高等数学疑难问题解析
高二数学疑难问题的几点分析(PPT)5-1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
石头：界～｜墓～｜里程～｜纪念～｜立了一块～。 【碑额】’名碑的上端。也叫碑首或碑头。 【碑记】名刻在碑上的记事文章。 【碑碣】〈书〉名碑： 墓前立有～。 【碑刻】名刻在碑上的文字或图画：拓印～。 【碑林】名石碑林立的地方，如陕西西安碑林。 【碑铭】名碑文。 【碑首】名碑额。 【碑拓 】名碑刻的拓本。 【碑帖】名；教育加盟 教育机构加盟 教育培训机构加盟 儿童机器人教育加盟 全脑教育加盟；石刻、木刻法书的拓本 或印本，多做习字时临摹的范本。 【碑头】名碑额。 【碑文】名刻在碑上的文字；准备刻在碑上的或从碑上抄录、拓印的文字。 【碑阴】ī名碑的背面。 【碑志】名碑记。 【碑座】（～儿）名碑下边的底座。 【鹎】（鵯）名鸟，羽毛大部为黑褐色，腿短而细。吃果实和昆虫。种类很多，常见的有白头鹎等
一个人读大学，智商低于110就很成问题，而这 种智商人口中只有25%才能达到。如果你要在大 学表现出色，就得至少要115的智商，也就是人 口中15%的顶尖水平。如今美国的现实是，45%以 上的高中毕业生进四年制大学，考虑到高中辍学 的因素，大约40%的适龄青年在大学读书。这样 ，大学生智商的准入水平就降到了104。
4 〖回归线〗。 【北货】名北方所产的食品，如
一、“直观感知、操作确认、思 辨论证、度量计算”考
• 概念教学
减少“课程→教材→课堂→学生”之间的落差
“直线与平面垂直的判定”
念旧情节
“三垂线定理及其逆定理”
三视图
一一对应
值得注意的一个问题
距离，《数学2》中一概没有给出定义
美国哈佛大学已故心理学家RichardJ.Herrnstein 美国企业研究所的著名学者Charles Murray 1994年
高等数学易错问题总结
关于大学数学遇到的一些疑难问题解析1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。
对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。
2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。
且对于方差在X-Y 小于0的情况下也有类似结论。
对于Z=max(X,Y) 求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。
对Z=min(X,Y)同理可推。
避免了先求F Z(z)= F x(z)* F Y(z)和F Z(z)=1-(1- F x(z))* (1- F Y(z)),再对z求导的麻烦。
3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。
答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x) 在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x) 在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。
数学疑难杂症破解高中数学题目全解析
数学疑难杂症破解高中数学题目全解析高中数学作为一门理科基础课，对于学生来说常常是极具挑战性的。
数学题目的纷繁复杂，常常令学生难以抓住解题的要领。
在本文中，我们将全面解析一些高中数学中的疑难杂症，帮助学生们更好地理解并解决这些问题。
一、二次函数相关题目1. 如何判断二次函数的开口方向？解析：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 来说，通过观察系数 a 的正负性可以判断开口方向。
若 a > 0，则函数的开口方向向上；若 a < 0，则函数的开口方向向下。
2. 如何求二次函数的顶点坐标？解析：二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
将 x 带入函数中得到的 y 值即为顶点的纵坐标。
3. 如何求二次函数与 x 轴的交点？解析：当二次函数与 x 轴相交时，即为零点。
可以通过解一元二次方程 f(x) = 0 来求得交点的 x 坐标。
若无实数解，则说明二次函数与 x轴无交点。
二、几何问题相关题目4. 如何判断三角形是否为等腰三角形？解析：由于等腰三角形的两个边相等，所以只需要判断三角形的两边长度是否相等即可。
