
1
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法， 用科学计数法，记 x = ±0.a1a2 L an ×10 (其中 a1 ≠ 0） 若 | x − x * |≤ 0 .5 × 10m − n （即 a n 的截取按四舍五入规 ），则称 位有效数字， 则），则称 x 为有n 位有效数字，精确到 10 m − n 。
例3：设准确值为 = 3.78695，分析近似值 1*= 3.7869， 设准确值为x 值为 ，分析近似值x ， x2*= 3.7870分别具有几位有效数字。 分别具有几位有效数字 分别具有几位有效数字。 解：|x1* - x| = 0.00005= ×0.0001 小数点后第 位），有 （小数点后第4位 2 效位5。 效位 。 1 |x2* - x| = 0.00005= ×0.0001 小数点后第4位），有 = （小数点后第4 2 效位5 效位5。 一般来说，有效位数越多，其误差值越小， (4) 一般来说，有效位数越多，其误差值越小，但也有 例外。 误差相同，有效位不同，如下例） 例外。（误差相同，有效位不同，如下例） 例 4 ： 设 x = 1000 ， 它 的 两 个 近 似 值 x1*=999.9 和 x2*=1000.1分别有3,4位有效数字。 分别有3 位有效数字。 分别有
第3节-1 数值计算的误差
描述误差。
2、观测误差
由于测量工具的限制或在数据获取时随机因素 所引起的物理量的误差叫做观测误差。
测量工具总是有误差的 测条件有变化
模型误差和观测误差是用计算机通过科学计算来
解决实际问题所必然会产生的，是固有误差。
在计算过程中所引起的误差叫计算误差，包括
截断误差和舍入误差。
综合示例： 用公式A＝4πr2计算地球的表面积 （1）模型误差：将地球近似地看着是一个球体，建 立一个简单的理想模型。 （2）观测误差：地球半径值是测量的结果，只是地 球真实半径的近似值。 （3）截断误差： （4）舍入误差：圆周率π是一个无理数，而计算中 只能取有限位。输入的数据和计算过程中都有 数据的舍入处理，计算一般是按预先设定的精 度进行的。
3、截断误差 用数值方法求解数学模型时，得到的近似解和模 型的准确解之间的误差叫做截断误差。 产生截断误差的一种重要原因是用有限的计算过 程代替无限的计算过程。 利用计算机进行科学计算时总是要把无限的过程 用有限的过程去取代，也就总会产生截断误差。 截断误差是计算方法要研究的主要误差，很多好 的数值计算方法都是巧妙地处理截断误差得出的。 截断误差是由计算方法本身所带来的，也称之为 方法误差。
譬如，计算函数e x在某点的值时，由于e x的幂级 数展开式为： x2 xn ex 1 x 2! n!
用计算机求值时，我们不能得出右端无穷多项的和， 而只能取有限项，求出 x2 xn Sn x 1 x 2! n!
计算部分和Sn x 作为e x的值必然有误差，根据泰勒 公式得，其截断误差为： x n 1 x e x Sn x e 0 1 n 1!
h T1 f ( x0 ) ( h 2 ) 算法（1）的截断误差： 2
数值计算中的误差
曲线拟合的最小二乘法
法方程：带权离散内积 正交多项式法：关于离散点集的带权正交多项式
3
第四章
数值积分
插值型求积公式
机械求积公式，代数精度及其计算方法，收敛性，稳定性 梯形公式，抛物线（Simpson）公式，Newton-Cotes公式 余项估计（三步曲）
复合求积公式：复合梯形公式，复合Simpson公式 Romberg算法
梯形法的递推计算，Romberg外推思想与计算过程
Gauss求积公式
Gauss点的计算，Gauss系数的计算 Gauss-Legendre公式，Gauss-Chebyshev公式
数值微分
向前一阶差分，向后一阶差分，余项计算 中心差分（一阶导数，二阶导数，推导过程），余项计算
4
正交多项式
正交多项式族，首项系数为 1 的正交多项式递推公式 Legendre多项式，Chebyshev多项式，Chebyshev插值多项式
最佳逼近
最佳平方逼近：法方程，Hilbert矩阵，正交多项式法(推广到一般区间) n 次多项式的 n-1 次最佳一致逼近(推广到一般区间) ，Chebyshev级数
Hermite 插值
两点三次，三点三次，推导过程，余项推导
分段低次插值
分段线性插值，分段Hermite插值，余项推导
三次样条插值
三次样条函数，三弯矩方程2第三章源自范数与内积函数逼近
范数与内积的定义，常见范数与内积：Rn, C[a, b] 正交，Cauchy-Schwarz 不等式，Gram矩阵 带权内积，权函数，内积导出范数
第一章 数值计算中的误差
第一章数值计算中的误差
用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)
数值计算方法matlab 第一章 误差分析
1 第一章作业1.对一个数求和100000次。
对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。
问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。
程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。
这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。
双精度的情况下，该误差小得多。
当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。
在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。
问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。
随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。
我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。
变s。
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推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式
