数学建模球面上的区域问题(1)

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2015年数学建模国赛A题

二、问题分析
问题一要建立直杆影子长度变化的数学模型，首先需知道太阳影子长度计算公式，故引入太阳高度角[1]这个概念。即若已知某时刻太阳高度角的大小和直杆高度，根据其满足的三角函数关系便可得到此时太阳影子长度。太阳高度角与观测地地理纬度、地方时角和太阳的赤纬[2]相关。其中太阳赤纬是太阳直射点所在纬度，与日期有关；时角由当地经度及其所用时区时间决定，故根据影长、太阳赤纬、时角计算公式可求得直杆影子长度变化模型，并根据模型分析影子长度关于各参数的变化规律。将附件一中直杆的有关数据直杆影长变化模型中，可求出该直杆的具体影长变化公式。根据所建立的模型，运用 MATLAB 软件便可得到影子长度随时间的变化曲线。问题二需根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。首先由问题一可推测影子长度与时间的关系，故可将太阳影子长度与对应时间进行拟合，得到影长与时间关系模型。当某个时刻影长得到极小值时，该时刻为太阳与直杆距离最近，即地方时正午 12 时，结合当地所使用的标准时间便可得到当地经度。最后利用太阳高度角与直杆长度以及影长满足的三角关系式，便可得到影长关于直杆高度、直杆所在地点的纬度的函数关系式，即得到了有关太阳影子顶点坐标与直杆地点经纬度的模型。将附件一中影子顶点坐标数据应用于该直杆位置模型，可得到直杆所在位置。用相对误差分析法分析误差[3](168-169 页)，若所得的相对误差小于 2.5%，认为得到的模型合理。问题三可根据光照成影原理和太阳高度角计算公式建立影长与时间变化模型，根据相关数据，运用 MATLAB 软件拟合可得到直杆所在位置的经纬度。令年份均为 2015 年，根据太阳赤纬角计算公式，可求解具体的日期。将附件 2 和附件 3 时间和对应直杆影长数据分别代入模型中，通过拟合计

线性代数在数学建模中的应用举例

线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。

如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。

表1.1基因的相对频率问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。

解有人提出一种利用向量代数的方法。

首先，我们用单位向量来表示每一个群体。

为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1）即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(，（4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。

129. 如何用坐标系进行数学建模？

129. 如何用坐标系进行数学建模？关键信息项：1、坐标系的类型及特点直角坐标系极坐标系柱坐标系球坐标系2、数学建模的目标与应用领域物理问题经济问题工程问题3、建模过程中的关键步骤确定问题和变量选择合适的坐标系建立数学关系式求解与验证4、数据处理与分析方法收集数据数据预处理数据分析工具5、模型的优化与改进误差分析模型调整策略11 坐标系的类型及特点111 直角坐标系直角坐标系是我们最常见和熟悉的坐标系，它由相互垂直的 x 轴和y 轴组成，通常用于描述平面上的点的位置。

在直角坐标系中，点的坐标用有序数对（x, y) 表示，其中 x 表示点在 x 轴上的位置，y 表示点在 y 轴上的位置。

直角坐标系在解决线性问题、几何图形的计算以及简单的函数关系等方面具有广泛的应用。

112 极坐标系极坐标系则是以一个定点 O 为极点，以一条射线 Ox 为极轴建立起来的坐标系。

在极坐标系中，点的位置用极径 r 和极角θ 来表示。

极坐标系在描述圆形、扇形等具有旋转对称性的图形和问题时非常方便，例如在研究圆周运动、行星轨道等方面具有独特的优势。

113 柱坐标系柱坐标系是由平面极坐标系和 z 轴组成的三维坐标系。

点的位置用（r, θ, z) 表示，其中 r 和θ 与极坐标系中的含义相同，z 表示点在 z 轴上的位置。

柱坐标系适用于处理具有轴对称性的三维问题，如圆柱体、螺旋线等。

114 球坐标系球坐标系以一个点 O 为球心，以一条射线 Ox 为极轴，以通过极轴的平面为基准面建立。

点的位置用（r, θ, φ) 表示，其中 r 表示点到球心的距离，θ 表示极角，φ 表示点与基准面的夹角。

球坐标系在处理球体、球面等问题时非常有用，例如地球物理学、天体物理学中的相关问题。

12 数学建模的目标与应用领域121 物理问题在物理学中，坐标系的应用广泛。

例如，在研究物体的直线运动时，可以使用直角坐标系来描述物体的位置、速度和加速度随时间的变化关系；在研究天体的运动时，可以使用极坐标系或球坐标系来建立模型，分析天体的轨道和运动规律。

