26.1.2 二次函数y=ax2的图象第2课时

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26.1_二次函数的一般式(3

（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x顶 2 0.5 4
4 0.53 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
y x2
8 6
4 2
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
顶点式 y=a(x-h)2+k
顶点坐标(h , k) 对称轴 x=h 当a>0, x=h时,y有最小值为k 当a<0, x=h时,y有最大值为k x>h表示在对称轴的右侧 x<h表示在对称轴的左侧
当h=0时,顶点在y轴上；当k=0时顶点在x轴上
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对称轴 2
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y 1 x2 6x 21 2
·· ·
··
3
45
5 3.5
6
3
7
3.5
8
9
·· ·
y
y
o
x
o
x
y
o y
x y
o
x
o
x
与y轴交点的求法：令x=0,得到y=c 即（0，c）
y
与y轴始终有一个交点（0，c）
C
x1 o
x2 x

26.1二次函数教案[修改版]

第一篇：26.1二次函数教案26．1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm）是多少？s = a（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．y = (4+x)(3+x)−4×3 = x+7x222请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．二次函数的概念：形如ax+bx+c = 0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．2[实践与探索]例题：补充例题：1．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数．解若函数解得因此，当，且，且时，函数．．是二次函数，须满足的条件是：是二次函数，则是二次函数．的函数只有在的条件下才是二次函数．回顾与反思形如探索若函数值？是以x为自变量的一次函数，则m取哪些2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；222（2）由题意，得（3）由题意，得其中y是x的一次函数；，其中y是x的二次函数；（x≥0且是正整数），（4）由题意，得数．，其中S是x的二次函3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．2解（1）（2）当x = 3cm时，；（cm）．2[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）为二次函数？2．当k为何值时，函数3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1．已知函数2．已知二次函数是二次函数，求m的值．，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．B．C．（D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系）模型的是（）B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）圆的周长与圆的半径之间的关系典型例题1．下列各式中，y是x的二次函数的是( ) A．x+y−1 = 0 B．y = (x+1)(x−1)−xC.y = 1+22D.2(x−1)+3y−2 = 0 答案：D2 4说明：选项A、C都不难看出关系式中不含x的平方项，因此，都不满足二次函数的定义，选项B，y = (x+1)(x−1)−x可化简为y = −1，也不满足二次函数的定义，只有选项D是正确的，答案为D．2．下列函数中，不是二次函数的是( )2A．y = 1−x B．y = 2(x−1)+4 C．y =2222(x−1)(x+4) D．y = (x−2)−x22答案：D说明：选项D，y = (x−2)−x可化为y = −4x+4，不是二次函数，而选项A、B、C中的函数都是二次函数，答案为D．3．函数y = (m−3)是二次函数，则m的值为：（答案：−3）说明：因为y = (m−3)且m≠3，即m = −3．4．已知函数y = ( 4a ＋3)是二次函数，所以m2−7 = 2，且m−3≠0，因此有m = ±3，＋x−1是一个二次函数，求满足条件的a的值．解：∵y = ( 4a ＋3)＋x−1是一个二次函数，∴，解得a = 1．习题精选21．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x(cm)的小圆，剩下的圆环面积为y(cm)，则y与x之间的函数关系式为( ) A．y = πx−4 B．y = π(2−x)C．y = −(x+4) D．y = −πx+16π答案：D说明：半径为4cm的圆，面积为16π(cm)，挖去的小圆面积为πx(cm)，所以剩下的圆环222面积为(16π-πx)(cm)，即有y =-πx+16π，答案为D．2．若圆锥的体积为Vcm，高为6cm，底面半径为rcm．写出V与r之间的函数关系式，并判断它是否是二次函数?此题考查圆锥的体积公式及二次函数的概念．32222222解：由题意得：V=n+2πr×6，即V=2πr，此函数是二次函数．223．若函数y=2x+1是二次函数，求n的值．此题考查二次函数概念中关于自变量的二次式．解：由题意得：n+2=2 ∴n=04．若函数y=(a−1)x+x+1是二次函数，求a、b的取值范围．b+12 5此题综合考查二次函数的概念，分三种情况讨论：（1）(a−1)x是二次项（2）(a−1)x是一次项（3）(a−1)x是常数项．解：分三种情况：b+1b+1b+1（1）∴b = 1，a≠1（2）∴b = 0，a≠1（3）a−1 = 0 ∴a = 1∴a = 1；b = 0且a≠1且b = 15．一个长方形的周长为50cm，一边长为x(cm)，求这个长方形的面积y(cm)与一边长x(cm)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围答案：y=−x+25x，0说明：由已知不难得出，该长方形的另一边长为50÷2−x，即25−x，长方形的两边长则分别为x、25−x，而这两边长都应该大于0，即x>0且25−x>0，同时，该长方形的面积为22x(25−x)=−x+25x，即有y=−x+25x，06．小明存入银行人民币200元，年利率为x，两年到期，本息和为y元(以单利计算)．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若年利率为2.25%，求本息和．(3)若利息税率为20%，求到期时，小明实际所得利息．答案：(1)y=200+400 (2)209 (3)7.2元说明：(1)两年到期的利息应该是2×200x，即400x，所以本息和y=200+400x(2)当x=2.25%时，y=200+400×2.25%=209(3)实际所得利息为2×200×2.25%×(1−20%)=7.2．22 6第二篇：《26.1二次函数》教学反思《26.1二次函数》教学反思龙潭镇第一初级中学黄海东这节课是安排在学了一次函数、反比例、一元二次方程之后的二次函数的第一节课，学习目标是要学生懂得二次函数概念，能分辨二次函数与其他函数的不同，能理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对自变量的取值范围的限制。

