几何之立体图形-小学数学
《认识立体图形》教学设计--2024-2025学年部编版数学一年级上册
认识立体图形 【教学内容】 人教版一年级上册P67-68,第三单元“认识立体图形”。 【教学目标】 1.通过观察、操作，使学生初步认识长方体、正方体、圆柱和球,知道他们的名称,初步感知其特征，会辨认这几种相关的物体和图形。 2.经历从实物抽象到图形的过程，发展初步的观察能力和动手能力，建立初步的空间观念。 3.经历对物体的分类、观察、触摸和比较的过程，从而形成对长方体、正方体、圆柱、球的感性认识，知道这些几何体的名称并能识别，初步建立空间观念。 【重点难点】 教学重点：认识长方体、正方体、圆柱、球，知道它们的名称。 教学难点：能准确判断不同的几何图形。 【教学过程】 一、情景导入 同学们，你们看过《喜羊羊与灰太狼》吗？昨天在羊村里发生了一件大事。想知道吗？我们一起去看看吧！ 同学们你们听明白了吗？现在我们要帮助喜羊羊闯关，获得哆啦丢失的四个重要的图形零件。那这一节课我们一起来认识图形，并帮助喜羊羊闯关成功。准备好了吗？ 二、交流实践，探究新知 第一关：分门别类 谁来说一说图中的有哪些物品？你能把它们分成几类？ 活动一：分一分篮子里的物品。 1、学生小组活动。 要求：①要讲秩序，不要抢，大家合作完成。 ②分好后，把小篮子放在桌中间，并用坐姿表示。 2、汇报分类结果。 哪个组来告诉大家，你们组把玩具分成了几类，是怎样分的? 第二关：特立独行 笑笑也把物品按照形状的标准分成了四类，并且还给它们起了名字,我们一起去看一看吧! 活动二：分一分，并看一看、摸一摸、滚一滚篮子里的图形。 （一）小组合作：a.请你认真看一看、摸一摸、滚一滚篮子里的图形。 b.将你的感受和小组的同学说一说。 活动三：认识长方体、正方体、圆柱和球的名称。 （二）长方体、正方体、圆柱、球是立体图形。 【设计意图：通过看一看、摸一摸、滚一滚，感受图形的特点。并能区分长方体、正方体。】 三、巩固练习 第三关：你摸我猜 请你通过我的描述，猜一猜我摸的是哪一个立体图形。 终极挑战：一拍即合 请同学们拿出学习单，把第一行的物品和第二行对应的图形连起来。 四、反馈总结 这节课，同学们通过帮助喜羊羊拯救哆啦的营救之旅，我相信你一定学习到了很多数学知识。请你们观察一下哆啦，有没有今天学习到的图形？ 五、课堂延伸 长方体、正方体、圆柱和球这样的图形在我们的生活中到处可见。今天周老师也找到了很多这样的图形，我们一起去欣赏-下吧。。 同学们真了不起，在这节课收获了这么多的数学知识，认识了“长方体、正方体、圆柱和球”，在生活中，长方体、正方体、圆柱和球的用途很广泛，到处可见。在我们的生活中，处处存在着数学，我们要善于会用数学的眼光观察现实世界，用我们学到的数学知识去解决生活中的数学问题。 【教学反思】 本节课是小学一年级学生第一次接触几何概念，通过看一看、摸一摸、认一认、说一说等活动，初步认识立体图形。从生活中的实物入手，让学生抽象成立体图形，自然而然地进行了从具体到抽象的过渡。通过丰富的环节，感受这些立体图形的特征，培养了学生的动手操作和观察事物的能力。不足之处是课堂上能为学生提供的实物较少，不能很好的满足学生的求知欲，在教学前可以先让学生进行预习，并在生活中寻找相应的实物。
小学数学空间与立体图形知识点总结
小学数学空间与立体图形知识点总结在小学数学学习中，空间与立体图形是一个非常重要的内容，它们是孩子们理解和掌握几何学知识的基础。
本文将对小学数学空间与立体图形的知识点进行总结，帮助孩子们更好地学习和应用。
一、点、线、面的认识1. 点：点是几何学中最基本的概念，它没有长、宽、高，只有位置。
用一个小圆点来表示，可以用坐标来表示点的位置。
2. 线：线是由无数个点连在一起的形状，它有长度但没有宽度。
常见的线有直线和曲线两种。
3. 面：面是由无数个线连在一起的形状，它有长、宽但没有高度。
常见的面有矩形、正方形、圆形等。
二、立体图形的认识1. 立体图形：立体图形是由面围成的图形，它有长度、宽度和高度。
常见的立体图形有正方体、长方体、球体等。
2. 正方体和长方体：正方体和长方体是由六个面围成的立体图形。
正方体的六个面是正方形，而长方体的六个面是矩形。
3. 球体：球体是由无数个与半径等距离的点组成，所有这些点离一个定点等距离。
一个圆围绕它的直径旋转一周形成一个球体。
三、立体图形的特征与性质1. 前、后、左、右、上、下：在描述物体时，前方是指我们观察该物体的一面，后方相反；左右是指观察者左右两侧；上下是指高低位置。