若两边相等，则可以判断该三角形为等腰三角形。
5. 如何判断一个四边形是否为矩形？解析：矩形的特点是相对边长度相等且相对角度相等。
因此，只需要判断四边形的对边长度是否相等，对角线是否相等即可判断是否为矩形。
6. 如何判断一个三角形是否为直角三角形？解析：根据勾股定理，三边边长关系满足 a^2 + b^2 = c^2 时，可以判断该三角形为直角三角形。
其中，a，b，c 为三角形的三边边长。
三、函数与导数相关题目7. 如何判断函数的单调性？解析：对于连续函数 f(x)，通过求导可以得到导函数 f'(x)。
若导函数在某区间上恒大于 0，即 f'(x) > 0，则函数在该区间上单调递增；若导函数在某区间上恒小于0，即f'(x) < 0，则函数在该区间上单调递减。
高三高数学习过程中常见问题解析
高三高数学习过程中常见问题解析在高三的数学学习中，许多学生面临一系列挑战，这些问题可能在无形中阻碍了他们的学习进程。
作为数学学科的忠实伙伴，我将带你深入探讨这些常见问题，并提供有效的解决策略。
首先，数学知识的抽象性常常让学生感到困惑。
尤其是在高数阶段，函数、极限、导数等概念变得更加复杂。
面对这些抽象的数学概念，学生可能会感到无从下手。
解决这一问题的关键在于将抽象概念具象化。
可以通过实际的应用实例，将这些数学理论与现实生活中的问题联系起来。
比如，通过研究物体的运动轨迹来理解导数的实际意义，这样能够帮助学生更好地掌握和应用这些抽象的概念。
其次，许多学生在解题时往往缺乏系统的思路和方法，导致效率低下。
这种情况往往源于对数学问题解题步骤的不清晰。
建议学生建立起解题的标准流程，从明确问题、列出已知条件、设立目标、选择合适的方法，再到逐步解题、检验结果。
这样一个系统化的解题思路能够帮助学生更加条理清晰地进行数学题目的解决。
此外，时间管理也是高三数学学习中的一个重要问题。
高三阶段，学生需要在繁重的课程和复习任务中找到平衡点。
制定合理的学习计划和时间表是解决这个问题的关键。
可以将大块的学习任务拆分成小块，设定每天的学习目标，并且定期进行复习，避免临时抱佛脚。
这种方法不仅能提高学习效率，还能降低考试前的焦虑感。
最后，情绪管理在高三学习中同样重要。
面对难题或考试压力时，学生往往会感到焦虑和挫败。
有效的情绪管理方法包括保持积极的心态，合理安排休息时间，以及寻求老师或同学的帮助。
适当的放松和休息能够有效地缓解压力，让学生在数学学习中保持良好的状态。
在高三数学学习过程中，克服这些常见问题需要学生具备积极的学习态度和科学的方法。
通过具体的应用实例，系统的解题思路，合理的时间管理和有效的情绪控制，学生能够在数学学习中取得更好的成绩，为最终的考试做好充分准备。
高等数学疑难分析与解题方法
高等数学疑难分析与解题方法
高等数学疑难分析与解题方法是高等数学研究的重要组成部分，这个部分的重要性不言而喻。
要想在高等数学中取得好成绩，就必须掌握正确的分析与解题方法。
首先，在高等数学中，要想解决疑难，就必须要先分析问题，抓住问题的关键，找出问题的本质。
这样才能有效地解决问题，而不是被问题影响而让自己卡住。
其次，在分析问题后，就要想出解题方法，综合运用所学的数学理论，结合问题的特点，给出合理的解法。
有时候，也可以结合实际情况，利用解一般问题的方法，解决特殊问题。
此外，在解题过程中，还要多加练，多加思考，积累解题经验，丰富自己的数学思维，这对于掌握高等数学的疑难分析与解题方法非常重要。
总的来说，掌握高等数学疑难分析与解题方法，不仅需要熟练掌握数学理论，还要多加思考，多加练，多总结经验，以便能够解决疑难问题，取得更好的成绩。
高二数学疑难问题的几点分析(PPT)5-4
一、“直观感知、操作确认、思 辨论证、度量计算”考
• 概念教学
减少“课程→教材→课堂→学生”之间的落差
“直线与平面垂直的判定”念旧情节“三垂线定理及其逆定理”
三视图
一一对应
值得注意的一个问题
距离，《数学2》中一概没有给出定义
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
喻极其凶恶的人。 【苍茫】形空阔辽远；没有边际：～大地｜暮色～｜云水～。 【苍莽】〈书〉形苍茫。 【苍穹】〈书〉名天空。也说穹苍。 【苍润】形 苍劲润泽（多用于书画作品等）：作品墨法～。 【苍山】名覆盖着苍翠茂盛的树木的山岭。 【苍生】〈书〉名指老百姓。 【苍松】名苍翠的松树：～翠柏 。 【苍天】名天（古；邹城开锁 邹城开锁公司 邹城家和开锁 / 邹城开锁 邹城开锁公司 邹城家和开锁 ；代人常以苍天为主 宰人生的神）。也叫上苍。 【苍鹰】ī名鸟，身体暗褐色，上嘴弯曲，爪尖锐，视力强，性凶猛。捕食鼠、小鸟、野兔等。 【苍蝇】?名昆虫，种类很多，通 常指家蝇，头部有一对复眼。幼虫叫蛆。成虫能传染霍乱、伤寒等多种疾病。 【苍郁】〈书〉形（草木）苍翠茂盛。 【苍术】名多年生草本植物，叶子厚
