二次函数y=ax2的图象与性质(王莉丹)
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二次函数y=ax2的图象和性质课件
...
函数图象画法
描点法 列表
y2 x
y x2
y1 x
描点
连线
y x2
1.列表： 2.描点：
3.连线：
画出函数y=2x2、
的图象：
…8 20 2
8…
…
2
1
2
0
1
2
2
…
x×x
a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同
只是开口 大小不同
顶点都是原点(0,0)
y 1 x2 2
y 2x2 y 2 x2 3
5、已知函数 y m 1 xm22m2 m 2 x
是二次函数，且开口向上。
求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化 规律
3、视察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是
（A ）
A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。
B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
y
D 对任意实数x，都有y＞0
o
x
4、已知y=（k+2）xk2+k-4
是二次函数，
且当x>0时，y随X增大而增大，则k= 2 ；
（3）在对称轴的左侧，抛物线从左到右降 落；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
... 4 2.25 1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -44
二次函数 y=ax2的图象及其性质ppt课件
x轴
______对称.
如果已知y=ax2 (a≠0)的图象，可通过
2的图象.
翻折
_________更方便地得到y=－ax
上
当a＞0时，抛物线开口向___；
当a＜0时，抛物线开口向___.
下
y
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=2x2
1 2 3 4 5
x
y=-2x2
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数 y=ax²的图象及其性质
学习目标
知识与技能 ：能够利用描点法画函数y=ax2的图象。
过程与方法 ：
①经历二次函数y=ax2图象的作法。
②探索二次函数y=ax2性质，获得利用图象研究函数性质的经验。
重点：会画函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2
0 时， y 随x 的增大而减小
当 x=0 时， y 最大值 =0
16
探究新知
例1 已知二次函数y=ax2 (a≠0)的图象经过点(－2，－3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
解：把点(－2，－3)的坐标代入y=ax2 ，
得－3=a(－2)2，
解得 a=－
.
所以这个二次函数的表达式是y=－
0.5x2的图象，它们的共同特点是( D )
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都关于原点对称，顶点都是原点
C．都关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
24
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
九年级数学二次函数y=ax2图像与性质ppt
（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5点) D的坐标为 ( 5,7)或 ( 5.,7)
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=o）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在增对大称轴的右侧，y随x的增大而 ， 减小 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
归纳二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
k>0
24
(1)一次函数的图象是一条_直___ 线
6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5点) D的坐标为 ( 5,7)或 ( 5.,7)
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=o）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在增对大称轴的右侧，y随x的增大而 ， 减小 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
归纳二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
k>0
24
(1)一次函数的图象是一条_直___ 线
二次函数y=ax2的图象与性质--教学设计(王莉丹)
二次函数y=ax2的图象与性质--教学设计（王莉丹）广西桂林市宝贤中学王莉丹内容和内容解析1.内容湘教版义务教育课程标准实验教科书九年级下册第1章1.2节二次函数的图象与性质第一课时——二次函数y=ax2的图象与性质。
2.内容解析本章是继一次函数和反比例函数之后学习的一类新的函数模型——二次函数。
二次函数在研究内容和研究方法上与前两类函数类似，都是先从实际问题中抽象出函数模型，得出函数定义，然后借助图象研究函数的性质，再应用函数性质解决实际问题。
由于二次函数与一次函数的表达式都是整式，与一次函数一脉相承，所以二次函数的图象与性质主要类比一次函数来学习，即先从最特殊的一类二次函数y=ax2开始，遵循从特殊到一般的研究方法，运用数形结合、分类讨论等数学思想，着重研究a>0的图象和性质，再类比探究a<0的图象和性质，体会a的作用。
与一次函数相比，二次函数图象出现了新的特征和性质：如形状、开口方向和大小、对称性、分段讨论函数增减性等，在教学中可让学生体会一次函数与二次函数的联系与区别。
目标和目标解析目标〔1〕会用描点法画出形如y=ax2 的二次函数图象；〔2〕经历独学、对学、群学等方式，通过实验观察、分类讨论、归纳类比、抽象概括等方法理解二次函数y=ax2的图像特征和性质，体悟探究二次函数的思想与方法；〔3〕体验研究二次函数y=ax2 的规律与魅力，增强学习数学的信心与兴趣。
目标解析达到目标〔1〕的标志是：能合理地选择自变量的值进行描点，知道二次函数的图象是抛物线，能根据图象指出抛物线的对称轴和和顶点坐标；达到目标〔2〕的标志是：通过观察函数图象，能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质：形状、位置、对称轴、增减性、最值等，能说出本节课研究二次函数y=ax2的函数图象和性质的基本方法和基本内容；达到目标〔3〕的标志是：学生主动探究，课堂气氛轻松愉快。
教学问题诊断分析学生已经历过一次函数和反比例函数的学习,对函数图象及性质的研究内容和研究方法有了一定的了解，但中间隔了一段时间，可能造成遗忘，需要唤醒他们的记忆。
二次函数y=ax2的图象和性质—【教学课件】-最新经典通用版
看图说话
y=x2
y=-x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
5. 还可以怎样列式？这个算式表示什么意思？
6. 通过解决这个问题，你想说点什么？
2. 同一幅图，为什么观察到的信息不一样呢？
1. 一共有多少盆花？
问题：
一、复习整理，清晰思路
1. 从图中你知道了哪些信息？
2. 要解决的问题是什么？
4. 完整地说一说这幅图的意思。
6. 谁会列式？
5. 你想用什么方法解决这个问题？
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
做一做P40
7
y=x2
y=-x2
x
y
0
y
x
0
?