2. 面的个数：立体图形由多个面围成，通过数面的个数可以区分不同的立体图形。
3. 边的个数：立体图形的面与面之间通过边连接，通过数边的个数可以区分不同的立体图形。
4. 面的形状：每个面可以是正方形、长方形、圆形等形状，通过观察面的形状可以判断立体图形的种类。
5. 角的个数：在立体图形的面的交点处可以形成角，通过数角的个数可以区分不同的立体图形。
四、常见的立体图形名称与性质1. 正方体：六个面都是正方形，每个面的相邻两边相等，相邻两面垂直。
2. 长方体：六个面都是矩形，每个面的相邻两边相等，相邻两面垂直。
3. 球体：球体没有面和边，所有点到球心的距离都相等。
4. 圆锥：底面是一个圆形，侧面是一个尖锐的三角形。
期末复习专题一：图形与几何—长方体和正方体篇(解析版)人教版
2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之期末复习专题一：图形与几何—长方体和正方体篇（解析版）编者的话：《2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
本专题是期末复习专题一：图形与几何—长方体和正方体篇。
本部分内容包括观察立体图形、长方体和正方体的应用、平移和旋转的认识及作图，其中以长方体和正方体内容为主，包括期末常考典型例题，涵盖较广，部分内容和题型比较复杂，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为六大篇目，欢迎使用。
【篇目一】观察立体图形：长方体和正方体。
【知识总览】一、观察物体。
1.从不同位置观察立体图形的形状，一般是从前面、上面、左面三个方向观察，所看到的形状一般是不同的。
2.在画观察到的图形时，遵循三个原则：长对正、高平齐、宽相等。
二、还原立体图形。
1.从上面看到的图形中，小正方形内部的数表示的是在这个位置上所用的小正方体的个数。
2.从正面看到的图形中，视线从前往后，每列中最大的数即为这一列最高层的层数。
3.从左面看到的图形，视线从左往右，每行中最大的数即为这一行最高层的层数。
三、确定小正方体的数量。
1.标数法：根据正面和侧面看到的形状在上面所看到的每个小正方形内标数，然后确定小正方体的个数。
2.分层记数。
根据三视图，了解层数，再分别判断每层的数量，最后把每层数量相加即可。
【典型例题1】观察物体。
一个几何体从上面看到的图形是，图形上的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数，这个几何体从正面看是（），从左面看是（）。
小学数学中运用立体图形解决实际问题能力的方法探析
小学数学中运用立体图形解决实际问题能力的方法探析1. 引言1.1 研究背景小学数学作为基础学科，一直是学生学习的重点之一。
而在小学数学中，立体图形是一个重要的内容之一。
对于小学生来说，掌握立体图形的知识不仅可以增加数学的趣味性，还可以培养他们的空间思维能力和解决实际问题的能力。
研究如何在小学数学中运用立体图形解决实际问题，已成为当前教育领域的研究热点。
在过去的教学实践中，很多小学生对于立体图形的理解常常停留在书本知识的表层，无法真正运用到生活中解决实际问题。
这不仅阻碍了他们的数学学习进程，也限制了他们的实际运用能力。
研究如何将立体图形知识与实际问题解决能力相结合，具有重要的意义。
通过对小学数学中运用立体图形解决实际问题的方法进行探析，可以深入了解学生的学习需求和认知特点，帮助教师更好地设计教学策略，提高学生的学习效果。
也可以为小学数学教育的改革与发展提供有益的参考。
深入研究小学数学中运用立体图形解决实际问题能力的方法，具有重要的研究意义。
1.2 研究意义小学数学中运用立体图形解决实际问题的能力对学生的数学素养提高具有重要意义。
通过学习和运用立体图形，可以培养学生的观察力、逻辑思维能力和空间想象力，帮助他们更好地理解和掌握数学知识。
运用立体图形解决实际问题可以帮助学生将数学知识与实际生活联系起来，培养他们的实际动手能力和解决问题的能力。
立体图形在数学中的应用丰富多彩，可以引发学生对数学的兴趣，激发他们学习数学的积极性。
小学数学中运用立体图形解决实际问题的能力不仅有助于提高学生的数学水平，还可以促进他们全面发展，培养他们未来的创造力和实践能力。
研究和探讨如何有效地运用立体图形解决实际问题，对于提高学生的数学素养和全面发展具有重要的意义。