一个人读大学，智商低于110就很成问题，而这 种智商人口中只有25%才能达到。如果你要在大 学表现出色，就得至少要115的智商，也就是人 口中15%的顶尖水平。如今美国的现实是，45%以 上的高中毕业生进四年制大学，考虑到高中辍学 的因素，大约40%的适龄青年在大学读书。这样 ，大学生智商的准入水平就降到了104。
1 ，没有柄，花白色或淡红色。根状茎可入。 【沧】（滄）（水）青绿色：～海。 【沧海】名大海（因水深而呈青绿色）。 【沧海桑田】大海变成农田，农
济南大学高等数学C(一)6多元函数微分学-疑难解答
第八章 多元函数微分学习题8－13*. :证明下列极限不存在332)0,0(),(lim)1(y x yx y x -→ 证：时，有趋向于为任意常数，沿直线当)0,0()1(),(≠=k k kx y y x,1)1(im ),(lim 3333kxy 0x kx y 0x k kx k kx y x f -=-==→=→ .lim 332)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率y x y x k y x -→yx xyy x +→)0,0(),(lim)2( 证：时，有趋向于为任意非零实常数沿曲线当)0,0()(-),(2k x kx y y x =,1k im ),(lim 223x-kx y 0x x-kx y 0x 22k x x kx y x f -=-==→=→ .lim)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率yx xyk y x +→4. :求下列极限 11xy lim)1()3,1(),(-+→xy y x解：；原式31-13131=+⨯⨯= xyxy y x 42lim)2()0,0(),(+-→解：；）（原式41-42lim)0,0(),(=++-=→xy xy xyy x )1sin 1sin (lim )3()0,0(),(xy y x y x +→解：量仍为无穷小量）；（利用无穷小量乘有界原式0= 2233)0,0(),(*lim)4(y x y x y x ++→ 解：，则，令θρθρsin cos ==y x.0)s cos (lim s cos lim 330233330=+=+=→→θρθρρθρθρρρin in 原式习题8－22. .5,4,2,4)(4122轴的倾角）处切线对于在点（求曲线x y y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=+= 解：轴的）处的切线对于即表示在点（）处，，在点（x z x z x x 5,4,2,15,4,221==.4,1tan .1πθθ轴的倾角为故所求切线对于，则有设相应的倾角为斜率为x =4. ，证明：设222z y x r ++=.2)2(;11222222222r zr y r x r z r y r x r =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂）（）（））（（证：，，，）（rzz r r y y r r x z y x x x r =∂∂=∂∂=++=∂∂222221 ;1222=∂∂+∂∂+∂∂）（）（）故（z r y r x r.11)1(1)2(22222r x r r r x rx r x r ⋅-=⋅-⋅+=∂∂,11,1122222222r z r r z r r y r r y r ⋅-=∂∂⋅-=∂∂ .2222222r zr y r x r =∂∂+∂∂+∂∂故7. .0zz 2)2(cos 22222=∂∂∂+∂∂-=t x tt x z ，证明：设 证：),2sin(2)2sin()2cos(4t x tx t x x z --=-⋅--=∂∂ ),2cos(22t x tx z-=∂∂∂ ),2sin()2())2sin(()2cos(22t x tt x t x t z -=-⋅--⋅-⋅=∂∂ ).2cos()1()2cos(22t x t x tz--=-⋅-=∂∂ .0z z 2222=∂∂∂+∂∂t x t故8. 