电子工业大学现代控制考题

0⎥⎥u 1⎥⎦来自百度文库
，
y
=
⎡2 ⎢⎣1
−1 0
1⎤ 0⎥⎦ x
试确立输入变换和状态反馈阵 {L, K}，使闭环系统不仅实现动态解耦，而且其极点配置
到−2，−2+ j，−2− j。
5．（20 分），已知线性定常系统 x& = Ax + Bu ， x ∈ R n 。试证明：“PBH 判据”的充分条件，
即证明如果对于任意 s ∈ C (复数)，满足 rank[sI − A, B] = n ，则系统完全能控。
6．（12 分），已知线性定常系统
⎡1 0 0 ⎤ ⎡1⎤
x& = ⎢⎢0 −1
0
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢1⎥⎥u
⎢⎣0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
试问，能否找到状态反馈 K ，使该系统闭环极点配置到（1） λ1 = 1， λ2 = −1， λ3 = −1 ； （2） λ1 = −2 ， λ2 = −2 ， λ3 = −2 ；问能否确立状态反馈 K 。
7．（10 分）已知完全能观线性定常系统
⎡−1 − 2 − 2⎤ ⎡2⎤
x&
=
⎢ ⎢
0
−1 −1⎥⎥x + ⎢⎢0⎥⎥u ， y = [1 1 0]x
⎢⎣ 1 0 −1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
试确定一个具有配置值为－1，－1，－2 的三维状态观测器。
8．（12 分）已知线性定常系统
⎡3 1 0 ⎤ ⎡0 0⎤
2003 秋博 线性系统理论考题 1．（20 分）已知线性定常系统
G(s)
=
⎡ ⎢ ⎣
8s 2 s3 −
− 5s
24s + 16 2 + 8s − 4
4s 2 −14s + 12 ⎤
s3
−
5s 2
+
8s
−
4
⎥ ⎦
求该系统的一个最小状态空间描述。
2．（20
分）已知线性时变系统
⎧ ⎨ ⎩
x& y
= =
A(t C(t
B2u2 D2u2
∑ ∑ 满足 dim(u1 ) = dim(y2 )， dim(u2 ) = dim(y1 )， I − D1D2 ≠ 0 ，将 1 与 2 反馈连接，
∑ ∑ 组合系统 ，即 u1 = u − y2 ， y1 = y − u2 ，求 的状态空间描述。
2．（12 分）已知线性定常系统：
5． 极点配置及其解耦问题，类似于 2003 秋播的第四题。求能解耦的条件及其 {L, K}。
2004 秋博 线性系统理论考题 1． 系统组合问题，和 2003 秋博第一题一样 2． 求系统稳定性，系统为：
x& (t) = A(t) x(t) ，
及时雨考研考博网 http://www.forkaoyan.com/ QQ:602318502
2004 春博 线性系统理论考题 1． 最小实现问题，单输入单输出，状态为三维。
给出一个状态方程，问是否是最小实现，如果不是，求出最小实现。
2． P56 例题。 3． 给出一个状态，其中有许多参数，问系统能控能观时，参数满足的条件。类似于 2003
春博第三题。
4． 求一个线性定常系统是不是大范围一致渐进稳定的。
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2003 春博 线性系统理论考题
1．（12 分）已知两线性定常系统
∑1
⎧ :⎨ ⎩
x& 1 y1
= =
A1 x1 C1 x1
+ +
B1u1 D1u1
∑ 2：⎩⎨⎧yx&22
= =
A2 x2 C2 x2
+ +
3．（20 分）已知线性定常自治系统
⎡−4 9 −1⎤
x& = ⎢⎢−2
3
1
⎥ ⎥
x
⎢⎣−2 9 −5⎥⎦
判断系统平衡状态 （1）是否是 lyapunov 稳定 （2）是否渐近稳定。
4．（20 分）已知线性定常系统
⎡3 1 0 ⎤ ⎡0 0⎤
x& = ⎢⎢0 ⎢⎣0
0 1
−1⎥⎥ x + ⎢⎢1 −1⎥⎦ ⎢⎣0
x& = ⎢⎢0 ⎢⎣0
0 1
−1⎥⎥x + ⎢⎢1 −1⎥⎦ ⎢⎣0
0⎥⎥u ， 1⎥⎦
y
=
⎡2 ⎢⎣0
1 2
1⎤ 2⎥⎦ x
判断(1)是否能动态解耦 （2）是否能静态解耦。
9．（12 分）已知线性定常系统
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5．线性系统 x& = Ax + Bu ，A∈ n×n ，存在 F ，使 FAi B = 0,i = 0,1, 2,K, n − 2 ，且有 FAn−1B ≠ 0 ， 求证系统完全能控
⎡
1
0⎤
Φ
(
t
,
t0
)
=
⎢ ⎢
t − t0
⎥ 0⎥
⎢⎣ 0.5t2 − 0.5t + 0.1 ⎥⎦
求 A(t ) 平衡状态是否是 Lyapunov 稳定的
3． 解耦问题
4． 内模控制：
系统为
⎧ ⎨ ⎩
x& y
= =
x x
+
u
+
ω
，其中
ω
的结构为
s2 + s +1 ，为了抑制扰动，求控制律并且闭环
极点配置在 λ1 = −1 ， λ2,3 = −1 ± j 。
)x )x
+ +
B(t )u D(t )u
，引入
~x
=
P(t
)x
，P(t
)
=
e
Atϕ
−1
(t
)
，
A
为常阵， ϕ (t ) 是
x&
=
A(t )x
的一个基本矩阵。设变换后的系统为
⎧~x& ⎨ ⎩y
= =
A~(t C~(t
)~x )x
+ +
B~(t )u D~ (t )u
。试确
定 A~(t )， B~(t )， C~(t )和 D~(t)的表达式。
⎡ x&1
⎢ ⎣
x&
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 A22
⎤⎡ x1
⎥ ⎦
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ B1 ⎢⎣B2
⎤ ⎥u ⎦
=
Ax
+
Bu
y = ⎡⎣Iq 0⎤⎦ x = Cx
其中 x1 ∈ R q ，x2 ∈ R n−q ，试证明{A, C}完全能观测当且仅当 {A22 , A12 }完全能观，设 {A,C} 能观指数为 r ，则 {A22 , A12 }能观指数为 n − r
( ) ⎧
⎨ ⎩
x& 1 x&2
= =
− x1 x22 x12 x2
−
1 + x1
2 x1
判断其原点平衡状态是否为大范围渐近稳定。
5．（10 范围内）已知某系统矩阵 A 满足
(A − qI )T P(A − qI ) − r 2 P < 0
其中 P 为对称正定矩阵，q ，r 为正实数。试证 A 的所有特征值 λ(A)均满足 λ(A) − q < r 。
x&
=
⎡2 ⎢⎣3
求该系统的状态运动轨迹。
3．（10 分）已知线性定常系统
2⎤ 1⎥⎦
x
，
x(0)
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⎡−1 0 0 ⎤
x&
=
⎢ ⎢
1
−2
0
⎥ ⎥
x
，
⎢⎣ 0 0 −2⎥⎦
y
=
⎡a ⎢⎣1
2 b⎤ 4 1⎥⎦ x
试确定使系统完全能观时待定参数的取值范围。
4．（10 分）给定连续时间的定常系统