2. 正文2.1 立体图形在小学数学中的重要性立体图形在小学数学中扮演着至关重要的角色，它不仅是数学知识的一部分，更是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要工具。
通过学习立体图形，学生能够深入理解空间关系，培养空间想象能力，同时也能够引导学生在解决实际问题中运用数学知识和技能。
小学一年级数学教案 认识立体图形9篇
小学一年级数学教案认识立体图形9篇认识立体图形 1教学内容：（第32页、第三33页做一做及练习五第2 题）教学目标：1、通过观察、操作，使学生初步认识长方体、正方体、圆柱体和球体。
知道它们的名称，初步感知其特征，会辨认这几种立体图形和物体。
2、培养学生动手操作和观察事物的能力，初步建立空间观念。
3、通过数学实践活动，培养学生用数学进行交流，合作探究和创新的意识。
4、使学生感受数学与现实生活的密切联系。
教学重难点：使学生直观认识长方体、正方体、圆柱和球这几种形状的物体和图形，初步建立空间观念。
教学具准备：生活中的物体、立体图形的模型等。
教学过程：一、设疑激情老师：今天有一位好朋友来到了我们教室里，瞧！谁来了（出示蓝猫的图片）学生：是蓝猫老师：对，蓝猫想和我们一起学习数学，它给同学们带来了一篮子的礼物，都有些什么呀？赶快打开来看看！老师：你最喜欢哪个礼物,为什么喜欢？老师：蓝猫还想考考我们，你能把“形状相同的”礼物放在一起吗？六个小朋友共同试试看。
二、操作感知。
a、分一分1、学生六人小组活动，对物品进行分类，教师巡视。
2、指名说说你为什么这样分。
师：哪个聪明的小朋友说说你是怎么分的？师：他们是这样分的，和你们分得一样样吗？（如果有学生分错，将在后面的教学中通过学习使学生自己改正过来。
）3、揭示概念。
师：每类形状的物体，它们都有个共同的名字，你知道是什么吗？引导学生说出：长方体、正方体、圆柱、球。
（板书：长方体、正方体、圆柱、球）这些图形都住在立体王国里，所以它们都是立体图形（板书课题：认识立体图形）师：蓝猫先生说小朋友真聪明，下面我们要比比哪个小组的小朋友动作最快，把桌上的东西放回篮子里。
b、摸一摸1、拿出学具。
师：请你轻轻地拿出这些图形玩一玩。
可以看一看它和别的物体有什么不一样、摸一摸它们的表面有什么感觉、滚一滚看哪个物体滚得远。
（1）把你的发现告诉你的同桌，说说它有什么样的特点。
（2）指名学生说长方体、正方体、圆柱体、球的特点师；谁能用最大的声音告诉大家，你现在觉得长方体是什么样子？你是怎么感觉到的？2、学生依次汇报：长方体：长长的，有6个面，有边，有角，不能滚动。
15.【精品】小学数学几何精讲精析专题六 立体图形-类型一 正方体
专题六立体图形类型一正方体【知识讲解】一、正方体的认识：1. 特征：正方体有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同，有12条棱，所有的棱都相等，有8个顶点。
2. 正方体的棱长总和=棱长×12用字母表示：12a二、正方体表面积的计算1. 表面积：正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
2. 正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示：S=6a2三、正方体体积的计算1. 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长或底面积×高用字母表示： V= a3 或Sh【典例精讲】计算下面图形的表面积和体积。
【答案】表面积是54平方分米，体积是27立方分米．【解析】根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长，表面积=棱长×棱长×6，列式计算即可。
解：3×3×6=54（平方分米）；3×3×3=27（立方分米）；答：正方体的表面积是54平方分米，体积是27立方分米。
【点评】此题主要考查正方体的表面积和体积公式及其计算。
【巩固练习】一、选择题。
1．下列图形中，（）是正方体的展开图。
2．正方体的棱长扩大3倍，则体积扩大（）倍。
A.2B.4C.27D.83．一个正方体每个面的面积都是9cm2，它的棱长是（）cm。
A．9 B．54 C．34．一个正方体的棱长总和是96dm，它的表面积是（）dm2。