数学建模-简单的优化模型

3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1）的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1）假设2）
dB
b t1,
t t b
由模型决定队员数量x
问题
4 最优价格
根据产品成本和市场需求，在产销平
衡条件下确定商品价格，使利润最大
假设
1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数
进一步设 x( p) a bp, a, b 0
C~
c1
c2
Q 2
T
c1 c2
rT 2 2
每天总费用平均值（目标函数）
~ C(T ) C c1 c2rT
TT 2
模型求解
dC 0 dT 模型分析
求 T 使C(T ) c1 c2rT Min T2
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
c1 T,Q
模型应用
c2 T,Q
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁速度dB/dt.
B B(t2)
0
t1
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）

12.立体几何内切球外切球

%-. ) ∙ ；
第三步、解出 =
"/!"#$%
0!"#$%
例题：在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱
锥 P-ABC 为鳖臑，侧棱垂直底面， ⊥ ，且 = 2, = 3, = 4，则
该鳖臑的内切球的半径为_____ .
解析：由鳖臑的性质可知， ⊥ ， = √13, = 5, = √29, 所以%+,-. =
第三步、由∆相似于∆，建立等式：&* = %* →
解出
解出
题设：求任意三棱锥的内切球半径（等体积法）
第一步、先求出四个表面的面积和整个椎体的体积；
!
第二步、设内切球半径为 r，建立等式:%+,-. = #+,-. + #+%,- + #+%-. → %+,-. = " (,-. + %,- + %,. +
解析：第一步：将∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD，连接 PD，
则 PD 必过球心 O；
第二步：! 为∆的外心，所以 O! 垂直平面 ABC，算出小圆! 的半径! = （三角形的外
!
接圆直径算法：利用正弦定理）
，根据三角形相似得：! = ( ；
第一步、先画出内切球的截面图如左图，P，O，H 三点
个三角形的外心；
共线；
!
!
第二步、求 = " , = − ，为侧面∆
第二步、求 = ( , = − , 为侧面∆的
的高；
高；
#$
%#
#)
%#
第三步、由∆相似于∆，建立等式：%& = %' →

2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题论文

2327'8.261'' 46.845'' T 0.0059'' T 2 0.00183'' T 3
其中， T 表示儒略世纪数，由儒略日数计算，其计算公式为：
JD 2451545 T 36525
（4 ）
其中， JD 为儒略日数，为自 1900 年 1 月 0 日 12 时起至计算时刻之间的天数。可从天文年历中查出，本文运用下列公式计算: 设 Y 为给定年份， M 为月份， D 为该月日期（可以带小数）对格里高利历，有 A=INT(
问题重述
“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。请用天文学的观点赏析该名句，并进行如下的讨论： 1. 定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后” 。根据天文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间。并根据已有的天文资料（如太阳和月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻）验证所建模型的合理性。 2. 根据所建立的模型，分析 2016 年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。根据模型判断 2016 年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景？如果能，请给出相应的日期与时间；如果不能，请给出原因。
日落时间，月出时间的统计，再计算出日落月出的时间差以及月亮与地平面的夹角，从而判定这些城市是否会发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的现象。
模型假设
1. 假设柳树高度为 5m，人距柳树的距离 15 米,人的身高为 1.6m,根据三角函数和相似三角形基本数学知识求出月亮在空中的角度为 12.77°。 2.假设当时诗人是在现在的北京，假设当时的月亮与地平面的夹角是 0°～ 20°。 3.假设没有雾霾、台风以及各种天气因素的影响。 4.假设把观测点当作一个理想的点来验算。 5.假设云层对太阳光没有散射效应。

太阳能板对日定向问题——2010数学建模

题目：太阳能电池板对日定向问题——如何更好的接受太阳的恩赐参赛队员：目录一、摘要 (3)二、问题的提出 (3)三、问题分析 (4)四、建模过程1.建立基本数学模型 (10)2.建立高级数学模型 (11)3.代入数据绘制函数图象 (16)4.将函数图象转化为三维直观图 (20)5.检验模型解 (20)五、模型的评价与改进 (22)六、声明与参考文献 (23)一、摘要关于太阳能电板的利用率问题和电板转动与太阳偏转角的关系，是第一部分探讨的两大重点，我们通过将具体问题模型化，绘制基本的数学模型，并运用数学上的平面几何知识，及网上所查到的资料，自主推导有用的公式及原理。