的竞争对手，这两家公司公司是机床行业的两个公司和Y X 别为主要产品的供给函数分.41600;51000Y Y X X Q P Q P -=-=.250100个单位个单位和是公司现在的销售量分别公司和Y X 多少？公司当前的价格弹性是公司和）（Y X 1下降的销售量个单位，同时导致增加到降价后，使）假定（X Y Q X Q Y 3002 性是多少？公司产品的交叉价格弹个单位，试问到X 75 证：,100,5001==X X Q P X 公司）（ ,51||XXX X X X X Q P Q P dP dQ =⨯=η .110050051=⨯公司当前的价格弹性为故X,250,600==Y Y Q P Y 公司,51||Y YY Y YY Y Q P Q P dP dQ =⨯=η.6.025060041=⨯公司当前的价格弹性为故Y，时时，）（625,75;4003002====X X Y Y P Q P Q .7.0600400600-40010075100-75=++性为公司产品的交叉价格弹X习题8－41. .求下列函数的全导数.,4,3),arctan()2(3dtdzt y t x y x z 求而设==-= 解：dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= 22212)(113)(11t y x y x ⋅-+-+⋅-+=.)43(1123232t t t -+-= 2. ：具有一阶连续偏导数）数（其中求下列函数的一阶偏导f );,()4(zyy x f u =解：.,1,1222121f zy z u f z f y x y u f y x u '-=∂∂'+'-=∂∂'=∂∂ ).,,()5(xyz xy x f u =解：.,,332321f xy zu f xz f x y u f yz f y f x u '=∂∂'+'=∂∂'+'+'=∂∂ 3. .11,)(,)(222y zy z y x z x u f y x f y z =∂∂⋅+∂∂⋅-=验证为可导函数其中设解：,))(()(22)())((2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅-'⋅--=∂∂ ,))(()(2)(1)2()())(()(1222222222222222y x f y x f y y x f y y x f y x f y y x f y z --'+-=-⋅-'⋅---=∂∂代入左式，化简得2222222222222))(()(2)(1))(()(2y x f y x f y y x f y x f y x f xy --'+-+--'-=左式.)(1222右式==-=yzy x yf 5. 数：求下列函数的二阶偏导).ln()2(22y x y z ++=解：,)(22122222222y x y x y xy x x y x y x z +++=+⋅++=∂∂,)1)221(1222222y x yx yy x y y z +=++⋅++=∂∂,)()()2()(1322222222222222y x y x y y x y x y x y x y x z +++++-+++=∂∂,)(3222y x x y x z +-=∂∂∂ .)(32222y x y y z +-=∂∂习题8－53. .,,0)tan()cos()sin(yzx z yz xz xy ∂∂∂∂=++求设 解：.,,的函数为为独立变量，由题意知，y x z y x求导，得等式两边对x,0)(sec )()sin()cos(2=∂∂⋅⋅+∂∂⋅+⋅-xz y yz x z x z xz xy y 整理得;)(sec )sin()sin()cos(2yz y xz x xz z xy y x z --=∂∂ 求导，整理得同理，等式两边对y .)(sec )sin()(sec )cos(22yz y xy x yz z xy x y z -+=∂∂ 5. 所确定的）（都是由方程设0,,),(),,(),,(====z y x F y x z z z x y y z y x x.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x 证明有连续偏导数的函数，解：的函数，则方程为为独立变量，，视）（方程中z y x z y z y x F ,,0,,= .-,0xy y x F F y xF y x F y =∂∂=+∂∂⋅从而求导得两边对.