A．384 B．1536 C．9516 D．5125．一个正方体的棱长是6dm，它的表面积和体积相比较，（）A．体积大 B．表面积大 C．同样大 D．无法比较6．用棱长2厘米的正方体木块拼成一个较大的正方体，至少需要（）块。
A.4B.8C.9D.647．把一个棱长为6分米的正方体切成棱长为2分米的小正方体，可以得到（）小正方体。
A．27个 B．81个 C．9个8．如图是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，没被切掉的小正方体有（）个。
小学数学“图形与几何”微课——立体图形系列微课
小学数学“图形与几何”微课——立体图形系列微课《圆柱的体积》教案教材分析《圆柱的体积》是人教版小学数学六年级下册第二单元19——20页的内容，是在学生学习了圆的面积以及长方体、正方体的体积、圆柱的表面积知识的基础上来进行学习的。
主要向学生讲解圆柱体积公式的推导过程。
教学目标理解圆柱体积公式的推导过程，掌握圆柱体积公式，并能正确运用公式解决简单的实际问题。
教学过程：一、导入您好！欢迎收看“图形与几何”系列微课——《圆柱的体积》。
圆柱的体积是人教版小学数学六年级下册第二单元19、20页的内容，在这个微课里，我将向您讲解圆柱体积公式的推导。
下面我们先来复习。
二、复习1、复习长方体、正方体体积计算公式。
课件演示长方体、正方体体积计算公式。
相信这些知识您已经掌握了，2、复习圆面积公式的推导过程接下来回忆圆面积公式的推导过程，我们推导圆面积公式的时候，是把圆分成许多相等的扇形，拼成近似的长方形，分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，根据长方形的面积等于长乘宽得出圆的面积计算公式。
三、圆柱体积公式的推导圆柱的体积怎样计算呢？能不能将圆柱也转化成一种我们学过的图形，计算出它的体积呢？把圆柱的底面分成许多相等的扇形。
把圆柱切开，课件演示拼成一个近似的长方体的过程。
分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。
你发现了吗？长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于底面积×高，所以圆柱的体积=底面积×高用字母表示是v=sh。
要求圆柱的体积必须知道它的底面积和高。
四、应用你能解答下面这题吗？五、结束语感谢您的收看！敬请观看我的下一个系列微课《立体图形的认识整理与复习》。
认识立体图形(课件)一年级上册数学人教版
对于刚入学的新生来说，立体图形这一名词是陌生的，但对于具有这些图形的特点的实物却见过、摸过，有一定的直接经验。所以要让学生直观地认识是很容易实现的。学好这部分知识也能为今后进一步认识图形做准备。
学情分析
一年级刚入校的小朋友，他们对生活中新鲜、热闹场面感兴趣，特别对形声兼具的事物容易产生好奇心，但由于他们年纪小，注意力不能持久集中，容易感到疲劳、厌倦。因此，在教学过程中教师要特别关注他们的情绪，从而做出相应的调整，要应用现代信息技术提前做精心的设计和准备，课上做及时的应对。提高他们的学习兴趣，才会收到更好的教育教学效果。
设计意图
培养学生初步的观察、想象、表象思维和语言表达的能力，初步建立空间观念，初步感受数学与实际生活的联系。
板书设计
认识立体图形
长方体 长长方方六张脸，相对两面一个样。
正方体 正正方方六张脸，平平滑滑一个样。
圆柱体 上下圆圆一样大，放倒一推就滚动。
球 圆圆鼓鼓小淘气，滚来滚去不费力。
教学反思
本节课是小学低年级数学中数与空间的教学开始，学生第一次接触学习几何概念。
2、记忆想象。
（1）分别出示长方体、正方体、圆柱、球的图形，先辨认，再把长方体、正方体、圆柱、球的图形贴在黑板上，最后再使出相应的实物。
（2）让学生闭上眼睛想一想四种图形的样子(教师说图形，学生想)。
（3）让学生闭上眼睛按教师的要求摸出四种不同形状的实物。
（4）先让学生闭上眼睛，然后摸教师给出的`一种实物，由学生判断它的形状。
教学环节
（五）
师生活动
小结
游戏
先让学生想想，用不同形状的实物能搭出什么来?然后按照自己的想法搭一搭。
1、巩固长方体、正方体、圆柱、球等立体图形及长方形、正方形、三角形和圆等平面图形的特征，并能辨认和区别这些图形。
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第三讲 几何之立体图形 教学目标 立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。 ★★★ 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得：
