平抛运动推论
用平抛运动的推论求解斜面上的平抛运动
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数理化学习 ( 高中版 )
y1 =
1 2
g
t21,
y2
=
1 2
g
t22
两小球着地情况有几种可能性:
( 1) 均落在水平上, 于是有 y1 = y2
可得 x1 x2
=
v1 v2
=
12, 故 ( A ) 正确.
( 2) 均落在斜面上, 则由推论 1有 y1 = y2 , x1 x2
可得 x1 x2
解析: 作出在撞击处的速度矢量图如图 2 所示, 由推论 1知:
vy =
v0 tan3 0
得 vy = 3v0 = 9. 8 3 m / s
由 vy =
gt, 得
t=
vy g
=
3s
例 2 如图 3 所
示, 两 个相 对的 斜 面,
倾角分别为 37 和 53 .
在顶点 把两 个小 球 以
相同初速度分别向左、
一、平抛运动常见的几个推论 推论 1: 任意时刻的合速度 (合位移 ) 与两 分速度 (分位移 ) 构成直角三角形. 推论 2: 从抛出点开始, 经过任意时刻的速 度与水平方向夹角 的正切值等于位移与水平 方向夹角 的正切值的 2倍, 即 tan = 2 tan . 推论 3: 平抛运动任意时刻末速度的反向 延长线交于水平位移的中点. 二、用推论解斜面上的平抛运动 1. 推论 1在斜面上平抛运动中的应用 例 1 如图 1所示, 以 v0 = 9. 8 m / s的水平 初速度抛出的物体, 飞行一段时间后, 垂直地 撞在倾角 为 30 的斜面上, 求物体的飞行时 间?
=
23 3
解得 cos =
3 21
vB
=
vA cos
平抛运动的推论及其应用-2024年高考物理一轮复习考点通关卷(解析版)
平抛运动的推论及其应用建议用时：50分钟考点序号考点题型分布考点1速度偏转角与位移偏转角2单选+2多选+1解答考点2速度反向延长线的结论应用1单选考点3斜面上的平抛运动3单选+2多选+1解答考点4曲面结合的平抛运动1多选考点01：速度偏转角与位移偏转角(2单选+2多选+1解答)一、单选题1(2023·河北张家口·统考二模)如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个14圆弧对接，斜面的底端在圆心O 的正下方。
从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是()A.小球初速度不同，则运动时间一定不同B.小球落到斜面上时，其速度方向一定相同C.小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直D.小球落到圆弧面上时位置越高，末速度越大【答案】B【详解】A ．平抛运动的时间由下落的高度决定。
若小球落到斜面与圆弧面上时的下落高度相同，则小球平抛运动的时间相同，A 错误；B ．设斜面倾角为θ，小球落到斜面上时速度与水平方向夹角为α，则tan θ=y x =12gt 2ν0t =gt 2v 0tan α=gtv 0故tan α=2tan θB 正确；C ．小球落到圆弧面上时，若落点速度方向与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线通过圆心，但由平抛运动规律知，速度的反向延长线应通过水平位移的中点，C 错误；D ．设小球的初速度为v 0运动时间为t ，则小球落到圆弧面上时速度大小为v =v 20+gt2当v 0越大时落点位置越高，但t 越小，v 不一定大，D 错误。
故选B 。
2(2023·辽宁丹东·统考一模)据报道，尹某在小区内不幸被楼上抛落的酒瓶砸伤左脚。
办案民警分析监控可描绘出酒瓶落在尹某脚面时速度与水平地面所成角度，随后民警又测量出尹某所在位置与楼房的水平距离。
假设酒瓶飞出窗口的速度是水平的，若已知每层楼房高度，不计空气阻力，当地重力加速度已知，则通过以上信息能估算出()①酒瓶落至尹某脚面时的速度②酒瓶从飞出至落地所用时间③酒瓶对脚面的平均作用力④酒瓶是从第几层楼房抛出的A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④【答案】B【详解】根据题意可知，速度与水平方向的夹角已知，则tan θ=v y v 0=gtv 0位移与水平方向的夹角tan α=y x =12gt 2v 0t =gt 2v 0=2tan θ则位移与水平方向的夹角正切值已知，又因为尹某所在位置与楼房的水平距离已知，则竖直方向的下落高度h 可以求出，楼层高度已知，则可以计算出酒瓶是从第几层楼房抛出的。
物理人教(2019)必修第二册5.4平抛运动的规律(共21张ppt)
一 平抛运动的规律
（1）设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
抛出点的高度为
v h＝y2Fra bibliotek＝80
m
2g
水平射程
x
＝v0t＝v0·
vy＝30×40
g
10
m＝120
m。
一 平抛运动的规律
速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是( D )
A.QM的长度为10 m B.质点从O到P的运动时间为1 s C.质点在P点的速度v大小为40 m/s D.质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
课堂练习