人教版数学九年级上册2一元二次方程的解及其图像经典课件(34张)

(2)抛物线
在x轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的
抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
1；；
(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
当x=1时,y= -1
3x 50 2 当x<0 (在对称轴的
又因二次项系数m＋1≠0，即m≠－1，
3
0
当x=0时函数y的值最小.
当x=0时函数y的值最小.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
❖ 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
3x25x3 不是
x2 4
是
x 2 x2 x 1
不是
v 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
❖ 什么叫方程的根？
v 能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。
v 解：把x＝2代入原方程得： v (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 v 解这个方程得：m＝6
❖ 3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
方程的本质
1、下列式子哪些是方程？特征是什么？
右侧)时, y随着x的增大而
y随着x的增大而减小,当x=
时,函数y的值最小,最小
2、我们学过哪些方程？
2＋3＝5 ＝5（1＋x）（1＋x）
当x=1时,y= -1
x24(x2)2 不是

26.1.4(1)二次函数y=ax^2+bx+c的图象

26.1.4 二次函数y=ax2 +bx+c的图象(1)
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上，当a﹤0时，开口向下，
2.对称轴是直线x=h；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数:y＝a(x-h)2+k的性质:
1. 当a>0时，开口向上，当x<h时，y随x的增大而 ___减__小__；当x>h时，y随x的增大而___增__大___。
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
x
y1(x6)2 3 2
…3 4 … 7.5 5
56
3.5 3
y
78
3.5 5
9… 7.5 …
10
5
O
5
10 x
巩固练习
1、用配方法把下列函数化成 y a( x h)2 k 的形式，
指出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标（不画图）
向上
y=ax2+bx+c(a<0)

b 2a
,
4acb2 4a

直线x b 2a
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
y = 4(x-3)2 y = -5x2 - 6
向上向下向上向下
直线x=–3 （－3，5）
直线x=1 （1，－2）直线x=3 （3，0 ）直线x=0 （0，－6）

26.1 二次函数华师大版数学九年级下册课件

增加 ycm²,试写出y与x的函数关系式.
答:(1)y=-x²+10x; (2)S=r²; (3)y=x²+7x.共同特点:都是关于自变量的二次式.
2.探究新知
问题 1 要用长为20m的铁栏杆,一面靠墙(墙足够长),围成一个矩形的花圃.
(1)设垂直于墙面的边AB为xm,矩形的面积为ym².y能用含x的代数式来表示吗?
第26章二次函数
26.1 二次函数
一教学目标
1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的形成过程,学会用类比思想学习二次函数知识. 2.掌握二次函数的概念,列出实际问题中的二次函数关系式.
二重难点
重点：掌握二次函数的概念,列出二次函数关系式. 难点：理解变量之间的对应关系,并会求自变量的取值范围.
问题 2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润. 经市场调查,发现这种商品每件每降低0.1元,每天销售量可增加10 件.将这种商品的售价降低多少时,能使每天销售利润最大?
(1)设每件商品降低x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y,y是x的函数吗?为什么要限定x的值?
(2)试填写下面的表格. (3)x的值可以任意取吗?有限定范围吗? (4)我们发现y是x的函数,试写出这个函数的关系式.
解:(1)能. (2)如表所示.
AB的边长 x（m）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC的边长 x（m）Fra bibliotek1816
14
12
10
8
6
4
2
面积y （m²）
18