正方体的表面积：26Sa正方形
正方体的体积：3Va正方形 ★★★ 长方体：若长方体的长、宽、高分别为,,abc，那么可得： 长方体的表面积：2Sabbcac长方形（） 长方体的体积：Vabc长方形 ★★★ 圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；
圆柱体的表面积：2222Srhr圆柱侧面积个底面积
圆柱体的体积：2Vrh圆柱 ★★★ 圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r；圆锥体的侧面展开图是一个扇形；
圆锥体的体积：213Vrh圆锥体
★★★ 球体：343Vr球体 在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
想 挑 战 吗
？
（06年武汉明心数学挑战赛） 如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否 正好装了一半水而争吵．请你设计一种方案，不用其他任何工具与 设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半．
r 教师版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱A处，水平面的另一端刚好在棱B处时，容器内正好装了一半水．如果不符合上述情况则容器内装的水就不是一半．如图②是容器里的水正好装一半，图①和图③则不是，图①大于一半，图③小于一半．
立体图形的表面积 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
分析：图形所含块数的规律：第1层1块，第2层3块，第3层6块，第4层10块，第5层15块，依次增加2、3、4、5…，当重叠到第5层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米。 【例1】 有两个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有有一个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米?(3.14)
： 观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面． 零件的上、下底面：23254，零件的外侧面：610180 零件的内侧面：4560，零件涂防锈漆部分为：5418060294。
【巩固】 右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？
分析：一样多。黑布：2223aaaa，白布：222(2)3aaa。
【例2】 用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米? （3）
分析：工件既不是圆柱也不是圆锥，不是我们常见的规则几何图形，因此要考虑如何将此几何体转化为熟悉的常见几何体．如下图，再取一个同样的工件，两个工件拼在一起，可以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是此圆柱侧面积的一半．圆柱的高为：4654100，圆柱的侧面积为：151004500，一个工件需铁皮：450022250(平方厘
米)．在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的立体图形，然后才能利用已经掌握的公式、性质进行解题．其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。
【巩固】 （五年级春季所学相关题目）（07年希望杯培训试题）一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如右图所示的六面体ABCD-EFGH，其中最长的边DH=8厘米，最短的边AB=BC=CD=DA=BF=4厘米，那么这个六面体的体积是多少 立方厘米？
分析：42．这个六面体的体积是长4厘米，宽4厘米，高12厘米的长方体体积的一半，即4×4×12÷2=96(立方厘米).