并绘制简单的图象来清晰的表述。

广泛联系实际及生活中的现象，通过向日葵的向日原理，普通跟踪装置的设定原理，总结出最佳方案及最适结果。

接着建立出太阳高度角、太阳方位角，关于时间的函数，求出数学表达式，绘制出函数图象。

建立适当的空间直角坐标系，以太阳高度角、太阳方位角来确定太阳能能电池版面的指向，绘制出三维立体直观图。

然后带入数据，以2010年11月20日各整点时刻计算出太阳的高度角与方位角。

同时，选取适当的时间进行实地测量。

绘制出表格，计算平均相对误差，检验模型解得准确性。

最后对误差和模型本身进行分析，总结出建模时未考虑到的因素对结果的影响，明确继续努力的方向。

二、问题的提出目前，由于人类过度的开采石油等消耗性能源，并大肆的浪费，使得当今社会的可用能源已经所剩无几，开发新能源及清洁能源是当务之急，而太阳能是一种既清洁又富有的理想能源，但如何更好的收集与利用则是一个难题。

现如今，人类利用太阳能有以下两种形式一种是太阳能热利用，即利用太阳能辐射能加热集热器，把吸收的热能直接加以利用，如太阳能热水器、太阳能空调、太阳能温室等。

另一种是将太阳辐射能转化为电能加以利用。

这种光电转换是通过半导体物质直接将太阳辐射能转换为电能，通常称这种过程为光伏打效应，如太阳能电池等。

高等代数求通过不共面四个点的球面方程

高等代数求通过不共面四个点的球面方程一、引言在数学中，高等代数是研究多项式的代数学的一个分支。

在这个领域中，求通过给定的不共面四个点的球面方程，是一个极具挑战性的问题。

通过高等代数的方法，我们可以通过这四个点的坐标，来找到一个满足条件的球面方程。

通过本文，我们将逐步深入探讨这个问题，并给出相应的解决方案。

二、问题分析我们需要了解什么是球体以及球面方程。

球体是空间中的一个曲面，它上面的所有点到球心的距离都相等。

而球面方程则是描述球体的方程式，它可以表示为：(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²其中 (h, k, l) 为球心的坐标，r 为球体的半径。

我们设想有四个不共面的点 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃),D(x₄, y₄, z₄)。

我们的目标是找到一个球体，使得它能够通过这四个点，并且满足球面方程。

我们需要求解球心的坐标 (h, k, l) 和球体的半径 r。

三、解决方案为了找到满足条件的球面方程，我们可以采用以下步骤：步骤1：求取AB、AC、AD三条线段的中垂线方程，得到它们的交点E。

步骤2：再求取BC、BD、CD三条线段的中垂线方程，得到它们的交点F。

步骤3：点E与点F已经确定了球心的坐标 (h, k, l)。

步骤4：求取球心到任意一个给定点的距离即可得到球体的半径 r。

四、具体推导我们先来具体推导步骤1的过程，以求取AB的中垂线方程为例。

设中点为M，向量AM为(a, b, c)，则AB的中垂线方程可表示为：x = x₁ + 1/2 * a * ty = y₁ + 1/2 * b * tz = z₁ + 1/2 * c * t同理，我们可以求出AC、AD的中垂线方程，得到它们的交点E。

接下来，我们按照步骤2的方法求取BC、BD、CD的中垂线方程，得到它们的交点F。

点E与点F已经确定了球心的坐标 (h, k, l)，我们可以将这一过程进行数学推导。

06年数学建模有关易拉罐的尺寸最优设计问题

12.06 6.58 0.099 0.321 0.305 1.00 6.02 11.06 364.5
12.08 6.58 0.101 0.304 0.294 0.98 5.98 11.08 364.0
12.06 6.66 0.095 0.311 0.310 1.02 6.00 11.06 365.6

构造函数：
分别对r1,r2, θ ,h求偏导，并使之为零，与Vp(r1,r2,h, θ )-365=0 联立得到方程组:
2π + 2 k 3 bπr1 + 2πh + λπr12 tan θ + 2λπhr1 cosθ 2 k1bπr2 − 2 k 2bπr2 − λπr22 tan θ =0 cos θ λπ (r13 − r23 ) 2 2 sin θ k 2 bπ ( r1 − r2 ) cosθ + 3 cos 2 θ = 0 2bπr1 + λπr12 = 0 1π tan( r13 − r23 ) +πr12 h −365=0 3
问题四
1）球台部分的求解运用重积分求得球台体积V1为
2πr33 (cos α − cos β ) π r23 r13 V1 = + − 3 3 tan α tan β
球台上表面的面积 SV = πr2 ，球台弧形部分表面积Sv2,根据二重积分用球面坐标对其表面积积分可求的用球面坐标对其表面积几分渴求的台球部分表面积为
测得数据如表1所示测得数据如表所示
表1
数据种类实测数据平均值单位
罐高罐桶直径罐壁厚顶盖厚罐底厚圆台高顶盖直径圆柱体高罐内体积
12.06 6.62 0.112 0.295 0.303 1.00 6.02 11.04 364.9

