信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier

信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier定义: 在 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 区间的两个函数φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t )\varphi_2(t) φ2(t), 若满足∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = 0 , (两函数的内积为0)\int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2∗(t)dt=0,(两函数的内积为0)则称φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2(t) 在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1, t_2) (t1,t2) 内正交•实函数正交∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) d t =0 , (两函数的内积为0) \int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t) \varphi_2 (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0,(两函数的内积为0)•正交函数集: 若 n n n 个函数φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) φ1(t),φ2(t),⋯,φn(t) 构成一个函数集,当这些函数在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 内满足∫ t i t j φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = { 0 , i ≠ j K j ≠ 0 , i = j\begin{aligned}\int_{t_i}^{t_j} \varphi_1(t)\varphi_2^* (t)d t ={\begin{cases} 0,\, & i\neq j \\K_j \neq 0 , \, & i=j \end{cases}}\end{aligned} ∫titj φ1(t)φ2∗(t)dt={0,Kj=0,i=ji=j则称此函数为函数集在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 上的正交函数集。

•若 K i = 1 K_i= 1 Ki=1, 称为标准正交函数集。

•完备正交函数集: 如果在正交函数集{ φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) } \{ \varphi_1(t),\varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) \} {φ1(t),φ2 (t),⋯,φn(t)} 之外，不存在任何函数φ ( t ) ( ≠ 0 ) \varphi(t) (\neq0) φ(t)(=0) 满足∫ t 1 t 2 φ ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 0 , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n )\int_{t_1}^{t_2} \varphi(t) \varphi_i^* (t)d t = 0, \, (i = 1,2,\cdots, n) ∫t1t2φ(t)φi∗(t)dt=0,(i=1,2,⋯,n)则称此函数集为完备正交函数集。

•信号的正交分解: 设由 n n n 个函数φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots, \varphi_n(t) φ1(t),φ2(t),⋯,φn(t) 在区间( t 1 , 2 ) (t_1,_2) (t1,2) 构成一个正交函数空间。

将任一函数 f ( t ) f(t) f(t) 用这 n n n 个正交函数的线性组合来近似, 可表示为 f ( t ) ≈ C 1 φ 1 ( t ) + C 2 φ2 ( t ) + ⋯ + C i φ i ( t ) + ⋯ + C n φ n ( t ) = ∑ j = 1 n C j φ j ( t ) f(t) \approx C_1\varphi_1(t) + C_2\varphi_2(t) + \cdots + C_i\varphi_i(t) + \cdots + C_n\varphi_n(t) = \displaystyle \sum^{n}_{j=1} C_j\varphi_j(t) f(t)≈C1φ1(t)+C2φ2(t)+⋯+Ciφi(t)+⋯+Cn φn(t)=j=1∑nCjφj(t)•使误差的均方误差ε 2 ‾ = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t2 [ f ( t ) − ∑ j = 1 n C j φ k ( t ) ] 2 d t\overline{\varepsilon^2} = \displaystyle\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}\big[f(t)-\sum^n_{j=1} C_j\varphi_k(t)\big]^2 dt ε2=t2−t11∫t1t2[f(t)−j=1∑nCjφk(t)]2dt 最小,要令∂ ε2 ‾∂ C i = 0\displaystyle\frac{\partial\overline{\varepsilon^2}}{\partial C_i} = 0 ∂Ci∂ε2=0 即ε 2 ‾ = 1t 2 − t 1 [ ∫ t 1 t 2 f 2 ( t ) d t − ∑ j = 1 n ∫ t 1 t 2 [ C j φ j ( t ) ] 2 d t ] ≥ 0\displaystyle\overline{\varepsilon^2} =\frac{1}{t_2-t_1}\Big[\int^{t_2}_{t_1} f^2(t)dt - \sum^n_{j=1}\int^{t_2}_{t_1}\big[C_j\varphi_j(t)\big]^2dt\Big]\geq0 ε2=t2−t11[∫t1t2f2(t)dt−j=1∑n∫t1t2[Cjφj(t)]2dt]≥0o可知在正交函数去近似 f ( t ) f(t) f(t) 时,所取的项数越多, 即 n n n 越大, 则均方误差越小。