-,-zx y z F F x z F F z y=∂∂=∂∂同理可求.1)(-)(---=⋅⋅=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x 故7. .2yx zxyz e z∂∂∂=，求设 解：求导，得等式两边对x ;xye yzx z x z xy yz x z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（1） 求导，得等式两边对y;xye xz y z y z xy xz y z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（2） 求导得式对y )1()];())([()(122x yz e yz xy e y z y z xy e y x z z z z -∂∂⋅--∂∂+-=∂∂∂ 得代入)2(.12-322）（-=∂∂∂z y x y x z习题8－62. .)2()(22的极值求函数y y x ex,y f x++=解：).1(2)1422(222+=+++=y e f y y x e f x y x x ，.1-2101014222），，求得驻点（解方程组⎩⎨⎧=+=+++y y y x 再求出二阶偏导.2)44(2)4844(2222x yy x xy x xx e f y e f y y x e f =+=+++=，，,004.2,0,21-2122>>--===A e B AC e C B e A ，因）处，，在驻点（ .2-1-21),(e y x f ）处取得极小值，在点（所以函数3. .442222上的最大值和最小值在闭区域求函数≤+-=y x y x z 解：0,2,2.4422令其等于时，求出所有的驻点当y z x z y x y x -==<+.0,0）得驻点（.4422的点求出所有可能取得最值时，由拉格朗日乘数法当=+y x ),44(),,(2222-++-=y x y x y x L λλ设拉格朗日函数⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-==+=0440*******y x L y y L x x L y x λλλ令 .0,2;1,0=±=±==y x y x 解得.41-，最大值为值为的点的函数值，得最小比较所有可能取得最值4. ，和售价分别为同时在两个市场销售，某厂家生产的一种产品 21P P ;5.0-10 ,2.0-24 221121P Q P Q Q Q ==，需求函数分别为和销售量分别为 市场的售价，问厂家如何确定两个总成本函数为 )(403421Q Q C ++= 大？最大利润为多能使得获得的总利润最 解：，则设利润函数为L，13945.02.030322221212211---+=-+=P P P P C Q P Q P L ，，，联立解得，令其为，又30800-304.0-32212121====P P P L P L P P .此为唯一驻点 .336308021时取得为，定存在，故又由题意知最大利润一==P P .最大利润7. .角形求有最大周长的直角三的一切直角三角形中，从斜边长为l 解：,,,222l y x C l y x y x ++==+，周长则设另两边长分别为.222下的极值问题在约束条件题目即为求l y x l y x C =+++=设拉格朗日函数),(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=,0,021,021222l y x F y F x F y x λλλ令周长一定存在，，为唯一驻点，且最大解方程组得l y x 22== .22时有最大周长故当l y x == 7. 品的广告，根据统计资纸两种方式做销售某商某公司可通过电台及报 （万元）用（万元）及报纸广告费用（万元）与电台广告费料，销售收入21x x R验公式：之间的关系有如下的经 222121211028321415x x x x x x R ---++= ；况下，求最优广告策略）在广告费用不限的情（1 .5.12告策略万元，求相应的最优广）若提供的广告费用为（解：）利润函数（1 22212121211028311315)(x x x x x x x x R L ---++=+-=.25.175.003102-8-0138-4-21212121（万元）（万元），解得，，令==⎩⎨⎧=+==+=x x x x L x x L x x.2084222212212-=∂∂=-=∂∂∂=-=∂∂=x LC x x L B x L A ，，又 .25.1,75.000162）为极大值点，故点（，<>=-A