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中日东海问题的数学模型
一、摘要
建立地理坐标中的经纬度坐标转换成弧度单位模型，再通过空间坐
标计算出各坐标点顺序连线围成的区域边线总长以及围成的大约
面积
-
经纬坐标与空间坐标转换公式如下：

coscoscossinsinxryrzr










空间坐标与出圆心角转换公式如下：
cos
ω

二、模型假设
（1）假设地球半径为6381千米的理想球体。
（2）假设将图1转换为
图2坐标点顺序连线围成的区域为双方共同开发区块进

行计算
（3）假设F为北纬，L为东经， r为地球半径，S为连线围成的区域大约

面积.
（4）假设连线围成的区域大约面积如图2分为4块梯形，面积分别为
S1,S2,S3,S4.S就为总面积。如表1设坐标点为A至G 7个点
图1

2
2

12
121212

22rMM
xxyyzz

rr
双对共同开发区域
2.196
2.198
2.2
2.202
2.204
2.206
2.208

0.5140.5160.5180.520.5220.5240.526
B

图2
双对共同开发区域

0.5236,
2.2049

0.5221,
2.2067

0.5236,
2.2021

0.5248,
2.2002

0.5204,

2.1972
0.5152,

2.1972

0.5152,
2.2067

2.196
2.198
2.2
2.202
2.204
2.206
2.208

0.5140.5160.5180.520.5220.5240.526
B

三、模型建立
（1）经纬度坐标换算成弧度单位
换算模型

经纬度坐标换算成弧度单位后的表格：
1800

坐标点北纬东经
A 0.5152 2.1972
B 0.5204 2.1972
C 0.5248 2.2002
D 0.5236 2.2021
E 0.5236 2.2049
F 0.5221 2.2067
G 0.5152 2.2067

（2）建立坐标.
如图所示直角坐标:

（3）根据图把地理坐标转换为空间直角坐标.
公式如下：

coscoscossinsinxryrzr









理坐标转换空间直角坐标的表
空间直角坐标
x y z

A -3.2554 4.4985 3.1438
B -3.2457 4.4851 3.1728
C -3.2509 4.4642 3.1969
D -3.2617 4.4609 3.1905
E -3.2741 4.4517 3.1905
F -3.2846 4.4498 3.1825
G -3.2978 4.4675 3.1438

四、模型求解
（1）计算区域边线总长．
点M1 ( x1 ,y1 ,z1 )到M2 ( x2 ,y2 ,z2 ) 的线长，应是平面M1O M2 和
地球球面相截所得的一段圆弧。设该段圆弧的长度为d1，∠M1O M2的弧度数
为ω，地球的半径为r , 则d1= r ·ω
其中，在ΔM1OM2中，应用余弦定理可推得：
cos
ω

区域边线长求解后如下图所示表
经过的路程长度（千米）

2
2

12
121212

22rMM
xxyyzz

rr
A-B 33.4108
B-C 32.3573
C-D 12.9903
D-E 15.4586
E-F 13.3879
F-G 44.5478
G-A 52.4956
总长 204.6483

（2）计算区域大约面积．
利用梯形的求面积公式求出4块连线围成的区域面积求出总面积
求得后的解为：

区域面积(km2)
S1 2.2116×105
S2 1.7400×105
S3 2.3598×105
S4 1.3454×105
S 7.6568×105
附录：
a=[31,49,4,00,00,55,31,31];
a1=a./60;
a2=[29,29,30,30,30,29,29,29];
a3=a1+a2;
b=[30,30,45,23,00,00,00,30];
b1=b/3600;
b2=[53,53,03,10,20,26,26,53];
b3=b2/60;
b4=[125,125,126,126,126,126,126,125];
b5=b1+b3+b4;
A=a3.*pi/180;
B=b5.*pi/180;
x=6381*cos(A).*cos(B);
y=6381*cos(A).*sin(B);
z=6381*sin(A);
for i=1:7
d(i)=6381*acos((x(i)*x(i+1)+y(i)*y(i+1)+z(i)*z(i+1))/6381^2);
end
d;
h=0
for i=1:7
h=h+d(i)
end
h
S1=(A(3)+A(2)-2*A(1))*(B(3)-B(2))*0.5
S2=(A(4)+A(3)-2*A(1))*(B(4)-B(3))*0.5
S3=(A(5)-A(1))*(B(5)-B(4))
S4=(A(6)+A(5)-2*A(1))*(B(6)-B(5))*0.5
S=S1+S2+S3+S4

数学建模 球面上的区域问题(1)

2015年数学建模国赛A题

线性代数在数学建模中的应用举例

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