（数学模型）通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字，非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义：设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ，
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法； ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中，用解析方法在理论 上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十 分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值 解法就显得不可缺少，同时有十分有效。
计算机解决科学计算问题的主要过程
实际问题——〉数学模型——〉数值计算方 法——〉程序设计——〉上机运行求出解。 其中：
实际问题——〉数学模型：由实际问题应用 科学知识和数学理论建立数学模型的过程， 是应用数学的任务。
数值计算方法——〉程序设计——〉计算结 果：根据数学模型提出求解的数值计算方法 ，直到编出程序上机算出解，是计算数学的 任务。
定义 设 x*是对准确值 x（ 0 ）的一个近似，称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱer
(x*)
x* x*
x
e( x* ) x*
为 x* 近似 x 的相对误差。不引起混淆时，简记 er (x * ) 为
e
* r
.
相对误差限：数值
e
* r
的上界，记为
r (x*) 。
相对误差限也可以通过 r
x*
来计算。
Remark1: 当要求计算相对误差，是指估计一个 尽可能小的相对误差限。
e* e (e* en ) (en e)
二、误差的度量
1) 绝对误差 2) 相对误差 3) 有效数字 4) 各种度量之间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：近似值减准确值
e( x * ) : x * x
在 不 引 起 混 淆 时 ，简 记 e (x * ) 为 e * 。 • 绝对误差限：
2）观测误差
数学模型中包含的某些参数是通过观
测得到的。
F
G
m1m 2 r2
在本课程中不研究这两类误差，总是假定 数学模型是正确合理地反映了客观实际问题。
3）截断误差（方法误差） 数值方法精确解与待求解模型的理论分
析解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有
限过程，而使得算法必须在有限步内执行结 束而导致的。
其中 m 为整数， {xi } {0,1,2,,9}且 x1 0 ， p n . 如果使
e*
x* x
1 2
10mn
，
成立的最大整数为 n，则称 x* 为 x 的 n 具有位有效数字的
近似数，或称 x* 准确到10mn 位。
有效数：当x* 准确到末位，即n=p，则称 x*为有效数。
举例：x=π, x1*=3.141, x2*=3.142
如果存在正数 (x*) ，使得有绝对误差
， e* x* x *
则称 * 为 x*近似 x 的一个绝对误差限。
x [x* *, x* *]， x x * * 。
Remark: 通 常计算 中所要 求的 误差，是 指估 计一
个尽可能小的绝对误差限。
2.相对误差
• Remark: 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值 不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似 程度的好坏。
单精度浮点数的实际有效精度为24位二进制， 这相当于 24*log102≈7.2 位10进制的精度， 常说“单精度浮点数具有7位精度”。
双精度浮点数则具有15位精度。
利用计算机计算e的近似值en时，实际上得 不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样e* 作为e的近似，将包含有舍入误差和截断误差两 部分：
算法分类
分类方法1：若算法包含有一个进程则称 其为串行算法，否则为并行算法。
分类方法2：从算法执行所花费的时间角 度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其 为数值型算法，否则为非数值型算法。
本课程介绍数值型串行算法！（其它类 型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）
算法的可靠性
可靠性：可靠性包括原问题的适定性算法的 收敛性、稳定性等。
适定性：是指解存在、惟一，且解对原始数 据具有连续依赖。
收敛性：是研究当允许计算步越来越多时， 是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究 截断误差是否能够趋于零。
稳定性：是指随着计算过程逐步向前推进， 观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很 小。
本课程的学习方法
尽管本课程所学算法有限，但仍有许多学生会觉 得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学习 方法，仅供初学者参考： 1、以算法的理论分析为基础，理解记忆公式； 2、理解每章算法建立的数学背景、数学原理和基
例如：
e 1 1 1 , 1! 2!
en
1
1 1!
1 2!
1, n!
e en
4）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表
示浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分 有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示 所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数 据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产 生误差，称此类误差为舍入误差。