高中数学必修三北师大版 第3章 §2 2.3 互斥事件 学案(Word版含答案)

2.3 互斥事件
1．了解互斥事件的概念及概率加法公式．
2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系．
3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点)
4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算
问题．(难点)

[基础·初探]
教材整理1 互斥事件
阅读教材P138～P140“例5”以上部分，完成下列问题．
1．互斥事件的定义
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A和B称
作互斥事件．
2．事件A与B至少有一个发生
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和
事件B至少有一个发生．
根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋„＋An表示在一次随机试验中，事
件A1，事件A2，„，事件An中至少有一个发生．
3．互斥事件的概率加法公式
一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个
发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这
个公式称为互斥事件的概率加法公式．
如果事件A1，A2，„，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋„＋An发生(即A1，
A2，„，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，
即P(A1＋A2＋„＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知事件A与B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )
(2)若三个事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )
(3)袋子中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，“恰有一个白球”和
“全是白球”是互斥事件．( )
【解析】 (1)×，A与B互斥时P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)×，P(A)＋P(B)＋P(C)的值不确定．
(3)√，恰有一个白球与全是白球是互斥事件．
【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 对立事件及其概率的求法公式
阅读教材P140“例5”至P143“练习”以上部分，完成下列问题．
1．定义
在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发
生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.
2．性质
P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件．( )
(2)事件A与B若满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．( )
(3)若事件A与B互为对立事件，则A与B互斥．( )
【解析】 (1)×，A与B不一定对立．
(2)×，例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率相同，事件A为选中a，

b两个球，则P(A)＝12；事件B为选中b，c两个球，则P(B)＝12，则P(A)＋P(B)
＝1，但A，B不是对立事件．
(3)√，对立事件一定是互斥事件．
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[小组合作型]
互斥事件与对立事件的判
断
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判
断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少1名男生与全是男生；
(3)至少1名男生与全是女生．
【精彩点拨】 要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的
所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件中是否必
有一个发生，可判断是否为对立事件．
【自主解答】 从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或
两女或一男一女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事
件但不是对立事件；
(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是
互斥事件．
(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，
由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发
生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．
2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不
能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立
事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．

[再练一题]
1．判断下列给出的条件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，
“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不
能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，
二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽
出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，
所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，
“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同
时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件的概
率

袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，
从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得

到黄球或绿球的概率也是512.
【导学号：63580039】
(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；
(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．
【精彩点拨】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可
用互斥事件概率的加法公式求解．
【自主解答】 (1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得
到黑球”，C为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互
斥．
由已知P(A)＝13，
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝512，
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝512，
∴P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝1－13＝23.
∵B与C＋D，B＋C与D也互斥，
∴P(B)＝P(B＋C＋D)－P(C＋D)＝23－512＝14，

P(D)＝P(B＋C＋D)－P(B＋C)＝23－512＝14，
P(C)＝1－P(A＋B＋D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－




13＋14＋1

4

＝1－56＝16.
故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.
(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，
∴得到的球是红球或黄球，即事件A＋C，

∴P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝13＋16＝12，

故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12.

1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由
此可知用概率加法公式求解．
2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对
立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的
事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．

[再练一题]
2．向三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率是0.025，