当n → ∞ n\to\infty n→∞时 (完备正交函数集), 均方误差为零。

•广义傅里叶系数:•复变函数: C i = ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t )d t ∫ t 1 t 2 φ i ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 1 Ki ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t C_i =\displaystyle\frac{\int^{t_2}_{t_1}f(t)\varphi_i^*(t)dt}{\int^{t_2}_{t_1}\varphi_i(t)\varphi_i^*(t)dt} =\frac{1}{K_i}\int^{t_2}_{t_1}f(t)\varphi_i^*(t)dt Ci=∫t1t2φi(t)φi∗(t)dt∫t1t2f(t)φi∗(t)dt=Ki1∫t1t2f(t)φi∗(t)dt•帕什瓦尔 Parseval 方程: ∫ t 1 t 2 f 2 ( t ) d t = ∑ i = 1 ∞ ∫ t 1 t 2 [ C i φ j ( t ) ] 2 d t\int^{t_2}_{t_1} f^2(t)dt = \sum^\infty_{i=1}\int^{t_2}_{t_1}\big[C_i\varphi_j(t)\big]^2dt ∫t1t2f2(t)dt=i=1∑∞∫t1t2[Ciφj(t)]2dt•物理意义: 在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2), 信号 f ( t ) f(t) f(t) 所含由的能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量之和, 即能量守恒定理也称帕什瓦尔定理。

•数学本质: 矢量空间信号正交变换的范数不变性。

三角函数集 { 1 , cos ⁡ ( n Ω t ) , sin ⁡ ( n Ωt ) , n = 1 , 2 , ⋯ } \{ 1, \cos(n\Omega t),\sin(n\Omega t), n = 1,2,\cdots\}{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,⋯}三角形式的傅里叶级数: 设周期信号为 f ( t ) f(t) f(t), 其周期为 T T T, 角频率为Ω = 2 π / T \Omega = 2\pi/T Ω=2π/T, 当满足 Dirichlet 狄里赫利条件时, 可展开为 f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n Ω t ) + ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ ( n Ω t ) 合并n 次正余弦分量→ f ( t ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ( n Ω t + φ n ) { A n = a n 2 + b n 2 φ n = − arctan ⁡ b n a n { a n = A n cos ⁡ φ n b n = − A n sin ⁡ φ n\begin{aligned}f(t) = \displaystyle \frac{a_0}{2} +\sum^\infty_{n=1} a_n \cos(n\Omega t) +\sum^\infty_{n=1} b_n \sin(n\Omega t) \\ \text{合并 n 次正余弦分量} \to f(t) = \frac{A_0}{2} +\sum^\infty_{n=1} A_n \cos\big(n\Omega t +\varphi_n\big) \\ \begin{cases} A_n & = \sqrt{a^2_n + b^2_n} \\ \varphi_n & = - \arctan \frac{b_n}{a_n}\end{cases} \begin{cases} a_n & = A_n \cos \varphi_n \\ b_n & = - A_n \sin \varphi_n \end{cases}\end{aligned} f(t)=2a0+n=1∑∞ancos(nΩt)+n=1∑∞bnsin(nΩt)合并n 次正余弦分量→f(t)=2A0+n=1∑∞Ancos(nΩt+φn){Anφn=an2+bn2=−arctananbn{anbn=Ancosφn=−Ansinφn•系数 a n , b n a_n, b_n an,bn 称为傅里叶系数•直流分量系数: a 0 2 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) dt \displaystyle\frac{a_0}{2} =\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt 2a0=T1∫−2T2Tf(t)dt•余弦分量系数: a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) cos⁡ ( n Ω t ) d t \displaystyle a_n =\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\Omega t)dt an=T2∫−2T2Tf(t)cos(nΩt)dt•正弦分量系数: b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) sin⁡ ( n Ω t ) d t \displaystyle b_n =\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\Omega t)dt bn=T2∫−2T2Tf(t)sin(nΩt)dt•直流分量 A 0 / 2 A_0/2 A0/2 , 基波 (一次谐波) A 1cos ⁡ ( Ω t + φ 1 ) A_1 \cos(\Omega t +\varphi_1) A1cos(Ωt+φ1) , n次谐波 A n cos ⁡( n Ω t + φ n ) A_n \cos(n \Omega t + \varphi_n) Ancos(nΩt+φn)谐波特性:1.f ( t ) f(t) f(t) 为偶函数 ( f ( t ) = f ( −t ) ) \big(f(t)=f(-t)\big) (f(t)=f(−t)) 时， b n= 0 b_n = 0 bn=0 展开为余弦级数2.f ( t ) f(t) f(t) 为奇函数 ( f ( t ) = − f ( −t ) ) \big(f(t)=-f(-t)\big) (f(t)=−f(−t)) 时，a n = 0 a_n = 0 an=0 展开为正弦级数3.f ( t ) f(t) f(t) 为奇谐函数 ( f ( t ) = − f ( t± T / 2 ) ) \big(f(t)=-f(t\pm T/2)\big)(f(t)=−f(t±T/2)) 时， a i = b i = 0 , ( i =0 , 2 , 4 , ⋯ ) a_i= b_i = 0, \,(i=0,2,4,\cdots) ai=bi=0,(i=0,2,4,⋯) 展开级数只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。