B AC时的最优广告策略为：，它为最大值点，即此由问题的实际意义可知 .25.175.0万元作报纸广告万元作电台广告，用用 做拉格朗日函数)2(),5.1(),(),,(212121-++=x x x x L x x F λλ),5.1(10283113152122212121-++---++=x x x x x x x x λ,05.10208310481321211221⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=x x F x x F x x F x x λλλ令.5.15.1,021，可使利润最大万元全部用于报纸广告，即广告费用解得==x x 10. .022之间的最短距离和直线求抛物线=--=y x x y解：的距离的求抛物线上的点到直线由题意，问题可转化为02=--y x .最小值的距离为）到直线任意点（02,=--y x y x.2|2|)1(1|2|2--=-+--=y x y x d.|2|2下的最值在约束条件先求函数x y y x =--设拉格朗日函数，)()2()(|2|22x y y x x y y x L -+---=-+--=λλ ，下，（注：在约束条件))2(|2|2---=--=y x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==--=,0,01,0212x y L L x L y x λλλ令最短距离，为唯一驻点，故所求，解方程组得4121==y x.8272|24121|=--=d 11.的有最大体积试求内接于椭球面)0,0,0(1222222>>>=++c b a cz b y a x.的长方体解：），则按题意，我们，设其一个顶点为（此长方体的中心为原点z y x ,, ).0,0,0(18222222>>>=++=z y x cz b y a x xyz V 下的极值在约束条件应考虑函数设拉格朗日函数),1(222222-++++=cz b y a x xyz F λ,01020222222222⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==⋅+==⋅+=c z b y a x F byxz F a xyz F yx λλλ令体的长、宽、高分别为故具有最大体积的长方解得,3,3,3c z b y a x ===.33832,32,32abc V c z b y a x ====，且最大体积12. 这椭圆截成一椭圆，求原点到被平面求抛物面122=+++=z y x y x z.的最长与最短距离解：作拉格朗日函数)1()(22222-+++--+++=z y x y x z z y x L μλ ,022=+-=μλx x L x 令 (1),022=+-=μλy y L y (2) ,02=++=μλz L z (3).01,022=-++==--=z y x L y x z L μλ，得由或，故有）（）得（（）由（01.10)-12-1=====-μλλλy x y x ，得和代入将，不合题意，故舍去22221.21-x z z y x y x z y x z ==+++===，得到两，，得得；消去32231122122 =±-===+=+z y x x x z z x ），于是，，（）和，，（个点3223-123-13-223123121+--+-+-M M .35-9359，最短距离为求得最长距离为+总习题八1. 填入下列三者中选择一个正确的充分必要和必要、充分在""""""空格内：.),(),(),(.),(),(),()1(件在该点可微分的必要条连续是在点条件充分在该点连续的可微分是在点y x f y x y x f y x f y x y x f.),(),(),()2(条件必要在该点可微分的存在是及的偏导数在点y x f y zx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(条件充分存在的的及偏导数可微分是函数在该点的在点yzx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(),()3(条件充分在该点可微分的存在且连续是在点及的偏导数y x f y x y zx z y x f z ∂∂∂∂=.),()4(22条件充分内相等的混合偏导数在内连续是这两个二阶在区域及的两个二阶混合偏导数D D x y z y x z y x f z ∂∂∂∂∂∂=4. ).,(),(1),(),(222x x f x x x f x x f y x f y x ，求，有一阶连续偏导数，且设== 解：，求导得，，等式两端对由0211),(22=⋅+⋅=x f f x x x f x x .21-),(21-2-2-22=====x x f x x x f f x f y x x x ，即代入将8. ）处连续且在点（证明设0,0),(,0,00,)(),(2222232222y x f y x y x y x y x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=.