解析 根据平抛运动在竖直方向做自由落体运动有 h＝12gt2，可得 t＝2 s；质点 在水平方向的位移为 x＝v0t＝40 m，根据平抛运动的推论可知 Q 是 OM 的中 点，所以 QM＝20 m，故 A、B 错误；质点在 P 点的竖直速度 vy＝gt＝10×2 m/s ＝20 m/s，所以在 P 点的速度为 v＝ v2x＋vy2＝ 202＋202 m/s＝20 2 m/s，故 C 错误；因为 tan θ＝vvxy＝1，所以质点在 P 点的速度方向与水平方向的夹角为 45°，故 D 正确。
4、两个二级结论： 速度与水平方向的夹角的正切是位移与水
平方向夹角的正切的2倍。
速度的反向延长线交于水平位移的中点。
一 平抛运动的规律
例1、从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与
水平方向成53°角斜向下。(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，
sin 53°＝0.8)求： (1)抛出点的高度和水平射程； (2)抛出后3 s末的速度；
第五章 4 第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
第2课时平抛运动的两个重要推论一般的抛体运动[学习目标] 1.进一步熟练运用平抛运动规律解决相关问题.2.会应用平抛运动的重要推论解决相关问题.3.了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法．一般的抛体运动物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)．(1)水平方向：物体做____________运动，初速度v0x＝____________.(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝____________.如图所示．一、平抛运动的两个重要推论导学探究1.如图，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和位移方向相同吗？分别求出两者与水平方向夹角的正切值，二者有什么关系？2．结合以上结论并将速度反向延长，观察一下延长线与x轴的交点，你有什么发现？知识深化平抛运动的两个重要推论1．做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α.2．做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．例1 如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计，物体可视为质点)( )A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θC ．tan φ＝tan θD ．tan φ＝2tan θ例2 如图所示，AB 为半圆环ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，环半径为R .一个小球从A 点沿AB 以速度v 0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )A ．v 0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长B ．即使v 0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向的夹角也相同C ．若v 0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环D ．无论v 0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环二、斜抛运动1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．2.斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动．(1)速度公式：v x ＝v 0x ＝v 0cos θv y ＝v 0y －gt ＝v 0sin θ－gt(2)位移公式：x ＝v 0cos θ·ty ＝v 0sin θ·t －12gt 2 (3)当v y ＝0时，v ＝v 0x ＝v 0cos θ，物体到达最高点h max ＝v 0y 22g ＝v 02sin 2θ2g. 3．分析技巧(1)斜上(下)抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动．(2)对斜上抛运动①运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定．②由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析．例3(2021·广州市高一期末)如图所示，一位初中生将一个质量为m＝2 kg的实心球斜向上抛出，球离手时距地面高度约为h＝1.8 m，离手瞬间初速度约为v0＝8 m/s，球到达最高点O 时的速度约为v＝6 m/s，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：(1)O点离地面的高度H；(2)球到达O点后的运动过程中，平抛落地点与O点的水平距离s.例4(2022·江苏南京高一期末)如图所示，安装在地面上的音乐喷泉可沿不同方向喷出相同速率的水，观察发现，当水的喷出方向从竖直逐渐转到水平的过程中，水平射程先增大后减小(不计空气阻力)，A、B、C三径迹的水相比较()A．回到地面的水的速度相同B．沿B径迹运动的水，在空中时间最长C．沿C径迹运动的水，在最高点的速度最大D．沿A径迹运动的水，在相同时间内速度变化量最大。