九年级数学《y=-ax2的图像及性质》课件

26.1二次函数yy=ax2 的图象和性质
x
复习回顾导入新课
抛物线
顶点坐标对称轴位置开口方向开口大小增减性
极值
y=ax2 (a>0)
（0，0） y轴
y x
在x轴的上方（除顶点外）
LOREM IPSUM DOLOR
向上
a越大，开口Biblioteka 小；a越小，开口越大x<0时，y随x的增大而减小； x>0时，y随x的增大而增大。当x=0时，最小值为0。
学而不思则罔
回
头
一
看
我有哪些收获呢？
，我
与大家共分享！
想说
还有什么疑问吗?
…
y 1 x2 2
的图象，图象的开口大小与哪个因素有关
小组展示
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=-x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
函数图象画法
描点法
0.5 1 1.5 2 ... -0.25 -1 -2.25 -4 ...
用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值根据图形填表：
列表
描点
连线
y=-x2
y ax2
a 绝对值越大，开口越小。
y x2
y 2x2
y 1 x2 2

华师大版九年级数学电子书第26章二次函数

第26章二次函数 (1)二次函数 (2)二次函数的图象与性质 (3)1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 (3)2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 (5)3. 求二次函数的函数关系式 (13)阅读材料................................................................................................... 错误!未定义书签。

生活中的抛物线....................................................................................... 错误!未定义书签。