分偏导数存在，但不可微 解：）处连续，在（先证0,0),(y x f232222)0,0(),()0,0(),()(lim),(limy x y x y x f y x y x +=→→)sin ,cos (sin cos lim 32240θρθρρθθρρ===→y x ).0,0(0sin cos lim 220f ===→θθρρ.0,0),(）处连续在（故y x f）处偏导数存在，在（再证0,0),(y x f，）（），（），（000,00lim 00=--=→x f x f f x x.000,00lim 00=--=→y f y f f y y ）（），（），（）处不可微，在（最后证0,0),(y x f 22)0,0(),()0,0()0,0()0,0(),(limyx yf x f f y x f y x y x +---→22222)0,0(),()(lim y x y x y x +=→ )sin ,cos (sin cos lim 42240θρθρρθθρρ===→y x .sin cos lim 220θθρ→=.0,0),(）处不可微在（显然，极限不存在，故y x f12. .2),(222220-2y fx y y x f x f y x dt e y x f xyt ∂∂+∂∂∂-∂∂=⎰，求设解：，，x e yfy e x f y x y x ⋅=∂∂⋅=∂∂2222-- ，2222-22-22y x y x e y x e yx f-=∂∂∂ ，2222-32-222-)2-(y x y x e xy xy e y x f =⋅⋅=∂∂，22-3222-y x ye x yf =∂∂ .2-222-22222y x e yf x y y x f x f y x =∂∂+∂∂∂-∂∂代入所求式子得 13. .124522的面积试求椭圆=++y xy x解：原点的距离的最大值与在原点，故先求椭圆至由题意知，椭圆的中心 设乘数法最小值，利用拉格朗日.），（）（1245,,2222-++++=y xy x y x y x F λλ，令⎪⎩⎪⎨⎧=-++==++==++=012450)44(20)410(222y xy x F y x y F y x x F y x λλλ ，）（）（）（即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3124520)22(10)25(522y xy x y x y y x x λλ ）得，代入（）得（）（232-1xxy -=λ ，））（（02223222=-+=--y x y x y xy x .22x y y x -==，因而,30430112820)3(222222===++=x y y y y y x ，因而，解之得得代入将 .61301304,2221=+=+==y x y x f d ）（于是 ,54511885)3(222222===+--=y x x x x x y ，因而，解之得得代入将.15154,2222=+=+==y x y x f d ）（于是 .66611611611ππ=⋅⋅，故椭圆的面积为和短半轴的长分别为，即椭圆的长半轴与，最短距离为距离为因而椭圆至原点的最长15.底平所围圆锥体内所作出的和平面求在圆锥面33222=+=z y x z .面的最大长方体体积值面平行于xOy解：，且长方体的一，高为底面半径为由题设知直圆锥面的上32==H R 上，，四个顶点在直圆锥面和重合，两个边长为个面域直锥面的上底面y x 22面，则体底面的对角线作一截，过直圆锥的高和长方高为Z,,,,22y x CD EC R CB AC Z DG EF H DC +=======.)