高中物理必修二 新教材 讲义 专题提升二 平抛运动规律的应用
专题提升二 平抛运动规律的应用[学习目标]1.熟练运用平抛运动的规律解决相关问题。
2.掌握平抛运动与斜面结合问题的解题方法。
3.分析物理情境确定平抛运动的临界条件和极值问题。
提升1 平抛运动的两个重要推论1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。
即x OB ＝12x A 。
推导：如图，从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝v y v x ＝gtv 0①将速度v 反向延长，速度偏向角的正切值tan θ＝y Ax A －x OB ＝12gt2v 0t －x OB②联立①②式解得x OB ＝12v 0t ＝12x A 。
2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝gtv 0①位移偏向角的正切值 tan α＝y A x A ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0②联立①②式可得tan θ＝2tan α。
【例1】如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足()A.tan φ＝sin θB.tan φ＝cos θC.tan φ＝tan θD.tan φ＝2tan θ答案D解析如题图所示，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ满足tan φ＝2tan θ，D正确。
【训练1】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R。
一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力。
则下列判断正确的是()A.只要v0足够大，小球可以击中B点B.v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同C.v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上答案D解析小球从A点抛出后做平抛运动，在竖直方向上会发生位移，所以无论v0多大，小球不可能到达B点，A错误；小球落在球壳上的速度方向和水平方向之，当v0不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方间的夹角的正切值tan θ＝gt v向之间的夹角不会相同，B错误；小球撞击在圆弧左侧时，速度方向斜向右下方，不可能与半球壳垂直；当小球撞击在圆弧右侧时，根据平抛运动的推论：平抛运动速度的反向延长线交水平位移的中点，可知，由于圆心不在水平位移的中点，所以小球撞在半球壳上的速度反向延长线不可能通过圆心，也就不可能垂直撞击半球壳，故C错误，D正确。
自-2015届一线教师精编高考物理《命题大猜想》平抛运动的一个推论在高考解题中的应用
平抛运动的一个推论在高考解题中的应用【关于平抛运动的研究】平抛物体的运动，是比较典型的曲线运动,平抛物体的运动具有以下特点。
1.运动时间只由高度决定设想在高度H处以水平速度vo将物体抛出,若不计空气阻力，则物体在竖直方向的运动是自由落体，由公式可得:,由此式可以看出，物体的运动时间只与平抛运动开始时的高度有关。
2．水平位移由高度和初速度决定平抛物体水平方向的运动是匀速直线运动,其水平位移，将代入得：,由此是可以看出,水平位移是由初速度和平抛开始时的高度决定的。
例1如图1所示,在同一平面内,小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度v a 、vｂ沿水平方向抛出,经过时间ta、ｔb后落到与两抛出点水平距离相等的点。
若不计空气阻力,下列关系式正确的是( )Ａ．ta >tb，vａ<ｖbＢ.ｔa>ｔｂ，vａ>vbC．ta <tb,va<vbD.ta＜ｔb，va>vb分析与求解:由图可以看出小球ａ抛出时的高度大于小球b，由公式或“1”中结论可知，小球a运动时间大于小球b运动时间。
由题意知，两小球的水平位移相等,由公式s=ｖt或“2”中结论可知，小球ａ的初速度大于小球b的初速度。
因此，本题正确选项是Ａ。
3．在任意相等的时间里,速度的变化量相等由于平抛物体的运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的和合运动。
运动中，其水平运动的速度保持不变，时间里,水平方向的分速度的变化量为零,竖直方向的分速度的变化量为，而时间里合速度的变化量为两个方向速度变化量的矢量和,其大小为：,方向竖直向下。
由此可知，在相等的时间里，速度的变化量相等,由此也可以知道，在任意相等的时间里,动量的变化量相等。
4.任意时刻,速度偏向角的正切等于位移偏向角正切的两倍抛出后,ｔ时刻其速度的偏向角为图中的如图2所示,物体被以水平初速度ｖoα角,位移的偏向角为图中的β角,则:,，由此两式可知:。
5．任意时刻，速度矢量的反向延长线必过水平位移的中点设平抛开时后,ｔ时刻速度矢量的反向延长线与这段时间里水平位移矢量的交点为A，图3中的角α与图２中的α相同,即：，而。
物理 平抛运动的推论