它们之间有何关系？
2. 要解决的问题是什么？
3. 哪些是指原来的水饺？
4. 你想怎样解答？ 说一说理由。
3. 原来一共有多少个水饺？
8
＋
5
13
y=x2
y=-x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
5. 还可以怎样列式？这个算式表示什么意思？
6. 通过解决这个问题，你想说点什么？
2. 同一幅图，为什么观察到的信息不一样呢？
1. 一共有多少盆花？
问题：
一、复习整理，清晰思路
1. 从图中你知道了哪些信息？
2. 要解决的问题是什么？
4. 完整地说一说这幅图的意思。
6. 谁会列式？
5. 你想用什么方法解决这个问题？
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
做一做P40
7
y=x2
y=-x2
x
y
0
y
x
0
?
它们之间有何关系？
2. 要解决的问题是什么？
3. 哪些是指原来的水饺？
4. 你想怎样解答？ 说一说理由。
3. 原来一共有多少个水饺？
8
＋
5
13
二次函数课件y=ax2的图像和性质
( 3 , 6 )与 ( 3 , 6 )
3
3
( 3 , 6)
( 3 , 6)
y=-2x2
二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
2
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
y x
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为 4 2 ( 1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
2
（2）当y=-8时，x的值是多少？ （3）当x<0时，随着x值的增大，y值如何变 化？当x>0时，随着x值的增大，y值如 何变化？ （4）当x取何值时，y值最大？最大值是多 少？ 7、已知y=mx m m是x的二次函数。 （1）当m取何值时，该二次函数的图像开口 向上？ （2）在（1）的条件下,①当x取何值时，y>0? ②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1? ③当x取何值时，在y2>y1时，总有x2<x1?
3
3
( 3 , 6)
( 3 , 6)
y=-2x2
二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
2
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
y x
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为 4 2 ( 1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
2
（2）当y=-8时，x的值是多少？ （3）当x<0时，随着x值的增大，y值如何变 化？当x>0时，随着x值的增大，y值如 何变化？ （4）当x取何值时，y值最大？最大值是多 少？ 7、已知y=mx m m是x的二次函数。 （1）当m取何值时，该二次函数的图像开口 向上？ （2）在（1）的条件下,①当x取何值时，y>0? ②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1? ③当x取何值时，在y2>y1时，总有x2<x1?
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2 。（选填 y=3x2 或y=-3x2）
（1）对称轴是y轴
（2）顶点(0,0)
（3）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
（4）当x=0时，y有最小值为0
（5）开口向上
二次函数 y=ax2 的图象与性质
学以致用
2．若二次函数y=ax2(a<0)的图象上有两点
(2,y1),（3,y2），则y1与y2的大小关系
当x<0时， y 随 x增大而增大
当x>0时，y 随 x增大而减小
a<0
二次函数 y=ax2 的图象与性质
课后作业
1.独立完成课本第7，第10页练习
2.小组合作探究从解析式的角度说明二次函数
y ax2 的增减性。
二次函数 y=ax2 的图象与性质
则a、b、c、d的大小关系为 a >b >c >d .
二次函数 y=ax2 的图象与性质
生活感知
二次函数 y=ax2 的图象与性质
课堂小结
a>0
当x<0Leabharlann ， y 随 x增大而减小当x>0时，y随 x增大而增大
（0,0） 当 x=0 时，ymin=0
二次函数 y ax2 的图象与性质
（0,0） 当 x=0 时，ymax=0
是 y1>y2
。
变式：若二次函数y=ax2(a<0)的图象上有两点 (-2,y1),（3,y2）， 则y1-y2值是（ B）．
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
二次函数 y=ax2 的图象与性质
学以致用
3.如图所示的四个二次函数 图象分别对应是: ①y = ax2；②y = bx2； ③y = cx2；④y = dx2．
湘教版数学九年级下册 第1章 二次函数
1.2 二次函数y=ax2的图象与性质
桂林市宝贤中学 王莉丹
二次函数 y=ax2 的图象与性质
归纳小结
a的正负决定抛物 线的开口方向
a的绝对值决定抛 物线的开口大小
y=ax2
图象
开口 顶点 对称轴 增减性
最值
开口 最低点
当x<0时，y随x的 增大而减小；
当x=0时，
a>0
向上 （0,0） y轴 当x>0时，y随x的 ymin=0
增大而增大。
当x<0时，y随x的
a<0
开口 最高点 向下 （0,0）
y轴
增大而增大； 当x=0时，
当x>0时，y随x的 增大而减小。
ymax=0
二次函数 y=ax2 的图象与性质
学以致用
y=3x 1.下面描述的性质，最符合的函数是y3x2