【拓展】 （05年华罗庚金杯）如图1是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和黑色的部分都是边长等于1的正方形．问：这个直三棱柱的体积是多少?
分析：如图2，这个直三棱柱是棱长为1的正方体沿一条对角线切割得到的直三棱柱体．正方体的体积是1，这个直三棱柱的体积是
正方体体积的一半，体积是12．
【例3】 （迎春杯数学邀请赛）一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？
分析：已知正方形的表面积为54平方厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为54÷6=9(平方厘米)．一刀切成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了9×2=18(平方厘米)．因此，所求的两个长方体的表面积之和为：54+18=72(平方厘米)．
【前铺】 如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是多少厘米？
分析：从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、AD这四条边被用了1次，其余四条线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：4×6+4×2×6=72（厘米）.
【前铺】 （五年级春季所学相关思路的题目）一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？
分析 原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1×1＝1（平方米），无论后来锯成多少块，这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，现在一共锯了：2+3+4＝9（刀），一共得到18平方米的表面.因此，总的表面积为：6＋（2+3＋4）×2＝24（平方米）。 【例4】 （05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
分析：长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是： （3×5+3×5+3×3）3×2=78平方厘米。
【前铺】 （五年级春季所学相关思路的题目）右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体； 两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块； 一面涂红的表面中间部分： （4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块。 没涂红色的小方块有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24块。注意帮助孩子们理解，而后可以总结规律。
【拓展】 （五年级春季所学相关思路的题目）右图是由27块小正方体构成的 3×3×3的正方体。如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的。这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有 的小方块是三面有红色的小方块的八倍？
分析：对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n＝6。
立体图形的体积 【例5】 （05年华罗庚金杯）如图，一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次? 分析：圆锥形容器甲的容积是：2111()13212V，半球形容器乙的容积是：32
22183312V，所以至少要注水8次．
【例6】 一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的柱形容器中，水面高多少厘米7．
分析：设底面积为S，圆柱体内水面的高为h，根据题意有：124,83SShh
【拓展】 如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的827，水面高度是容器高度的几分之几？ 分析：设水面高度是容器高度的x倍，则水面半径也是容器底面半径的x倍。根据
题意得到：22118()()3327xrxhrh，382,273xx
【例7】 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有45的体积浸在水中（见右图）。问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？
分析：皮球的体积是：334415()562.5332r（立方厘米）；皮球浸在水中的部分是：4562.54505（立方厘米）；水桶的底面积是：260()9002（平方厘米）；水面升高的高度是：4509000.5（厘米）。
【例8】 （06年北京五中实验班选拔）一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现在水深多少厘米?
分析：根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度。 （法1）：80×8÷(80一16) =640÷64=10(厘米)； （法2）：设水面上升了x厘米。根据上升部分的体积=浸人水中铁块的体积列方程为：
8016(8)xx，解得：2x，8+2=10(厘米)。