平抛运动的推论应用例1.如右图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度为V2，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α2，若v1> v2，则A.α1＞α2B. α 1=α2C. α 1<α2D. 无法确定【解析】1）由题意知两次小球都落在斜面上，则落在斜面上时的位移与水平方向的夹角均为β 。
设两次小球落回斜面瞬间的速度与水平方向的夹角分别为α1 ，α2 ，根据推论1可知： tanα1=2tanβ，tanα=2tanβ，则可得α1=α2。
α是一定值，与初速度v0的大小无关。
选项B正确。
2）如图5，根据上面的结论可知A是OB的中点，由几何关系可得tanβ=2tanθ，α=β-θ。
小球两次水平抛出，θ一样，所以落在斜面上两次速度的偏转角相等，即β1=β2，进而推出α1=α2，也就是两次小球落在斜面上的速度方向相同，与初速度无关。
例2．如图2所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成530，飞镖B与竖直墙壁成370，两者相距为d。
假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。
（sin370=0.6， cos370=0.8）解析：由题意可知，飞镖A、B从同一点做平抛运动，其速度方向的反向延长线的交点C为水平位移的中点，如图3。
设飞镖的水平位移为x，根据几何关系得：，Ya=x/2tan53°=3/8x，Yb=x/2tan37°=2/3x又已知解得，即射出点离墙壁的水平距离为24d/7例题3.作平抛运动的物体，当它的水平速度与竖直速度的要大小之比为1:2时，其水平位移与竖直位移的大小之比_________解析：设平抛运动物体的初速度为V0，从O点水平抛出，经过一段时间，到达A点。
由图所示。
根据平抛运动的运动规律可得：。
7平抛运动的两个推论
平抛运动的两个重要推论考点规律分析(1)推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tan θ＝2tan α。
例题讲解如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则(不计空气阻力)( )A ．当v 1>v 2时，α1>α2B ．当v 1>v 2时，α1<α2C ．无论v 1、v 2关系如何，均有α1＝α2D ．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关[规范解答] 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝y x ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为θ＋α，则tan(θ＋α)＝v y v x ＝gt v 0，故可得tan(θ＋α)＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是θ＋α，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v 0的大小无关，C 项正确。
[完美答案] C运用推论二的关键是找准位移偏向角与速度偏向角，再分析判断问题。
举一反三作业1.如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°，飞镖B与竖直墙壁成37°，两者相距为d。
假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。
(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)答案24 7d解析飞镖与墙壁的夹角为平抛运动物体速度与墙壁所成的角，由于水平位移相同，故速度反向延长线必交于水平位移上的同一点。
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平抛运动推论
平抛：
一、什么是平抛
平抛是一种古老的物理运动，它利用重力在物体抛掷时由高点向低点
移动，而空气阻力（或摩擦力）会阻挡运动，使物体使得运行轨迹不
再矢量，而形成一条抛物线。
此外，这种运动轨迹受动力作用的施加
方向以及重力的垂直方向的大小影响，重力的作用总是从高点向低点
方向变化，从而影响物体运行的高度和速度，使物体的轨迹变化。
二、平抛的推论
1. 平抛的抛出者以及抛出的重力方向不影响抛物线的形状。
2. 平抛的最高点高度决定于它发射时的初始速度大小，也就是说，水
平方向的初始速度越大，发射物离地面的最高高度也越高。
3. 在原始运动下，物体朝水平方向的加速度为0，而重力可能使抛出物回投回地面，或者继续朝下飘行，大小及其受抛出的初始速度的影响。
4. 同一物体在相同的环境中，考虑到受重力影响，给定抛出手法（如
投球），它可以抛出多次，轨迹无论速度有多大，它都可以形成固定
的抛物线形状。
只有当变动其发射、标记位置以及外加力（如风），
其轨迹才会发生变化。
5. 同一个物体，只要发射者抛出速度一致，发射角度一致，发射形式
相同，那么抛物线轨迹一致。
6. 当物体抛出时，上升的最大高度是由抛出的力度决定的，也就是说，速度越大，物体的上升距离越长，而下落距离只受重力影响，只要重
力不变，一定是相同的。
7. 抛物线的完整轨迹受加速度（重力）以及初始速度及其变化影响，
只有当平抛物体的初始位置都相同，重力以及外加力的影响都相同，
那么它们的轨迹就是一个抛物线轨迹，相对的，只要这些因素发生变化，那么抛物线轨迹也会发生变化。