实践与探索 (15)小结 (17)复习题 (18)第26章二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？§26.1 二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2）x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y 是x的函数，试写出这个函数的关系式．问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x）（0＜x＜10）即y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）问题2中的函数关系式为y＝（10－x－8）（100＋100x）（0≤x≤2），即y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）.观察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数（quadratic function ）．练习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm ．（1）当它的一条直角边长为4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；（2）设这个直角三角形的面积为S cm 2，其中一条直角边长为x cm ，求S关于x 的函数关系式．2. 已知正方体的棱长为x cm ，它的表面积为S cm 2，体积为V cm 3．（1）分别写出S 与x 、V 与x 之间的函数关系式；（2）这两个函数中，哪个是x 的二次函数？1. 设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3．（1）分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式；（2）这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1）求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2）求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1m 2）（3）二次函数的图象与性质回顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y ＝ax 2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y ＝ax 2 的图像与性质．例1 画二次函数y ＝x 2的图象．解列表．（第4题）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图26.2.1所示．图26.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y＝x2、y＝2x2的图象，可以看出：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a＞0时，函数y＝ax2具有这样的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x ＝0时，函数y＝ax2取得最小值，最小值y＝0．思考观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有些什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2；（2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1）抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2）抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1）当半径r 分别为2、2.5、3时，求圆的面积S （π取3.14）；（2）画出函数S ＝πr 2的图象．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质问题1试研究二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象．分析将函数关系式配方，得y ＝2（x －1）2＋1．我们设法寻求它与y ＝2x 2图像的联系．为此，先看几个简单的例子．例2 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2与y ＝2x 2＋1的图像．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示．图26.2.2观察当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概括通过观察，我们发现：当自变量x 取同一数值时，函数y ＝2x 2＋1的函数值都比函数y ＝2x 2的函数值大1．反映在图象上，函数y ＝2x 2＋1的图象上的点都是由函数y ＝2x 2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y ＝2x 2＋1与y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y ＝2x 2＋1的图象可以看成是将函数 y ＝2x 2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2x 2＋1的一些性质：当x _____时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最____值，最____值y ＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y ＝2x 2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图26.2.3观察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思考这两个函数的图象之间有什么关系？概括通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质．思考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系．在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系．试一试（1）填写下表．（2）从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3）进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1）在图26.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y＝2（x －1）2 的图象作比较．（2）试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1）在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2）分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析因为 y ＝－21x 2＋x －25＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象．解列表．画出的图象如图26.2.4．图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2．做一做（1）请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2）通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4；（2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2；（4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y ＝2x 2＋4x ；（2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7；（4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4；（2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1；（4） y ＝x 2－4x ＋7．应用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题．问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x-＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．练习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4；（2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ；（4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ；（6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）图26.2.53. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图26.2.6分析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）．（1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是yx 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式．例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值．例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式．练习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2）已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；（3）已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？1. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1；（4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2． 2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．（1）y ＝x 2－3x －4；（2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1；（4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ；（6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标．（1）y ＝4x 2－4x ＋1；（2）y ＝－4x 2－9；（3）y ＝－4x 2＋3x ；（4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；（2）已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；（3）已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)§26.3 实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题．问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图26.3.1（1）所示．根据设计图纸已知：在图26.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2图26.3.2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D 的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？问题3画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴交点的坐标是什么？（2）当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程432--=x x y 有什么关系?（3）你能从中得到什么启发?试一试根据问题3的图象回答下列问题．（1）当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？（2）能否用含有x 的不等式来描述（1）中的问题？练习1. 画出函数y ＝x 2－2x －1的图象，求方程x 2－2x －1＝0的解．（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和的图象321+=x y ，如图26.3.3，认为它们交点A 、 B 的横坐标－23和2就是原方程的解．图26.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论．做一做利用图26.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．（1） x 2＋x －1＝0（精确到0.1）；（2） 2x 2－3x －2＝0．习题26.3 1. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约132m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中在运动员前4 m 处（即OC ＝4）达到最高点，最高点高为3 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1）写出售价x （元/件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式；（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 3. 利用函数的图象求下列方程的解．（1） x 2＋x －12＝0；（2）2x 2－x －3＝0． 4. 利用函数的图象求下列方程组的解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=;,23212x y x y （2）⎩⎨⎧-=--=.,132x x y x y 小结一、知识结构图26.3.4(第1题)二、注意事项1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题．2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增加而增加（或减小）？何时函数取得最大（小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）．3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数y＝ax2（a ≠0）的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数）的形式，抓住它与y＝ax2的图象之间的联系来研究．要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法．复习题A组1.填写表中的空格．2.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．（1） y ＝1－3x 2；（2） y ＝x 2－4x ＋5；（3） y ＝x 2－6x ；（4） y ＝－3x 2＋6x －1．3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y ＝x 2－2x －4；（2） y ＝1＋6x －x 2；（3） y ＝－x 2＋4x ；（4） y ＝41x 2－x ＋4．4. 已知函数y ＝2x 2－3x －2．（1）画出函数的图象；（2）观察图象，说出x 取哪些值时，函数的值为0． 5. 已知二次函数y ＝（x －2）2－1．（1）先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象；（2）观察图象确定：x 取什么值时，① y ＝0；② y ＞0；③ y ＜0． 6. 说出下列函数的图象是将抛物线y ＝3x 2经过怎样的平移得到的．（1）232-=x y ；（2）2)21(3-=x y ；（3）4)21(32+-=x y ；（4）y ＝3x 2－6x ．7. 求满足下列条件的对应的二次函数的关系式．（1）抛物线经过（2，0）、（0，－2）和（－2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标是（6，－4），且过点（4，－2）．B 组8. 填空：（1）抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________；（2）抛物线y ＝－2x 2＋5x －3与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________．9. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点（－1，0），求a 的值，并求这条抛物线的顶点坐标．10. 观察下面的表格．（1）求a 、b 、c 的值，并在表内的空格中填上正确的数；（2）设y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的顶点坐标与对称轴． 11. 若抛物线y ＝x 2－x －2经过点A （3，a ）和点B （b ，0），求点A 、点B ． 12. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）间有下述的函数关系式：sxx 2．现该车在限速140 km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ．请推测刹车时，汽车是否超速？C 组13. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ．求这个门洞的高度．（精确到0.1 m ）(第13题)（第14题）14. 如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m ．（1）建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2）若该运动员身高1.8 m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m 处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？15. 某市经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分．（1）试求出过A 、C 、D 三点的二次函数的关系式（2）利用（1）的结果，分别求出当x ＝2和x ＝5时该二次函数的函数值，并分别与点B 、点E 的纵坐标比较；（3）利用（1）中的二次函数的关系式预测该开发区第6年的财政收入可能达到的数值．（精确到0.1亿元）(第15题)。