(22y x H R Z H +=-在约束条件问题转化为求函数xyz V 4=.0,0,0)(22）下的极值问题（>>>+=-z y x y x HR Z H设拉格朗日函数，])([22R Z H y x H xyz F --++=λ，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+==+==++==++=)4(0)()3(0)2(0)1(0222222R Z H y x H F R xy F y x Hy xz Fy y x Hx yz F z x λλλλ ，）可得又由（）得，代入（）得）、（由（RH z R y x y x λλλ21.321--=-===.313292-4,,H z R y x R z y x ====，，从而有）得代入（将λ时得到最大体积值，高分别为故当长方体的长、宽、322322.932132232244=⨯⨯⨯==xyz V。
数学类高等数学难点题型解析
数学类高等数学难点题型解析高等数学是大部分理工科学生所需要学习的一门基础课程，其中包含了许多难点题型。
本文将对高等数学中的一些难点题型进行解析，帮助读者更好地理解和应对这些题目。
1. 极限和连续性在高等数学中，极限和连续性是非常重要的概念。
对于极限的题目，一般会涉及到数列的极限、函数的极限以及无穷小量等内容。
解题的关键在于准确理解极限的定义，熟练掌握极限的计算方法以及运用极限的性质解题。
连续性的题目则需要理解连续函数的定义，判断函数是否连续以及求解间断点等。
2. 导数与微分导数与微分也是高等数学中的难点之一。
对于导数的题目，常见的考察点包括导数的定义、基本导数公式、高阶导数、隐函数求导和参数方程求导等。
在解题过程中，需要注意运用导数的性质和求导法则，灵活运用链式法则和反函数求导等方法。
微分方面，主要考察的是微分的定义和应用，常见的题型包括微分近似计算、微分中值定理等。
3. 积分与积分应用积分是高等数学中的重要内容，也是一些学生普遍感到困惑的地方。
常见的积分题型包括定积分、不定积分、变限积分和曲线下面积等。
对于积分的题目，关键在于熟练掌握积分的性质和基本积分公式，正确运用换元积分法、分部积分法和定积分的性质等方法。
此外，还需要学会将题目中的实际问题转化为积分问题求解，如求解曲线长度、曲线旋转体体积等。
4. 无穷级数与傅里叶级数无穷级数和傅里叶级数是高等数学中的高级内容，也是较为困难的题型。
无穷级数的题目一般涉及到级数的收敛性、求和、部分和与全和的关系等。
在解答无穷级数题目时，可以运用级数审敛法、级数化和为积分等方法。
傅里叶级数的题目则需要熟悉傅里叶级数的定义和性质，能够对函数进行傅里叶展开，并进行级数运算。
总结起来，高等数学中的难点题型主要包括极限和连续性、导数与微分、积分与积分应用以及无穷级数与傅里叶级数。
针对这些难点，我们需要建立扎实的基础知识，掌握题目中涉及的概念和性质，并灵活运用解题技巧。
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高等数学疑难问题解析
高等数学是一门极具挑战性的学科，学习者们经常会遇到一些令自己崩溃的疑难问题。
解决高等数学的疑难问题，不仅仅要理解知识，更要培养思考能力和分析推理能力，运用数学思维来解决问题。
以下是一些常见的高等数学疑难问题及其解析，供参考：
一、集合论问题
集合是数学中一个基本概念，几乎涉及到所有的数学学科。
但是，集合论也是一类比较晦涩难懂的问题，很多学生在解决集合论问题时都会感到困惑。
比如，如何将复杂的集合表示成简单的数学表达式；如何解释集合中的元素等，都是学习者们经常遇到的问题。
解决这类问题的关键在于掌握集合的术语，理解它们的定义和特性，并且运用数学表达式和解释对问题进行分析推理。
二、微积分问题
微积分是高等数学的重要组成部分，其解决问题的方法也是十分复杂的。
学习微积分时常见的疑难问题有：如何求解一元函数的函数分析；如何计算向量的极坐标、极限和极限；如何求解方程组的解析解等。
解决这类问题，学习者需要正确理解微积分概念和定义，并熟练掌握各种公式和算法，然后按规则运用这些知识来解决具体的问题。
三、线性代数问题
线性代数能够帮助我们解决各种类型的实际数学问题，它是高等数学中的一个重要分支。
但是，线性代数有很多难以理解的概念，学习者容易陷入困境。
比如：如何用矩阵表示线性方程组；如何求解矩
阵运算问题；如何分析多元函数的极值等。
解决这些问题，学习者要首先掌握线性代数的特性和术语，然后熟练掌握线性代数运算的方法，最后运用掌握的知识解决具体的问题。
综上所述，解决高等数学的疑难问题，需要学习者在理解知识的基础上，运用数学思维和解决问题的方法，不断加强自己的推理能力，理解知识结构，最终把复杂的问题解决出来。