26.1.2二次函数y=x2的图像1

1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;（0，0）当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;（0，0） |a|越大,抛物线的开口越小;
y
a>0
一般地，二次函数y=ax2 的图象是抛物线 _______, 对称轴是Y ____ 原点．轴，顶点是______ 当a>0时，抛物线的开口_____ 向上，顶点是抛物线的低点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 减小最___ 当增大 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物越小；线的开口_____ 向下，顶点是抛物线的当a<0时，抛物线的开口_____ 高点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 增大最___ 当减小 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物越大；线的开口_____
当a<0时，抛物线的开口向下顶点是抛物线的最____ 高点， ____, a越大，抛物线的开口越大． ____ │a│越大抛物线开口越小
1 2 y x 2
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
a<0
-3 -2 -1
1
y
1 2
0 -1 -2 -3 -4
3x
1 y x2 2
y 2 x 2
a>0 一般地，抛物线 y=ax2 的对称原点．当 y轴，顶点是______ 轴是____ a>0时，抛物线的开口向上 _____，
y 2 x 2y

26.1二次函数-概念ppt课件

（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）这个关系式叫做二最新次版整函理p数pt 的一般形式。
8
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
b c a—叫做二次项系数， —叫做一次项系数， —叫做常数项。
二次函数的特殊形式：
26.1 二次函数的定义
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1
复习回顾
变量: 在一个变化过程中可以取不同数
值的量叫变量.
常量: 在一个变化过程中始终保持不变
的量叫常量.
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y
都有唯一确定的值与其对应,那么就说y
是x的函数, x是自变量.
函数的表示方法: 解析法;列表法;图像法.
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数
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2
一次函 y=kx+b (k≠0)
数
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
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3
问题1：
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形
的棱长为x,表面积为y,则y与x的函数关系可以表
示为（ y=6x2① ）
最新版整理ppt
4
问题2：
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 写出y关于x的函数关系式.

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保靖县迁陵学校九年级下数学导学案
3
课题：26.1.2 二次函数2(0)yaxa的图象
目标：知道二次函数的图象是一条抛物线；会画二次函数2(0)yaxa的图象；掌握二次
函数2(0)yaxa的性质，并会灵活应用；
培养观察图形，分析问题和解决问题的能力；进行数形结合的数学思想方法的教育，并能
运用此数学思想方法解决某些问题；
通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。
重点：掌握二次函数2(0)yaxa的图象与性质，并会灵活应用。
难点：会用描点法画二次函数2(0)yaxa的图象与对性质的理解。
一、自主预习与展示
1、知识链接：
(1)
、画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
(2)
、一次函数图象的形状是；反比例函数图象的形状是。
(3)
、画二次函数2yx的图象。
列表：

x
… 3 2 1 0 1 2 3 …
2
yx
… …

在图(3)中描点，并连线
【思考】：图(1)和图(2)中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注
意什么？
答：

【归纳】：① 由图象可知二次函数2xy的图象是一条曲线，它的形状
类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这
条曲线叫做线；
②抛物线2xy是轴对称图形，对称轴是；
③2xy的图象开口；
④ 与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线2xy的顶点坐标
是；它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当0x时，
y
有最值等于0。
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图
象从左往右呈趋势；即0x时，y随x的增大而，0x

10
9
8
7
6
5

441122
3

34322110
x

3
4

10
9
8
7
6
5

图2

10
9
8
7
6
5

441122
3

34322110
x

y
10
9
8
7
6
5

441122
3

34322110
x

y
10
9
8
7
6
5

441122
3

34322110
x

(1)
(3)(2)
保靖县迁陵学校九年级下数学导学案

4
时，y随x的增大而。
【例1】：在图2中，画出函数221xy，2xy，22xy的图象。
解：列表：
x
… 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …

2
1
2
yx
… …

【归纳】：抛物线221xy，2xy，22xy的图象的形状都是；顶点都是；对称
轴都是；二次项系数a 0；开口都；顶点都是抛物线的最点（填“高”
或“低”）。

【例2】：请在图2中画出函数221xy，2xy，22xy的图象。
列表：
x
… 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …

2
2

xy
…

…

x
… 3 2 1 0 1 2 3 …

2
xy
… …

【归纳】：抛物线221xy，2xy，22xy的图象的形状都是；顶点都是；对
称轴都是；二次项系数 0；开口都；顶点都是抛物线的最点（填“高”或“低”）。
二、合作学习与展示
1
、抛物线2axy的性质
(1)
、当a＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，
即x 0时，y随x的增大而。
(2)
、在前面图2中，关于x轴对称的抛物线有对，它们分别是哪些？

答：。由此可知和抛物线2axy关于
x
轴对称的抛物线是。
(3)
、当0a时，a越大，抛物线的开口越；当a＜0时，a越小，抛物线的开口越；

因此，a越大，抛物线的开口越。
(4)
填写下表：

x
… 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 …

2
2yx
… …

x
… 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 …

2
2xy
… …
保靖县迁陵学校九年级下数学导学案

5
图象（草图）对称轴顶点开口方向有最高或最低点最值

0a
当x 时，y有
最值，
是。

0a
当x 时，y有
最值，
是。

落：1、函数23yx，23yx，213yx的图象的共同点是（）
A、都关于x轴对称，抛物线开口向上 B
、都关于y轴对称，抛物线开口向下
C
、都关于原点对称，抛物线的顶点都是最高点 D、都关于y轴对称，抛物线的顶点是原点
2
、若抛物线2(0)yaxa，经过点(3,5)，则它一定经过点（）
A、(3,5) B
、(3,5) C、(3,5) D、(5,3)

3
、关于抛物线218yx，下列说法正确的是（）

A、开口向下，对称轴为y轴，顶点是(0,0) B
、开口向下，对称轴为x轴，顶点是1(,0)8
C
、开口向上，对称轴为y轴，顶点是(0,0) D、开口向上，对称轴为x轴，顶点是1(,0)8
4
、下列抛物线开口最大的是（）
A、22yx B
、214yx C、215yx D、23yx

5
、函数237yx的图象顶点是，对称轴是，开口向，当x 时，有
最值是。
6
、若二次函数2yax的图象过点(1,2)，则a的值是。

：

1、函数2yx与2yx的图象（）
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于直线1x对称 D、关于直线1y对称
2
、对于二次函22yax的图象，下列例题是假命题的是（）
A、它是顶点在原点的一条抛物线 B
、当0a时，抛物线的开口向上
C
、此抛物线的对称轴为y轴 D、不论a取任何实数，抛物线不会在x轴上方
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6
3
、已知原点是抛物线2(1)ymx的最低点，则m取值范围是（）
A、1m B
、1m C、1m D、2m
4
、在同一坐标系中，函数112yx与212yx的图象为（）

5
、二次函数2mmymx，当m 时，它的开口方向向下。
6
、已知函数210(3)mmymx的图象是抛物线，且在y轴的左侧，y随x的增大而增大，求此函数的
解析式，并用描点法画出函数图象。

7
、P是抛物线214yx上第一象限内一点，A的坐标为(2,0)。
(1)令P点坐标是(,)xy
，求OPA的面积S；
(2)
求S与x的关系，S是x的什么函数？

：反思这节课，从课前准备到课堂实施再到课后作业效果和检测，我得到如下
启示：1、对教材的处理要灵活，要考虑到前后知识的联系。2、学生是变化的，要能及时准确的了解学生
情况。3、要不断探索和完善自己的教学方法和手段，向其他老师学习。4、不断提高学生学习兴趣，不断
提高课堂实效。5、加强个别辅导。指导学生改进学习方法，提高学习成绩。

0xy0xy0xy0
x
y
D
C
BA

26.1.2 二次函数y=ax2的图象 第2课时

26.1_二次函数的一般式(3

26.1二次函数教案[修改版]

人教版数学九年级上册2一元二次方程的解及其图像经典课件(34张)

26.1.4(1)二次函数y=ax^2+bx+c的图象

26.1 二次函数 华师大版数学九年级下册 课件

最新华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】

九年级数学《y=-ax2的图像及性质》课件

华师大版九年级数学电子书第26章二次函数

26.1.2二次函数y=x2的图像1

26.1二次函数-概念ppt课件

26.1.2 二次函数y=ax2的图象第2课时

26.1 二次函数华师大版数学九年级下册课件